Lyapunov方程求解文档

1、 广西大学实验报告纸 姓名： 成绩：学院：电气工程学院专业：班级：实验内容：Lyapunov方程求解2015年 月 日【实验时间】2015年6月22日【实验目的】掌握求解Lyapunov方程的一种方法，了解并使用MATLAB中相应函数。【实验设备与软件】硬件：PC机一台；软件：MATLAB/Simulink。【实验原理】线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。线性

2、定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。在MATLAB控制工具箱中，函数lyap和dlyap用来求解lyapunov方程。P=lyap（,Q)可解连续时间系统的lyapunov方程，其中，Q和A为具有相同维数的方阵（A是系统矩阵）。如果Q是对称的，则解P也是对称的。P=dlyap（，Q）可解离散时间系统的lyapunov方程，其中，Q和G为具有相同维数的方阵(G是系统矩阵)。如果Q是对称的，则解P也是对称的。3、连续情况下的最小相位系统：系

3、统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。【实验内容、方法、过程与分析】题目1实验内容：输入连续状态空间模型:选取正定矩阵,求稳定性判别矩阵P，判定系统是否稳定。求线性系统阶跃响应曲线，并判定是否为最小相位系统，求系统的实现，判定是否是最小实现并比较。题目1实验过程及结果分析：根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的c文件程序： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、由实验c文件程序运行后结果：得到正定矩阵P： = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、由题意得出系统的响应曲线：由图可知：该系统是渐进稳定的。求特征根由结果可

4、以得出，此系统特征根的实部全部都为负数，亦全部的根都在左边平面。所以该系统为最小相位系统。所以，根据题意，更改A矩阵，求其阶跃响应曲线，并进行比较得：之前的A矩阵：更改之前的特征值：更改前的阶跃响应：更改之后的A矩阵：更改之后的特征值：更改后的阶跃响应：对比特征值可知，更改矩阵A后特征根有一个为正数，即在右半平面；对比阶跃响应图可知，更改矩阵A后，其阶跃响应为发散的。题目2实验内容：输入离散状态空间模型选定正定矩阵,求稳定性判别矩阵P。请定义离散情况下的最小相位系统。求线性系统阶跃响应曲线，并按你所定义的判别矩阵是否为最小相位系统。题目2实验过程及结果分析：根据题意，在实验中，先通过运算可以得

5、出结果，根据结果做出如下的c文件程序： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 、由实验c文件程序运行后结果：得到矩阵P：由图可知：得到的矩阵P是非正定的。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 、由题意得出系统的响应曲线： 由图可知：阶跃响应发散，该系统是不稳定的。系统不稳定，所以不是最小相位系统。之前的G矩阵：更改之前的特征值：更改前的阶跃响应：更改之后的G矩阵：更改之后的特征值：更改后的阶跃响应：对比更改前后特征值可知，更改矩阵G后特征根全部为负数，即在右半平面。对比阶跃响应图可知，更改矩阵G后，其阶跃响应为收敛的。【实验总结】通过本次实验了解并掌握了Lyapunov方

6、程的一种用MATLAB求解的方法，并熟悉了线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据和求解lyapunov方程的一些函数。附录资料：MATLAB的30个方法1 内部常数pi 圆周率 exp(1)自然对数的底数ei 或j 虚数单位Inf或 inf 无穷大 2 数学运算符a+b 加法a-b减法a*b矩阵乘法a.*b数组乘法a/b矩阵右除ab矩阵左除a./b数组右除a.b数组左除ab 矩阵乘方a.b数组乘方-a负号 共轭转置.一般转置3 关系运算符=等于大于=大于或等于=不等于4 常用内部数学函数 指数函数exp(x)以e为底数对数函数log(x)自然对数，即以e为底数的对数log10(x)常用

7、对数，即以10为底数的对数log2(x)以2为底数的x的对数开方函数sqrt(x)表示x的算术平方根绝对值函数abs(x)表示实数的绝对值以及复数的模三角函数（自变量的单位为弧度）sin(x)正弦函数cos(x)余弦函数tan(x)正切函数cot(x)余切函数sec(x)正割函数csc(x)余割函数反三角函数 asin(x)反正弦函数acos(x)反余弦函数atan(x)反正切函数acot(x)反余切函数asec(x)反正割函数acsc(x)反余割函数双曲函数 sinh(x)双曲正弦函数cosh(x)双曲余弦函数tanh(x)双曲正切函数coth(x)双曲余切函数sech(x)双曲正割函数cs

8、ch(x)双曲余割函数反双曲函数 asinh(x)反双曲正弦函数acosh(x)反双曲余弦函数atanh(x)反双曲正切函数acoth(x)反双曲余切函数asech(x)反双曲正割函数acsch(x)反双曲余割函数求角度函数atan2(y,x)以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度，范围为（ ， 数论函数gcd(a,b)两个整数的最大公约数lcm(a,b)两个整数的最小公倍数排列组合函数factorial(n)阶乘函数，表示n的阶乘 复数函数 real(z)实部函数imag(z)虚部函数abs(z)求复数z的模angle(z)求复数z的辐角，其范

