增函数定理证明不等式

1、增函数定理证明不等式定理2.5 ：（增函数定理 ）设函数fx 在区间 , R连续可导,如在x , 区间有fx0,就 f 在 x , 区间单调递增； 如 fx0,就 f 在 x , 区间严格单调递增；证 明 ： 我 们 考 虑 在 x , 区 间 fx0的 情 况 , 设ax1x2b , 我 们 需 要 证 明fx1fx2 . fx1f x2x1 . 应用中值定理,设某数cx1,x2 ,这样由中值定理得：fx2既然 f 0,且x2x10 ,就fx2fx10. 即：fx1fx2 . 当 fx0时,应用中值定理依旧可以得到这个结果；证毕；【试题 19】设 x y0,且 xy2 ,证明：x y 22x

2、2y22【解析一】第一齐次化,由x2y1来实现齐次化xy1,代入式得：齐次化式为：x2y2x2y22x2y6即：32x2y2x2y2xy 6在 xy0 时,式明显成立；现在假设 xy0 ,由于式得齐次化,我们可以采纳常规化的32 x21x16x2x设：px1 ,就 p 2 ,x就：px212,代入式得：32 p2p3x2即待证式为：p 332 p640现在求函数fp p 332 p64在 p , 区间的最小值；求导得：fp 3 p 232当函数 fp 达到极值时,fp 00. 由式得：p 0323当pp 时, f 0p0, fp 单调递减；当pp 时, f 0p0, fp 单调递增；第 1 页

3、当 p p 时, f 0 p 0, f p 达到其微小值 f p 0 . 由于 p , ,而 p 0 4 ,故 p , 是函数 f p 单调递增区间, 其最小值为 f 4 . 故：f p f 4 4 3 32 4 64 0,即式得证；证毕；【解析二】在【解析一】齐次化后,得到式；在 x 0 或 y 0 时,显而易见式成立；在解析一采纳常规化的 xy 1,现在,采纳常规化的是 x 2y 2 2 . 设 p xy ,就：0 p x 2 y 21,且 x y 2 x 2 y 2 2xy 2 2 p2代入式 32x 2 y 2 x 2 y 2 x y 得：6 32 p 2 2 2 2 p 3即： 1

4、p 3 8 p 2,即：p 3 3 p 2 3 p 1 8 p ,即：2 p 3 5 p 2 3 p 1 0 现在求函数 f p p 3 5 p 2 3 p 1 在 p , 上的最小值；导函数：f p 3 p 2 10 p 3 3 p 1 p 3 在极值点 p 时,0 f p 0 0,即： 3 p 0 1 p 0 3 0就：p 0 13,由于 p , 而舍去 p 0 3 . 在 p , 1 区间, f p 0,就 f p 单调递增；3在 p 1, 区间, f p 0,就 f p 单调递减；3在 p p 时, f 0 p 0,就 f p 取得极大值；故：在 p , 区间, f p 的最小值在 f

5、 0 和 f 1 这两者之间；由式得：f 0 1, f 1 1 5 3 1 0, f 1 值更小；故：在 p , 区间, f p f 1 0,即：式得证；证毕；【解析三】我们证明当 x y 0 时,式成立；作代数换元： u x y , v x y ,就： u v 0就式变成：32 u 2 v 2 2 u 2 v 2 u 6,即： u 2 v 2 2 u 2 v 2 u 6 4 2留意到：u 4 u 4 v 4 0 ,且 u 2 u 2 v 2 0 ,就：u 6 u 4 u 2 u 4 v 4 u 2 v 2 u 2 v 2 u 2 v 2 2 ,即式得证；证毕；第 2 页【试题 20】设 x

6、y z , , 为非负实数,且xyz1 ,证明：x10 xyyzzx2xyz727【解析一】设函数fx y z , xyyzzx2xyz不失一般性,假设 0 xyz1 ,由于 xyz1,所以3由可得：fx y z , xyyzzx2xyzyz 13xxyzxyzx由于 yz0 , 13x0 ,故： f , x y z , 02x应用 AMGM 不等式得：yzy2z212x2由可得：fx y z , x yzyz 12xx 1xyz 1将式代入式得：f , x y z , x 1 x 1 x 2 1 2x 1 1 x 4x 1 x 1 2x 2 41 1 x 4x 1 3x 2x 2 1 1 x

7、 2x 2 x 1 4 41 2x 2 x 1 2x 3 x 2 x 1 2x 3 x 2 1 4 4现在,求函数 g x 1 2x 3 x 2 1 的最大值；4导函数：g x 1 6x 2 2x 1x 1 3x 4 2当 x , 1 时, g x 0, g x 单调递增；3当 x 1时, g x 0, g x 单调递减；3当 x 13时, g x 0, g x 达到极大值,这里即是最大值；故 g x 的最大值为：g 1 1 2 1 3 1 2 1 1 2 11 73 4 3 3 4 27 9 27故：g x g 1 7. 3 27这样,由得：f , x y z , xy yz zx 2xyz

8、 7. 就式得证；27【 IMO2022 / 2】设 a b c , , 为正数,且 abc 1,证明：第 3 页a11b11c11142对应的是bca这正是 2.2 代数换元中的【试题1】. 【解析】既然 abc1,那么,至少 a b c , , 中有一个数不小于 1；假设： b1 ,就：c1,式变为：aca11b1ab1111baba或：a b 33a b 23ab3a b 2 23ab2abb3b2b10设： tab ,就式左边变为：f t t3b 3b t 2bt23btt2b 2tb1即：f t t3b1 t2b 23b1 tb3b2b1 对于 b1 ,式即要证明对 t0 ,就 f

9、t 0我们求式得最小值,由式求导得：f 3t22 b1 tb 23b1 取极值时其导数为 0 ,即：3t22 b1 t2 b3b1 0方程的解为：t 0 b1 b1 23 b23b1 b1 4b27b33即：1b1 4b27b4,2 b1 4b27b433由于 f t 的最高项t 的系数为 3 30,所以,1对应的是f t 的极大值,f t 的微小值；由式得：f 0 b3b2b1b1 b21 b2 1 b1 0b1 由于2是方程的根,就：322 b1 b23b1 0即：22b1 1b23b133代入式f t t3 b1 t2 b23b1 tb 3b2b1 进行降次处理；得：f2b1 21b23

10、b2b23b1b3b21b1 33b3b21b122b23b1b133第 4 页1b12b11b23b1 2b23b1b3b2b1433332b121b1 b23b1 2b23b1 b1 b1 299327b2b123 b23b1 1b1 9 b12b23b1 9924b27b41b1 8b215b89918b214b8b1 8b215b8918b214b88b37b27b89现在,我们的任务就是：建立对全部b0 时, f b 0. 即：8b 214b8b1 4b27b48b37b27b803即：8b 214b8b1 4b27b43 8b37b27b80等效于：8b214b8 b1 3 8b

11、37b27b8 8b 214b84b即：16b315b215b16 8b214b84b27b44由于：16b315b215b1616 b3b2b1 b 2b08b214b88 b22b1 2b8 b1 22b0所以将式平方得： 16b315b215b16 2 8b214b8 2 4b27b就：864b53375b45022b33375b2864b0即：864b43375b35022b23375b8640设：G x 864x43375x35022x23375x864只要我们证明对 xR , G x 0即可；导函数：G x 3456x 3 10125x 2 10044x 3375 x 1 3456x 2 6669x 3375 既然对 x R 时,3456 x 2 6669 x 3375 0 ,就 G x 与 x 1 同符号；这说明,当 x 1 时, G x 0, G x 随 x 单调递减；当