2021-2022学年重庆市高一年级下册学期学业质量调研数学试题【含答案】

1、2021-2022学年重庆市高一下学期学业质量调研数学试题一、单选题1若向量与对应的复数分别是，则向量对应的复数为（）ABCDB【分析】依题意得，进而求得向量的坐标，最后根据复数的几何意义即可求解.【详解】依题意得，所以，所以故与向量对应的复数为故选：B2下列说法正确的是（）A调查长江的水质适合用全面调查B两个互斥事件一定是对立事件C标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度D若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖C【分析】根据抽样调查的适用条件、互斥事件的性质、标准差的含义以及概率的意义逐项判断即可.【详解】对于A，长江的水质调查最适合使用抽样调查，故A错误；对于B，互斥事件未必

2、对立，但对立事件一定互斥，故B错误；对于C，方差和标准差都刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故C正确；对于D，中奖率是中奖的概率，只是反映了中奖的可能性大小，故抽奖10次未必有一次中奖，故D错误.故选：C.3为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为（）A36.7B36.6C36.5D36.4B【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案.【详解】将6名同学某日上午的体温记录从小到大排列为：36.1，36.3， 36.4，3

3、6.5，36.6，36.7，因为，所以该组数据的第80百分位数为36.6.故选：B.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（）A B CDB【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，E(0，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以(0，1)，(1,1,0)，则,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.故选：B.本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题.5在梯形中，且为上近点处的三等

4、分点，则向量（）ABCDA【分析】利用平面向量的线性运算计算即可【详解】由题意，故选：A6袋中有红黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A表示“3次抽到的球全是红球”，事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则下列结论正确的是（）A事件A与事件B互斥B事件A与事件C互为对立事件CDC【分析】根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件A与事件B不互斥，故A错误；对于B，事件A与事件C不可能同时发生

5、，是互斥事件，但一次试验中还可能3次抽到的球全是黄球，所以事件A与事件C不是对立事件，故B错误；对于C，因为，故C正确；对于D，因为事件A与事件C互斥，所以，故D错误.故选：C.7小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45，30，并测得，则教学楼AB的高度是（）A20米B25米C米D米B【分析】设，用 x表示出BC与BD，然后在三角形BCD中用余弦定理列方程即可.【详解】设 ，在直角三角形中， 在三角形BCD中，即 ，解得（

6、舍）.故选：B.8在三棱锥中，侧棱底面，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中，则该三棱锥外接球的表面积为（）ABCDD【分析】根据斜二测画法，还原可得的三边长，由正弦定理与余弦定理，求得的外接圆圆心和半径，过该圆心作底面垂线，设出三棱锥外接球的球心，构造直角三角形可得半径，可得答案.【详解】根据斜二测画法，还原图象可得：由题意可得：，则，由余弦定理，可得：，即，由正弦定理，可得外接圆的半径，则三棱锥作图如下：作平面，且底面，所以，取点为三棱锥外接球的球心，则，作，易知四边形为正方形，即，则，即三棱锥外接球表面积.故选：D.二、多选题9若，则下列结论正确的是（）A的虚部为BCD

7、BD【分析】先对复数化简，然后逐个分析判断即可.【详解】，对于A，复数的虚部为1，所以A错误，对于B，所以B正确，对于C，所以C错误，对于D，所以D正确，故选：BD10已知向量，则下列命题正确的是（）AB若，则C存在唯一的使得D的最大值为ABC【分析】对于A，由向量模的坐标公式，根据同角三角函数的恒等式，可得答案；对于B，由共线定理，可得答案；对于C，由数量积的性质，可得关于的等式，由辅助角公式和三角函数的性质，可得答案；对于D，根据数量积的性质和辅助角公式，可得三角函数，可得答案.【详解】对于A，故正确；对于B，由，则，即，故正确.对于C，由，则，解得，因为，所以，故正确.对于D，由，则，即

8、当时，故错误.故选：ABC.11在中，角,所对的边分别为,，下列四个合题中，正确的命题为（）A若，则B若，则C若，则D若，则这个三角形有两解BCD【分析】对于A选项，利用余弦定理即可判断；对于B选项，先解得，再利用正弦定理即可求解；对于C选项，利用边角关系定理以及正弦定理即可判断；对于D选项，利用正弦定理，再结合边角关系定理即可判断.【详解】对于A，因为，则所以，故A错误;对于B, 若，又，则，则，故B正确;对于C，若，则由正弦定理可得（为的外接圆半径）所以，故C正确;对于D, 由正弦定理得,所以,由得,所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.故选: BCD12如图，是正方体的棱的中点，是棱上的动

9、点，下列结论中正确的是（）A在平面内总存在与平面平行的直线B存在点使得直线与直线垂直C四面体的体积为定值D平面截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形ABC【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用线面垂直的性质定理可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；作出截面图形，可判断D选项.【详解】对于A选项，连接、，过点作交的延长线于点，则、四点共面，若平面且，平面，平面，所以，平面，A对；对于B选项，取的中点，连接、，设，因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，当点为线段的中点时，所以，所以，故，即，、平面，平面，平面，故当点为的中点时，B对；

