雅可比多项式

1、(10)( )他们满足递归关系雅可比多项式f母DOWNLOAD雅可比多项式，也被称为超几何多项式，发生在研究旋转组和解决运动方程的对称。他们的解决方案雅可比方程，并给其他一些特殊命名多项式作为特殊情况。实现它们Wolfram语言作为JacobiPn,a、bz。(1)为一匕一:;:减少到一个勒让德多项式。的盖根堡多项式和第一类切比雪夫多项式也可以被视为雅可比多项式的特殊情况。堵塞(2)(3)为一,1,在那里(4)解决递归关系给了(5)到雅可比方程给出了递归关系ywv+#+)-2(v+1)(v+1)砌+1=0为一”。它们形成一个完整的正交系统的时间间隔丨一对权重函数(6)规范化的根据(7)在哪里是

2、一个二项式系数。雅可比多项式也可以写於应r(2?3+04-3+1)(8)rta(9)在哪里儿是y函数和雅可比多项式是正交多项式并满足21帥+(2+117曲+#+1)才2n+a+1nrtn.+a+1)的系数这个词的：在：是由r(2n+Q+)5+1)心=2.而応和+1)( )的多项式判别是的导数是由(14)的正交多项式与权重函数|;,1丁在闭区间山討可以表达形式2曲十1)k+d十0+)+u+0)尸黔(x)=(2N+a+1)(?用甘(2儿住*馬工瓚一2(n+a)(n+t2n.+a+2)P：lfCtL在哪里九是一个Pochhammer象征(用申fl-1)1(13)(m)tt=m(_m-1)(m+ji-

3、1)=(15)const欢型(2*一-1(Szego1975,p.58)。(16)特殊情况是rczv+a+1)r(r+1)叱(17)rfy+cr+1)r(2r+1)(18)rtv+q+urczv+Lirfr+0-+1)r(2v+2)(19)进一步的身份rv+q+urczv+2)r(2v+c+2)r(v+l)(20)(n+0+1)护匕卄+1)啼t)(21)治+0+2u=022+片ir(v+a+1)r(v+1)(22)=ir(h+2jr(n4ft+E+2)Tg+a十I)(ft+#+1)(Szego1975,p.1975)。的内核多项式是畔岗莒神=2-lLi：ri1厂二泣丁：i.V/:,-：IV(2

4、3)2n+a十&+2仇+1)曲+0+1)x-y(Szego1975,p.1975)。( )口严=上汕-1|严2卄2y十Qv-i少*广Iv=lX（n+r+a+甘严(Szego1975,p.1975)。的超几何函数,(25)2鬥+0+1；住+1；Hl-(26)(27)在哪里匸，是Pochhammer象征(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.561;Koekoek和Swarttouw1998)。(28)在哪里儿是层功能,让0的数量11/0的数量1/0的数量m。定义克莱因的象征(29)F(th0)=E扌(-12亦住+1|+|创-同+1)(30)(31)如果情况下F,2，严一：,2，,一鳥F口一：，

5、2，L被排除在外，那么0的数量二在相应的时间间隔2n4Q+)3(32)(33)(34)(Szego1975,页144-146),在那里-再次的层功能.最初的几多项式是(35)(36)(37)瞪饵=1铲闊=扛2価*1)+血+尸+2)匕一圳p*3-1何=；4+t)tdf+2)+4-+/?+3Xa+2)ti-1)+(a+/!+3)far+/?+4)(I-（阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.793）。阿布拉莫维茨和Stegun（1972年，页782-793）和Szego（1975年,Ch。4）额外的身份。盖根堡多项式(20)f-tDOWNLOADGegenbauer多项式的解决方案是Gegenb

6、auer微分方程为整数。他们是相关联的概括勒让德多项式来22-d空间，是成正比的（或者根据正常化,等于）特种球多项式Szego之后,在这个工作中Gegenbauer多项式给出的雅可比多项式:，：；与一匚一通过(1)（Szego1975,p.80）,从而使它们相当于Gegenbauer多项式的实现Wolfram语言作为GegenbauerC（n,2,x）这些多项式给出的生成函数(2)的超几何函数,(7)(8)(9)导数的身份包括(11)(1工3舟邙)=2曲+t+2A-l)(+2A)ltA)|皿兀+m+COk+2A)理防=鼻岀M7卅防昭-昭“依e即何(12)(13)(14)(15)(16)(17)

