2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高二年级上册学期开学考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期开学数学试题一、单选题1如果向量，那么等于ABCDB【详解】 ,选B.2若复数的实部与虚部相等，则实数（）A7B-7C1D-1B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等求得a值.【详解】因，依题意，实部与虚部相等，而a是实数，则，解得，所以实数.故选：B3高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为A168B175C172D176B【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.【详解】将7人的身高从低到高排列：第5个数据为所求的第6

2、0百分位数，即这7人的第60百分位数为故选：B本题主要考查了求百分位数，属于基础题.4已知，且，则（）AB2CDD【分析】先利用向量平行公式求出的值，代回两向量坐标，算出的坐标，再利用向量的模公式进行求解.【详解】因为，所以，解得，所以，所以， ，故选：D5我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（）AB1CDD【分析】设圆锥的底面半径为,则母线长为,高为,由同高的圆锥和棱锥满足祖

3、暅原理的条件,可知棱锥与圆锥的体积相等,进而求解.【详解】由题,设圆锥的底面半径为,因为圆锥的侧面展开图是半圆,则母线长为,高为,因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,所以棱锥与圆锥的体积相等,所以,解得,所以母线长为,故选:D本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.6如图，为正方体，则以下结论：平面；平面其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3D【分析】对于，由正方体的性质可知，再由线面平行的判定定理可得结论；对于，由正方体的性质可得，再结合三垂直线定理可得结论；对于，由正方体的性质可得，从而可由线面垂直的判定定理得到结论【详解】由正方体的性质得，所以结合线面平行的判定定理可得

4、：平面；所以正确由正方体的性质得，因为是在底面内的射影，所以由三垂线定理可得：，所以正确由正方体的性质得，由可得，所以，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：平面，所以正确故选：D7齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）ABCDB【分析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.【详解】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为

5、，所有比赛的情况:：、，齐王获胜三局；、，齐王获胜两局；、，齐王获胜两局；、，齐王获胜两局；、，田忌获胜两局；、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为故选：B本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.8在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，则ABC面积的取值范围为ABCDA【分析】由题意首先求得ABC的外接圆半径，然后将三角形面积公式转化为关于B的函数，由ABC为锐角三角形可得，据此确定ABC的面积的取值范围即可.【详解】由正弦定理可得， ，又为锐角三角形，即，.本题选择A选项.求三角形面积的最大值也是一种常见类

6、型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.二、多选题9在中，若是直角三角形，则k的值可以是（）ABCDBCD由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若为直角，则即解得若为直角，则即解得若为直角，则，即解得综合可得，的值可能为故选：本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.10已知三棱锥ABCD中，BCCD，ABAD，BC1，CD，则（）A三棱锥的外接球的体积为B三棱锥的外接球的体积为C三棱锥的体积的

7、最大值为D三棱锥的体积的最大值为AC【分析】根据已知条件求得球心的位置，即可求得外接球体积；根据【详解】如图，BCCD，BC1，CD，BD2，ABAD，ABAD，BD的中点O为外接球球心，故半径为1，体积为 ，当面ABD与面CBD相互垂直时，点A到面BCD的距离最大，故此时三棱锥的体积最大，此时高为AOBD1；其最大值为：1BCCD1故选：AC本题考查棱锥外接球体积的计算，以及棱锥体积的计算，属综合中档题.11在中，角，的对边分别为，若为非零实数），则下列结论正确的是（）A当时，是直角三角形B当时，是锐角三角形C当时，是钝角三角形D当时，是钝角三角形ABC由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各

8、个选项即可得解.【详解】对于选项，当时，根据正弦定理不妨设，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，根据正弦定理不妨设，显然是等腰三角形，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，根据正弦定理不妨设，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，根据正弦定理不妨设，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选.本题考查正弦定理与余弦定理的应用，利用正弦定理进行边角转化，再利用余弦定理求出角度的范围即可判断三角形形状，意在考查学生对定理的掌握与应用，属于基础题.12某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行

9、业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人A互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多ABC【分析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的

10、人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D.【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位

11、的比例未知，C正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确故选：ABC本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题.三、填空题13已知复数，_.【分析】根据复数的乘法与除法运算法则进行化简，再利用模的公式进行求解【详解】解：所以故14设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，则_【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.【详解】与对立，与互斥，.故答案为.15在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_.【详解】设AB的长为，因为，所

