2021-2022学年高二物理竞赛课件：厄米算符本征函数的正交性

1、厄米算符本征函数的正交性定理I：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：证：取=1+c2 ，其中 1 、2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。（一）厄密算符的平均值因为对任 意波函数左式=右式令c = 1，得：令c = i，得：二式相加得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：（1）涨落因为是厄密算符必为实数因而也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有

2、：（2）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。可把常数记为Fn，把状态 记为n，于是得：其中Fn, n 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时， 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。证明：（二）厄密算符的本征方程定理II：厄密算符的本征值必为实。 当体系处于 F 的本征态n 时，则每次测量结果都是 Fn 。由 本征方程可以看出，在n（设已归一）态下证（3）量子力学基本假定III根据定理 I(I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示

3、。 若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。 若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II) 测量力学量F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F的本征值 Fn（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F的本征方程给出：（1）正交性定理III： 厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交证：设取复共轭，并注意到 Fm 为实。两边右乘 n 后积分二式相减 得：若mFn，则必有：证毕（2）分立谱、连续谱正交归一表示式1. 分立谱正 交归一条 件分别为：2. 连续谱正 交归一条 件表示为：3. 正交归

4、一系满足上式的函数系 n 或 称为正交归一（函数）系。（三）厄密算符的本征函数的正交性定义：如果对于两任意函数 和 ，算符 满足下列等式则称为厄米算符。（式中x代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。）平均值为实数的算符必为厄米算符。 厄米算符的本征值必为实数。 厄米算符的平均值都是实数性质：对于动量的本征函数归一化为当时，我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数和相互正交。一般地，如果两个函数和满足关系式 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称和相互正交。一、定义属于不同本征值的两个本征函数相互正交式是厄米算符的本征函数所共有的，就是说，厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数

5、相互正交。设 是厄米算符的本征函数，它们所属的本征值都不相等，证明当时有证明：已知 当时因为是厄米算符，它的本征值都是实数，即共厄复式为 以右乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得以左乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得二、属于不同本征值的情况由厄米算符定义有 则有 即 无论的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。分立谱：假定本征函数已归一化： 连续谱：本征函数可归一化为函数，满足上述两式的函数或，称为正交归一系。结论如果的一个本征值是f度简并的，有f个本征函数：则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用个常数把这f个函数线性组合成f个新函数使得这些新函数相互正交，显然，仍是属于本征值的本征函数：三、属于相同本征值，即简