7、最初几个Gegenbauer多项式cA）=2入jt(6)（打二2X（1斗再工4X（14打偿4再(19)(18)(Szego1975,页80-83)。一个递归关系是n理(x)=2(n+X-1)jc瘵i(n+2A-2)礎2为23特殊的双J公式也存在(21)(22)(23)Koschmieder（1920）表示的椭圆函数为“一和一-?.参见:Gegenbauer微分方程的二阶常微分方程(1_工丹-2(p+)jtyf+(r-/r)(v+/j+1)=0有时也被称为超球面的微分方程（lyanagaKawada1980,p.1480;Zwillinger1997,p.123）。这个方程的解(2)y二氏+q氐

8、,在哪里u是一个有关第一类勒让德函数和是一个有关勒让德函数的第二种.许多其他形式的方程有时也被称为特种球或Gegenbauer微分方程，包括(3)（1一旳尹_）jt+v（v+=0.这个方程的通用解决方案5Qf罡+QS2-X+v(4)如果：-邛是一个整数，那么其中的一个解决方案被称为Gegenbauer多项式八多项式，也被称为特种球。表单（l-j；2）/_pm+3）J：yf+Aj=G也由Infeld和船体（1951年，页21-1951）和Zwillinger（1997,第122页）。它的解决方案(6)oII.勒让德多项式梅BOWNLCADMmtfi師at(越NotebwK勒让德多项式，有时被称为

9、第一类勒让德函数，勒让德系数，或带函数（惠塔克和沃森1990,p.302）,解决方案勒让德微分方程。如果一是一个整数，他们是多项式。的勒让德多项式J说明上面”和八“,2,5实现它们Wolfram语言作为LegendrePnx。的相关的勒让德多项式；和解决方案是勒让德微分方程相关联，在那里一是一个正整数和(22)的勒让德多项式-可以定义的围道积分%二(1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken1985,p.1985)。最初几个勒让德多项式(2)刊三(Sj；3-3jt)(6)(7)(8)当下令从最小到最大的权力和分母提出,三角形的非零系数是1,1,一“3,一5个3一,(OEISA008316

10、)。领先的分母是1,1、2、2、8、8,16日,16日,128年,128年,256年,256年(OEISA060818).最初的几权力的勒让德多项式(9)(10)(11)x4(12)(13)暑【7尸山X站尸2防显刑x6(14)(OEISA008317和A001790)。这些是由一个封闭的形式(15)(r.Schmied珀耳斯。通讯,2005年2月27日)。勒让德多项式和权力指数12,看到阿布拉莫维茨和Stegun(1972,第798页)。的勒让德多项式也可以生成使用吗gram-schmidt正规化在开区间_-与权重函数1。(16)(17)(18)(19)(20)(21)正常化一给预期的勒让德多

11、项式。“转移”的勒让德多项式是一组函数类似于勒让德多项式,但定义在区间(0,1)。他们遵守正交性的关系(23)( )前几个是(24)(25)(26)(27)戸L(I)=2j-1Pi)=6x2-6jc+1Pj(i)20 x3-30工2+L2x-L勒让德多项式的正交在I与权重函数1,满足(28)在哪里八是克罗内克符号.勒让德多项式的一个特例Gegenbauer多项式与r_-二的一个例雅可比多项式与；,可以写成超几何函数用墨菲的公式(29)几二码二2門（-,+1；1；扌（！）(贝利1933;1933年,p.101;Koekoek和Swarttouw1998)。的罗德里格斯表示提供的公式(30)的收益

12、率在扩张(31)(32)在哪里卜是层功能。额外的求和公式包括(33)(34)（Koepf1998年,p.1）。的超几何函数，这些可以写(35)Ft=(36)F疔(x)=(37)(Koepf1998，p。3)。(38)一个生成函数为；：，-是由( )(50)用(39).并添加（38）和（40）,(41)(1-2jc工+t3)2(2jcf-2/)+(1-2jef+r3j=工.Qn+L)F”&)fw=0这种扩张是有用的一些物理问题,包括扩大Heyney-Greenstein相函数和计算上的电荷分布球。另一个生成函数是由(42)在哪里是一个零阶第一类贝塞尔函数（Koepf1998年,p.2）。勒让德多

13、项式满足递归关系(43)(Koepf1998年,p.2)。此外,(44)（1旳咒二一z几防几-1仗）二）工耳匕）5+1）+1（纠正希尔德布兰德1956,p.324）。一个复杂的生成函数是(45)-2“+屮广和Schlafli积分(46)积分区间的I：包括一般公式(47)为拜尔利1959,p.1959）的特殊情况(48)(49)（OEISA002596和A046161湃尔利1959,p.172）。勒让德函数的乘积的积分,为/_，（拜尔利1959,p.1959），使特殊情况( )(59)rjr/trmtn.m.nbothevenoroddmeven,noddmodd,iaeven在哪里2用氏|佃一

