2021高考数学解题技巧讲义

1、第 页2021高考数学解题技巧讲义TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc6879 第1讲 函数相关技巧 PAGEREF _Toc6879 2 HYPERLINK l _Toc10291 技巧1 分式函数求值域4 HYPERLINK l _Toc29646 技巧2 口算奇偶性求参数5 HYPERLINK l _Toc298 技巧3 形如f(x)=奇函数+常数7 HYPERLINK l _Toc26555 第2讲 平面向量17 HYPERLINK l _Toc10887 技巧1 奔驰定理 PAGEREF _Toc10887 22 HYPERLINK l _Toc22360 技

2、巧2 三角形的四心 PAGEREF _Toc22360 25 HYPERLINK l _Toc10039 技巧3 极化恒等式 PAGEREF _Toc10039 27 HYPERLINK l _Toc10039 技巧4 等和线定理 37 HYPERLINK l _Toc21205 第3讲 解三角形46 HYPERLINK l _Toc25532 技巧一 三角形的射影定理 PAGEREF _Toc25532 49 HYPERLINK l _Toc1398 技巧2 三角形的中线定理50 HYPERLINK l _Toc13288 技巧3 角平分线的定理52 HYPERLINK l _Toc3145

3、4 第4讲 数 列62 HYPERLINK l _Toc18316 技巧1 等比数列前n项和规律65 HYPERLINK l _Toc29576 技巧2 单一条件口算结果66 HYPERLINK l _Toc5488 技巧3 公式法口算通项 PAGEREF _Toc5488 68 HYPERLINK l _Toc27216 技巧4 错位相减法口算结果70 HYPERLINK l _Toc30553 技巧5 斐波那契数列72 HYPERLINK l _Toc15095 第5讲 焦点三角形82 HYPERLINK l _Toc18146 技巧1 焦点三角形的周长85 HYPERLINK l _To

4、c6657 技巧2 焦点三角形的面积 PAGEREF _Toc6657 85 HYPERLINK l _Toc2672 技巧3 焦点三角形的离心率 PAGEREF _Toc2672 88 HYPERLINK l _Toc20586 第6讲 离心率 PAGEREF _Toc20586 101 HYPERLINK l _Toc31382 技巧1 焦点三角形中的离心率 PAGEREF _Toc31382 103 HYPERLINK l _Toc505 技巧2 点差法中的离心率 PAGEREF _Toc505 105 HYPERLINK l _Toc11152 技巧3 渐近线与离心率 PAGEREF

5、_Toc11152 108 HYPERLINK l _Toc15165 技巧4 焦点弦与离心率 PAGEREF _Toc15165 110 HYPERLINK l _Toc17358 第7讲 点差法 PAGEREF _Toc17358 123 HYPERLINK l _Toc11392 技巧1 点差法在椭圆在的应用 PAGEREF _Toc11392 125 HYPERLINK l _Toc12198 技巧2 点差法在双曲线在的应用 PAGEREF _Toc12198 130 HYPERLINK l _Toc24879 技巧3 点差法在抛物线在的应用 PAGEREF _Toc24879 135

6、 HYPERLINK l _Toc921 第8讲 外接球与内切球 PAGEREF _Toc921 154 HYPERLINK l _Toc32636 技巧1 外接球之墙角模型 PAGEREF _Toc32636 160 HYPERLINK l _Toc2523 技巧2 外接球之汉堡模型 PAGEREF _Toc2523 162 HYPERLINK l _Toc14938 技巧3 外接球之斗笠模型 PAGEREF _Toc14938 165 HYPERLINK l _Toc7416 技巧4 外接球之折叠模型 PAGEREF _Toc7416 167 HYPERLINK l _Toc12282 技

7、巧5 外接球之切瓜模型 PAGEREF _Toc12282 170 HYPERLINK l _Toc16592 技巧6 外接球之麻花模型 PAGEREF _Toc16592 172 HYPERLINK l _Toc361 技巧7 外接球之矩形模型 PAGEREF _Toc361 173 HYPERLINK l _Toc13376 技巧8 内切球半径 PAGEREF _Toc13376 175第1讲 函数相关技巧技巧导图技巧详讲分式函数求值域分子分母为同类型函数（一）注意事项求值域前先求定义域，如果给出区间则不用求定义域几个极限值（二）模式二.奇偶性常见函数的奇偶性（前提定义域关于原点对称）常考