12、以=+1+=1，解得，所以AB的长为.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.16将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为_.60【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角.【详解】如图，取，的中点，分别为，则，所以或其补角即为所求的角.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.设正方形边长为，所以，则.所以.所以是等边三角形，.所以直线与所成的角为故 60四、解答题17已知平面向量满足，且的夹角为.()求的值；()求和夹角的余弦值.()2；().【详解】试题分析：()利用

13、模长平方与向量的平分相等，将已知两边平方展开，得到关于的方程解之即可；()分别求出和模长以及数量积，利用数量积公式求夹角.试题解析：()由已知得，即，解得.()， .又.所以和夹角的余弦值为.18如图，在四边形中，.(1)求；(2)若，求的长.(1)(2)3【分析】（1）先求出，在中结合正弦定理求解即可；（2）根据题中条件运用二倍角公式求出的值，然后在中结合余弦定理求解即可.【详解】(1)因为，所以，在中，根据正弦定理知，即，解得.(2)因为且，所以.因为，所以，在中，由余弦定理知，即，所以，即，解得或（舍去），所以的长为3.19在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，

14、能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响（）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （）求该选手至多进入第三轮考核的概率；解：（） ；（） 【详解】（）设事件表示“该选手能正确回答第i轮问题” 由已知，（）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则（）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则20如图，正三棱柱的每条棱的长度都相等，D，F分别是棱，的中点，E是棱上一点，且平面.（1）证明：平面.（2）求四棱锥的体积与三棱柱的体积之比.（1）见解析（2）【分析】（1）由线面平行的性质定理可得，然后可得E是的中点，

15、然后证明四边形是平行四边形，得出即可（2）首先证明平面，设，然后分别求出四棱锥和三棱柱的体积即可.【详解】（1）证明：因为平面，平面平面，且平面，所以.因为D是棱的中点，所以E是的中点，又F是棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：因为F是棱的中点，所以.又底面，所以，而，所以平面.设，则，四棱锥的体积，又三棱柱的体积，故.本题考查的是线面平行的证明和几何体体积的求法，属于基础题.21某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19

16、.(1)求x的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差.(1)(2)12(3)平均数48.75千克，方差62.8125【分析】（1）利用 “全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率”列方程，解方程求得的值.（2）利用分层抽样的抽样比，计算出在初三年级学生中抽取的人数.（3）利用平均数公式和方差公式进行转化可得答案【详解】(1)依题意，所以(2)由初一、初二学生人数为，所以初三学生人数为人，故用分层抽样

17、法在全校抽取名学生,问应在初三年级学生中抽取名.(3)初一年级应抽取学生的人数为，初二年级应抽取学生的人数为，初一学生的样本记为，方差记为，初二学生的样本记为，方差记为，初三学生的样本记为，方差记为设样本的平均数为，则，设样本的方差为则又，故，同理，因此，所以该校所有学生体重的平均数为和方差为.22如图，在AOB中，AOB90，AO2，OB1AOC可以通过AOB以直线AO为轴旋转得到，且OBOC，动点D在斜边AB上（1）求证：平面COD平面AOB；（2）当D为AB的中点时，求二面角BCDO的余弦值；（3）求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值（1）见解析（2）（3）【分析】（1）根据垂直的

18、判定先证明OC平面AOB，然后证明出平面COD平面AOB；（2）建立空间直角坐标系Oxyz，分别求出平面BCD和平面CDO的法向量，得出二面角的余弦值；（3）法一：用几何法找O到AB的最小值，求出正弦值法二：利用向量法，建立关于函数求最值.【详解】（1）证明：在AOC中，AOOC，OBOC，且AOOBO，OC平面AOB，又OC平面COD，平面COD平面AOB解：（2）如图建立空间直角坐标系Oxyz，D为AB的中点，O（0，0，0），A（0，0，2），B（0，1，0），C（1，0，0），设为平面OCD的法向量，即令，则，是平面BCD的一个法向量，设为平面OCD的法向量，即令，则，是平面OCD的一个法向量，二面角BCDO的余弦值为（3）解法一：OC平面AOB，CDO为CD与平面AOB所成