14、旳曲*卄1)计哪F也fr|-l)2(52)(OEISA078297和A078298;拜尔利1959,p.172)。后者的一个特例IAsin(扌彥f)gos(扌TT/j)-Alsin岸砒)8呂(扌托巧片&)片a)Tjt-jtCk-p)Qi+v+1)(53)在哪里(54)和7是一个Y函数(Gradshteyn和Ryzhik2000,p。2000年,eqn。7.113.1)Pl詔张小(55)积分了卜LI与权重函数和是由2L+1)2Z+302(+1)CL42)(2I.+)(2r+3)(2L+5)2(2L242L-I)(2L-_1H2+l)(2L+3)2E(E-1)forTV=L(56)f2L-3)(2

15、1-1)(2L+1)for?V=L-2(Arfken1985,p.1985)。的拉普拉斯变换是由(57)在哪里-是一个修改后的第一类贝塞尔函数.一笔是由身份i-H耳兌山_西)(58)V=1在哪里：-是th的根源：(Szego1975,p.1975)。类似的身份负责这一事实权重的总和Legendre-Gauss交总是等于2。(14)权重函数一个函数k用于规范化正交函数Legendre-Gauss交f屉&OWNLCADAtatflwratr“NotebMikLegendre-Gauss正交数值积分方法也被称为“高斯求积和勒让德正交。一个高斯求积在时间间隔l_-1与权重函数“口：_L的横坐标交订单由

16、的根源吗勒让德多项式(1)二=发生对称约0。重量是(2)(3)在哪里是系数的在宀以。为勒让德多项式,（希尔德布兰德1956,p.1956）(4)(5)此外,(6)(7)（希尔德布兰德1956,p.1956）(8)帥41）尸卄I倚）儿倚）(9)使用递归关系(10)(1(x=-fixF”(x)+nPrf_i防(11)=氏+)不卩”Cd-(皿+1)Pjt+L(i)（纠正希尔德布兰德1956,p.324）(12)(13)（希尔德布兰德1956,p.1956）。权重满足(15)6O& &2&3(M6400J：2-8887809716608jr+4373849390625它遵循的身份误差项是(16)拜尔(

17、1987)给出了表横坐标和重量一钱德拉塞卡(I960)一为产甚至.n20.577351.000000300.8888890,7745970.55555640,3399810.6521450.8611360.347855500.5688890.5384690.4786290506180.236927确切的横坐标下表中给出。nXjWj小10土-八525弋、_乂.：|飞工士点祚23+70丫5乔召(1甘_屈)L2S0士+如14厕盅(322+13何绘阪亠14厕盅卩22-口质)横坐标为顺序正交的根源勒让德多项式1?1,这意味着他们是代数的度,2,2,4,4、6、6、8、8、10、10、12,，等于工工为(

18、OEISA052928).同样的，订单的重量产交可以表示为多项式的根的程度1,1,1,2,2,3,3,4,4、5、5、,等于卜；可为(OEISA008619)。三角多项式的根确定权重(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)x-19x-5212216*4945000?-32200+51032025000 xJ-2025(KMjt24-629325jt-585641423535000-113071253400 x2+2751074371andqwithRe(q)0byOC(Wg)=E?!=盯Thisseriesisabsolutelyconvergentforthegive

19、nvaluesofsandqandcanbeextendedtoameromorphicfunctiondefinedforallsM1.TheRiemannzetafunctionisZ(s,1).Hurwitzzetafunctioncorrespondingtoq=1/3.ItisgeneratedasaMatplotlibplotusingaversionoftheDomaincoloringmethod.1Contentshide1Analyticcontinuation2Seriesrepresentation3lntegralrepresentation4Hurwitzsform

20、ula5Functionalequation6Taylorseries7Laurentseries8Fouriertransform9RelationtoBernoullipolynomials10RelationtoJacobithetafunction11RelationtoDirichletL-functions12Zeros13Rationalvalues14Applications15Specialcasesandgeneralizations16Notes17References18ExternallinkstheHurwitzzetafunctioncanbedefinedbyt

