复变函数与积分变换第八章教案

1、周 次复变函数教 案时课型教具课题课2 4.1 傅里叶变换过程2 新授教材1、懂得傅里叶变换的概念教学目的2、把握复数的代数运算教学重点复数的代数运算例证法、启示诱导法、讲授法教学方法教学一、 引入 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法；傅立叶原理说明：任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加；而依据该原理创立的傅 立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来运算该信号中不同正弦波信号的2频率、振幅和相位；因此,可以说,傅立叶变换将原先难以处理的时域信号转换成了易于 分析的频域信号（信号的频谱）,可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工；二、讲授新

2、课 1、傅里叶级数假如我们将基本三角函数中的函数,任意取n 个组合,就我们可以得到一个较复杂的函数；例如图1（ a）是两个函数的组合1f x 14sint11 3sin 3 t1sin 5 ；图15（b）是三个函数的组合f x 4sintsin 3 tsin 5tsin 7 ；357假如我们取更多的函数组合,甚至全体的组合,将会得到更复杂的函数或我们期望的函数；现在我们争论上述问题的逆问题；即假如给定一个周期为 T 的任意周期函数 Tf t我们能否将它表示成简洁的三角函数（有限个或无限个）之和呢？即能否将 Tf t 分解成如下形式：fTta 0n1ancosnw tb nsinnw t2其中w

3、 02T2fTtcosnw t t n 00,1,2,Ta n2TT2b n2T2f Ttsinnw t t n1,2,T2T假如能实现这种分解,那么对很多复杂的函数就可以通过简洁的三角函数来争论其性质了；上述问题的回答是确定的,由于正弦函数与余弦函数可以统一地由指数函数表示出来,因此我们可以得到另外一种更为简洁的形式fTt=nc e njnw t 0,其中, 是工程中常用的习惯 ji）c n1T2fTtejnw t 0dt,（n0, 1, 2,TT2称为傅里叶级数的指数形式；傅里叶级数有着特别明确的物理含义；在傅里叶级数的三角形式中,基频为 w ,频率为基频的倍数 nw ；n 称为相位；在傅

4、里叶级数的指数形式中,c 为周期函数 Tf t 的离散频谱,nc 为离散振幅谱,arg c 为离散相位谱；为了进一步明确 c 与频率 nw 的对应关系,经常记 F nw 0= c n例 1 求以 T 为周期的函数fTt=0, -T2ttT02,02的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式；解：令w 02,F01T2fTtej w t 0d t0fTtdt21TT2fTtdtT当n0 时, c0TT21T2fTtdt1T2T0TTT21T2fTtdt1T22dt1t21000TTT当n0 时,cnF nw 01T2f Ttejnw t 0d td tn10,当 为偶数TT2102f Ttejnw

5、t 0d t1T2fTtejnw t 0TTT01T2fTtejnw t 0d t1T22 ejnw t 0d tT0T02T2ejnw t 0d tjejnw 0T12T0njejn1jcosnjsin2j,当 为奇数nnnf Tt 的傅里叶级数的复指数形式为f Tt1n2 n2jej2n1w t 0,1振幅谱为相 位 谱为F nw 01, n02, 4,argF nw 00,n0, 2, 4,0,n2 , nn1, 3,22,n1,3,5,1, 3, 5,n2、博氏积分与博氏变换（1）通过前面的争论,我们知道了一个周期函数可以绽开为傅里叶级数,那么,对非周期函数是否同样适合？即令TT li

6、m时,由周期函数的傅里叶级数来推倒非周期函数的傅里叶积分公式；f tfTt,在依据积分定义,在肯定条件下,可整理成ft1fejwdejwtdw2就式为傅里叶积分公式,简称博氏积分；（2）傅氏变换与傅氏积分从式动身,令F wf t ejwtdt就有1 jwtf t F w e dw2 其 中 式 为 傅 里 叶 变 换 （ 简 称 傅 氏 变 换 ）, 函 数F w 称 为f t 的 像 函 数 , 记 为F x F f x；称为傅里叶逆函数（简称傅氏逆变换）即傅氏积分,其中,函数1f t 称为F w的像原函数,记为 f x F F x；与傅氏级数一样,傅氏变换也有明确的物理含义；F w 为频谱

7、密度函数（简称频谱或者连续频谱） ,称Fw为振幅,arg Fw 为相位谱；由于傅氏变换这种特别的物理含义,因而在工程实际中得到广泛的应用；ft1,tdt0的傅氏变换以及傅氏积分表达式0,t例 2 求矩阵脉冲函数解：FfxF wf t ejwt=ejwtd t1 jwejwt1ejwjw ejw2sin ww2sinww振幅谱为sinwF w2w相位谱为2 n 2 n 10, warg F w n 0,1,2,2 n 1 2 n 2, w再依据可得到傅氏逆变换,即 f t 的傅氏积分表达式为1 jwtf t F w e dw2= 1 2 sin w e jwtdw2 wjwte = cos wt

8、 j sin wt原式 = 1 2 sin w cos wt j sin wt dw2 w= 1 2 sin w cos wt dw + 1 2 sin w j sin wt dw2 w 2 w= 1 2 sin wcos wt dw2 w0, w aF x a 0 ,例3 已知f t的频谱为 1, w a 求f t解：f t F 1F x 1 F w e jwtdw21 a jwt2 a 1 e dwjwt1 e aa2 jtsin at a sin att atatf t e , t 0 a 0例4 求单边指数衰减函数 0 , t 0 的 傅氏变换；解：F w F f x f t e jwtdtat jwt at jwt a jw te e dt e dt e dt0 0 0a jw te 1 10 0a jw a j