8、的奇函数：(式子中的均是使函数解析式有意义的范围.) 常考的偶函数： 有对称轴函数解不等式或比较大小比较的是两个自变量与对称轴距离的远近当函数的对称轴为x=a，则f(x1)f(x2)当函数的先增后减时，当函数的先减后增时，奇偶性的运算同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数函数模型为f(x)=g(x)+k，其中g(x)为奇函数，所给区间要关于原点对称f(x)+f(-x)=2k推导：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2kf(x)max+f(x)min=2k推导 :f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(

9、x)min+k=2k(奇函数的最大值与最小值成相反数）如何找kf(0)=k推导:f(0)=g(0)+k=k技巧举证技巧1 分式函数求值域【例1】（1）（2020山西省太原市实验中学）已知函数的取值范围 。 （2）（2020湖南省长沙市第一中学）函数的值域为 。【答案】（1）【，】（2）【解析】，则其值域【，】（2）常规法：分离常数由已知:,.技巧法：t=x2,t0，则函数y=f(x)=t-1t+1,f(0)=-1,f()=1(取不到，开区间），【举一反三】1（2019上海市普陀区曹杨第二中学函数），的值域是_；【答案】；【解析】技巧法：f(0)=32,f(2)=74故答案为：常规法：,因为,故

10、,故.故答案为：2（2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校）函数的值域是 。【答案】，【解析】技巧法：t=x2,t0，则函数y=f(x)=-t+2t+2,f(0)=1,f()=-1(取不到，开区间），即函数的值域是，常规法：，则，即函数的值域是，3.（2020陕西省西安市高新一中）函数的值域为_.【答案】【解析】技巧法：的定义域为，则yf(-1)=4故答案为：常规法：由题.因为的值域为,故的值域为,故的值域为.故的值域为故答案为：技巧2 口算奇偶性求参数【例2】（1）（2020福建漳州高三其他（文）若函数是偶函数，则实数（ ）AB0C1D（2）（2020河南高三月考（理）已知是奇函数，且实

11、数满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】（1）C（2）D【解析】（1）技巧法：因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知常规法：因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以，故选：C.（2）因为是定义域为的奇函数，所以，可得，此时，易知在上为减函数.又因为，所以，所以.故选：D.【举一反三】1（2020沙坪坝重庆南开中学高三月考（理）已知函数，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】技巧法：根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数，根据对勾函数已知二次函数可知x0函数为单调递增，则x9,说明焦点在x轴上，同时a=4,b=3,而过点F

12、2的直线交椭圆于A，B两点，则点A到F2，F1的距离和为2a=8,点B到F2，F1的距离和为2a=8，结合椭圆的定义可知AF1B的周长为4a=16.在结合三角形的周长公式可知，其中两边之和为10，则另一边的长度为16-10=6故选A.2（2020广西钦州一中）设椭圆C：(a0，b0)的左右焦点分别为，离心率为.P是C上一点，且.若的面积为4，则a=（ ）A1B2C4D8【答案】C【解析】（技巧法）（常规法），由椭圆定义，由得，的面积为4，则，即，即,解得，即，故选：C.3（2020河南高三其他（文）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足：，且，则（ ）A1BCD2【答案】C【解析】设，则，又（

13、1），（2），式平方减去（2）式得：，得：.故选：C.4（2020黑龙江绥化高三其他（理）已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，为其焦点，在中，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得：，所以，所以，解得.故选：C5（2020山西临汾）已知椭圆的左，右焦点分别为，若上的点到的距离为，则的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意知，所以，因为，且，所以，在中，因为，所以，所以的面积为.故选：C.6（2020陆川中学）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】（