10、对于C选项，设正方体的棱长为，由B选项可知平面，且，C对；对于D选项，当点与点重合时，截面截正方体为四边形；当点与点重合时，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接，此时，截面截正方体的截面为四边形；当点在线段（不包括端点）上运动时，延长、交于点，设直线分别交直线、于点、，连接交于点，连接、，此时，截面截正方体所得截面为五边形.综上所述，平面截该正方体所得截面可能为四边形、五边形，D错.故选：ABC.方法点睛：利用平面的性质确定截面形状的依据如下（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质三、填空题13方程在复数范围内的根为_【分析】本题可以用配方法

11、可得：，再两边同时开方得结果，注意到【详解】即即故答案为；14已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果.【详解】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，解得：，该圆锥的体积是故答案为.四、双空题15如图，正六边形的边长为2，点为正六边形的中心，若点在正六边形的外接圆上运动，点在半径为1的小圆上且关于圆心对称，则_；的最大值为_. 3 【分析】由向量的加减法得，再计算化简即可；在利用余弦定理得的方程，再利用均值不等式求范围即可.【详解】又因为，所以.故.在中由余弦定理得,因为，所以，当

12、且仅当即时等号成立.所以由得的最大值为.故3；.五、解答题16某班有45名学生，其中选考化学的学生有23人，选考地理的学生有15人，选考化学或地理的学生有29人，从该班任选一名学生，则该生既选考化学又选考地理的概率为_.【分析】根据容斥原理，先求出既选考化学又选考地理的人数，再根据古典概型的公式，可得答案.【详解】根据容斥原理，既选考化学又选考地理的人数为，由古典概型的公式，可得，故答案为.174月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频

13、率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本在60，80）80，100内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.（1），58分钟；（2）.【分析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到的值；再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得到答案.(2) 样本在60，80）80，100内的学生的频率为0.3,0.2，即样本在60，80），80，100 采用分层抽样的比例为3:2，

14、再结合古典概率即可求解得出答案.【详解】（1）由可得；这1000名学生每日的平均阅读时间，分钟；（2）由于，因此，60，80）抽取了3人a，b，c，抽取了2人d，e，则再从中抽取2人共有10种不同的抽取方法，抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为.18在中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足方程(1)求角A的大小；(2)若，求的面积(1)(2)【分析】（1）首先将角化为边，再根据余弦定理，即可求解；（2）首先求边和，再根据三角形的面积公式，即可求解.【详解】(1)由正弦定理边角互化可知，所以，因为，所以；(2)，所以 根据正弦定理，得，.19某高校自主招

15、生分笔试与面试两部分，每部分成绩只记“通过”与“不通过”，两部分都“通过”者，则“通过.并给予录取.甲乙两人都参加此高校的自主招生，甲乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的.(1)甲乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：(2)求甲乙两人中至少有一人获得录取的概率.(1)甲获得录取的可能性大，理由见解析，(2)【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式分别计算甲乙两人被录取的概率，再比较即可，（2）甲乙两人中至少有一人获得录取包括3种情况：甲被录取乙没被录取，甲没被录取乙被录取，甲乙都被录取，求出每种情况的概率，再利用互斥事件的概率加法

16、公式可求得结果.【详解】(1)记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件 ，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件，则由题意得，笔试和面试是否“通过”是独立的，所以,因为，即，所以甲获得录取的可能性大(2)记“甲乙两人中至少有一人获得录取”为事件，则由题意得所以甲乙两人中至少有一人获得录取的概率为.20如图，在中，是边为的正方形，平面平面，、分别是、的中点.(1)求证：平面：(2)求点到平面的距离.(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别取、的中点、，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点在

17、平面内作，垂足为点，证明出平面，利用等面积法求出的长，即为所求.【详解】(1)证明：分别取、的中点、，连接、，如下图所示：因为四边形为正方形，则且，、分别为、的中点，则且，同理可得且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，平面，平面，平面.(2)解：过点在平面内作，垂足为点，因为，则，因为四边形是边长为的正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，、平面，平面，平面，、平面，平面，因为平面，平面，则，由等面积法可得.因此，点到平面的距离为.21如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，已知，直线与平面所成的角为.(1)求证：平面平面：(2)求二面角的正切值.(1)证明见解析(2)【分

18、析】（1）易证平面，又，从而面，最后由面面垂直的判定定理即可证明（2）建立空间直角坐标系，先求出锐二面角的余弦值，再由同角关系即可求解【详解】(1)证明: 平面, 平面，又 ,，平面，平面，平面点，分别是和的中点，所以，平面，面又面，所以面面;(2)取的中点，连接，因为，为和的中点，所以，又平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角因为直线与平面所成的角为，则在中，在中，以为原点，建立空间直角坐标系,则， 设平面的一个法向量为, 则由, 可得可取取平面的一个法向量为设二面角的大小为，为锐角，22某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为2百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心O处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心O正东方向相距4百米的点A处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及圆弧外的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