21、heequationHurwitzzetafunctioncorrespondingtoq=24/25.whereIistheGammafunctionandisthedigammafunction.AnalyticcontinuationeditIfwherethecontour；.isalooparoundthenegativerealaxis.ThisprovidesananalyticcontinuationofTheHurwitzzetafunctioncanbeextendedbyanalyticcontinuationtoameromorphicfunctiondefinedfo

22、rallcomplexnumberswith.At=ithasasimplepolewithresidueLTheconstanttermisgivenbySeriesrepresentationeditHurwitzzetafunctionasafunctionofq.z=3+4i.AconvergentNewtonseriesrepresentationdefinedfor(real)q0andanycomplexs+1wasgivenbyHelmutHassein1930:2Thisseriesconvergesuniformlyoncompactsubsetsofthes-planet

23、oanentirefunction.Theinnersummaybeunderstoodto门1一斥bethenthforwarddiffereneeof:;thatis,whereistheforwarddiffereneeoperator.Thus,onemaywriteC（5,q）=ThefunctionhasanintegralrepresentationintermsoftheMellintransformasforhwandW川1log（l+dq-IntegralrepresentationeditHurwitzsformulaeditHurwitzsformulaisthethe

24、oremthat雹严作环）+已where（2好isarepresentationofthezetathatisvalidfor匕斤上ands1.Here,-isthepolylogarithm.FunctionalequationeditThefunctionalequationrelatesvaluesofthezetaontheleft-andright-handsidesofthecomplexplane.Forintegers-f7ts2nkmcosholdsforallvaluesofs.TaylorserieseditThederivativeofthezetainthesecon

25、dargumentisashift:Thus,theTaylorserieshasthedistinctlyumbralform:30G+k-ls1（一嘗）弋（$+&工）.17=0fe=OAlternatively,with9J-.3CloselyrelatedistheStarkKeiperformula:whichholdsforintegerNandarbitrarys.SeealsoFaulhabersformulaforasimilarrelationonfinitesumsofpowersofintegers.LaurentserieseditTheLaurentseriesexp

26、ansioncanbeusedtodefineStieltjesconstantsthatoccurintheseriesSpecificallyI巴；an”二.FouriertransformeditThediscreteFouriertransformoftheHurwitzzetafunctionwithrespecttotheordersistheLegendrechifunction.RelationtoBernoullipolynomialseditThefunctiondefinedabovegeneralizestheBernoullipolynomials:瓦=況（巩工）wh

27、eredenotestherealpartofz.Alternately,C（T2）=L(王)兀+1Inparticular,therelationholdsfor：，1-andonehasRelationtoJacobithetafunctioneditIf训益丁）istheJacobithetafunction,thenholdsfor.：、Iandzcomplex,butnotaninteger.Forz=naninteger,thissimplifiestowhereZhereistheRiemannzetafunction.Notethatthislatterformisthefun

28、ctionalequationfortheRiemannzetafunction,asoriginallygivenbyRiemann.ThedistinctionbasedonzbeinganintegerornotaccountsforthefactthattheJacobithetafunctionconvergestotheDiracdeltafunctioninzas：bl-.RelationtoDirichletL-functionseditAtrationalargumentstheHurwitzzetafunctionmaybeexpressedasalinearcombina

29、tionofDirichletL-functionsandviceversa:TheHurwitzzetafunctioncoincideswithRiemannszetafunctionZ(s)whenq=1,whenq=1/2itisequalto(2s-1)Z(s),4andifq=n/kwithk2,(n,k)1and0nofwhichausefulgeneralizationisthedistributionrelation6gL52(s,a+p/g)=qss,qa).p=0(Thislastformisvalidwheneverqanaturalnumberand1-qaisnot

30、.)ZeroseditIfq=1theHurwitzzetafunctionreducestotheRiemannzetafunctionitself;ifq=1/2itreducestotheRiemannzetafunctionmultipliedbyasimplefunctionofthecomplexarguments(videsupra),leadingineachcasetothedifficultstudyofthezerosofRiemannszetafunction.Inparticular,therewillbenozeroswithrealpartgreaterthano

31、requalto1.However,ifOvqvland無1/2,thentherearezerosofHurwitzszetafunctioninthestrip1vRe(s)1+foranypositiverealnumbers.ThiswasprovedbyDavenportandHeilbronnforrationalandnon-algebraicirrationalq,7andbyCasselsforalgebraicirrationalq.48RationalvalueseditTheHurwitzzetafunctionoccursinanumberofstrikingidentitiesatrationalvalues.9Inparticular,valuesintermsoftheEulerpolynomials7婆器董g(2