9、围是（ ， conj(z)求复数z的共轭复数求整函数与截尾函数ceil(x)表示大于或等于实数x的最小整数floor(x)表示小于或等于实数x的最大整数round(x)最接近x的整数最大、最小函数max(a，b，c，)求最大数min(a，b，c，)求最小数符号函数 sign(x)5 自定义函数-调用时：“返回值列=M文件名（参数列）”function 返回变量=函数名（输入变量） 注释说明语句段（此部分可有可无）函数体语句 6进行函数的复合运算compose(f,g) 返回值为f(g(y)compose(f,g,z) 返回值为f(g(z)compose(f,g,x,.z) 返回值为f(g(z)

10、compose(f,g,x,y,z) 返回值为f(g(z)7 因式分解syms 表达式中包含的变量 factor(表达式) 8 代数式展开syms 表达式中包含的变量 expand(表达式)9 合并同类项syms 表达式中包含的变量 collect(表达式，指定的变量)10 进行数学式化简syms 表达式中包含的变量 simplify(表达式)11 进行变量替换syms 表达式和代换式中包含的所有变量 subs(表达式，要替换的变量或式子，代换式)12 进行数学式的转换调用Maple中数学式的转换命令，调用格式如下：maple(Maple的数学式转换命令) 即：maple(convert(表达

11、式，form)将表达式转换成form的表示方式 maple(convert(表达式，form, x) 指定变量为x，将依赖于变量x的函数转换成form的表示方式（此指令仅对form为exp与sincos的转换式有用） 13 解方程solve(方程，变元) 注：方程的等号用普通的等号： = 14 解不等式调用maple中解不等式的命令即可，调用形式如下： maple(maple中解不等式的命令)具体说，包括以下五种：maple( solve（不等式）) maple( solve（不等式，变元） ) maple( solve（不等式，变元） ) maple( solve（不等式，变元） ) map

12、le( solve（不等式，变元） )15 解不等式组调用maple中解不等式组的命令即可，调用形式如下： maple(maple中解不等式组的命令) 即：maple( solve（不等式组，变元组） )16 画图方法：先产生横坐标的取值和相应的纵坐标的取值，然后执行命令： plot(x,y) 方法2：fplot(f(x)，xmin,xmax) fplot(f(x)，xmin,xmax,ymin,ymax) 方法3：ezplot(f(x) ezplot(f(x) ,xmin,xmax) ezplot(f(x) ,xmin,xmax,ymin,ymax) 17 求极限（1）极限：syms x l

13、imit(f(x), x, a) （2）单侧极限：左极限：syms x limit(f(x), x, a,left)右极限：syms x limit(f(x), x, a,right) 18 求导数diff(f(x) diff(f(x),x) 或者：syms x diff(f(x) syms x diff(f(x), x) 19 求高阶导数 diff(f(x)，n) diff(f(x),x，n)或者：syms x diff(f(x)，n)syms x diff(f(x), x，n) 20 在MATLAB中没有直接求隐函数导数的命令，但是我们可以根据数学中求隐函数导数的方法，在中一步一步地进行推

14、导；也可以自己编一个求隐函数导数的小程序；不过，最简便的方法是调用Maple中求隐函数导数的命令，调用格式如下： maple(implicitdiff(f(x,y)=0,y,x) 在MATLAB中，没有直接求参数方程确定的函数的导数的命令，只能根据参数方程确定的函数的求导公式 一步一步地进行推导；或者，干脆自己编一个小程序，应用起来会更加方便。21 求不定积分 int(f(x) int (f(x),x)或者：syms x int(f(x) syms x int(f(x), x) 22 求定积分、广义积分 int(f(x),a,b) int (f(x),x,a,b)或者：syms x int(f

15、(x),a,b) syms x int(f(x), x,a,b) 23 进行换元积分的计算自身没有提供这一功能，但是可以调用Maple函数库中的changevar命令，调用方法如下：maple( with(student) ) 加载student函数库后，才能使用changevar命令maple( changevar( m(x)=p(u), Int(f(x),x) ) ) 把积分表达式中的m(x)代换成p(u)24 进行分部积分的计算自身没有提供这一功能，但是可以调用Maple函数库中的intparts命令，调用方法如下： maple( with(student) ) 加载student函数库

16、后，才能使用intparts命令maple(intparts(Int(f(x),x),u) ) 指定u，用分部积分公式 进行计算25 对数列和级数进行求和 syms n symsum(f(n), n a ,b )26 进行连乘 maple(product(f(n),n=a.b)27 展开级数syms x taylor(f(x), x, n, a )28 进行积分变换syms s t laplace( f(t), t, s ) 拉普拉斯变换 ilaplace( F(s), s, t ) 拉普拉斯变换的逆变换 syms t fourier( f(t), t, ) 傅立叶变换 ifourier( F(), , t ) 傅立叶变换的逆变换 syms n z ztrans(