14、常规法）由题设可知点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，即，也即，故应选答案A 7（2020全国高三一模（文）设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】当是椭圆的上下顶点时，最大，则椭圆的离心率的最小值为.故选：C.8（2019江西南昌十中）已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，做出示意图如下图所示，由椭圆与双曲线的定义得，

15、所以得，又因为，由余弦定理得 ，所以得 所以得即，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D.9（2020伊美区第二中学）设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）ABC24D48【答案】C【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,所以,所以.所以.故选：C10（2020四川青羊树德中学高二月考（文）设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的定义得，又，即，因此，即，则，解得，（舍去），因此，该双曲线的离心率为.故选：B.11（2020吉林松原高三其他（文）已知点是双曲

16、线上一点，分别为双曲线的左右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）A15B16C18D20【答案】B【解析】（技巧法）依题意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.（常规法）依题意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故选：B12（2020陕西省丹凤中学高三一模（理）设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，.故选：D13（2020陕西高三其他（文）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，点在双曲

17、线的右支上，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以的取值范围是.（常规法）设，则由余弦定理得.又，则，解得，所以.因为，所以，所以，所以的取值范围是.故选：B.14（2020河北张家口高三期末（理）已知双曲线的焦点为，点为双曲线上一点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】设 ， ， ，解得 ， 故选D.15（2020全国高三一模（理）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为（ ）ABCD2【答案】A【解析】由已知可得，故选A.16（2019平罗中学高三二模（理）已知，是双曲线E：的左、右焦

18、点，点M在E上，与x轴垂直，则双曲线E的离心率为ABC2D3【答案】A【解析】（常规法）与x轴垂直，设，则，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，即，即，即，则，则，故选A17（2020陕西西安高三其他（理）已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是_.【答案】4【解析】由椭圆的定义可知，又，联立两式 ，可得又，所以，所以是以为直角边的直角三角形，所以的面积为.故答案为：.18（2020全国高二课时练习）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_.【答案】【解析】椭圆，可得，设，可得，化简可得：，故答案为19已知是椭圆的左，右焦点，点在上，且，则的面积为_【答案】【

19、解析】（常规法）由题意，设，则，由余弦定理可得，又，的面积，故答案为：第6讲 离心率 技巧导图技巧详讲焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。 2.双曲线：利用焦点三角形两底角来表示:。双曲线的渐进线与离心率关系直线与双曲线相交时，两个交点的位置两个交点在双曲线的两支：两个交点在双曲线的同一支:两个交点在双曲线的左支: 两个交点在双曲线的右支:焦点弦与离心率关系，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。例题举证技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）A2B2CD（2）（2020安

20、徽省高三三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】（1）C（2）A【解析】（1）不妨设代入双曲线方程得 ，.故答案选：C（2），（当且仅当时取等号），由椭圆定义知：，又，又，离心率的取值范围为.故选：.【举一反三】1（2020沙坪坝区重庆一中高三月考）已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】中，所以故选：B2（2020全国高三专题练习）已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率（ ）ABCD【答案】A【解析】点是以、为焦点的椭圆上一点，可得，由勾股定理可得，即，因此，该椭圆的离心率为.

21、故选：A.3（2019辽宁沈阳市沈阳二中高三月考（理）椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（ ）ABCD0【答案】A【解析】椭圆的离心率为，即.，故，当时等号成立.根据余弦定理：.故选：.技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）（2020四川外国语大学附属外国语学校）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是（ ）ABCD（2）（2020安徽省潜山第二中学）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为ABCD【答案】（1）B（2）D【解析】（1）设，由直线的斜率为可得，由线段的中点为可

22、得，由点在椭圆上可得，作差得，所以，即，所以，所以该椭圆的离心率.故选：B.（2）由题意方程可知，设,则 ,，整理得：，又，得，即，联立，得，即，解得故选D【举一反三】1已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD3【答案】B【解析】设、，则，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.2（2020全国高三专题）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A B C D【答案】B【解析】，点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，即，即，又，故选：B.3（2020全国高三专题练习

23、）若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意可知，由椭圆定义可知，.故选：C.技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得，圆的一条切线与双曲线有两个交点，所以，所以，所以.故选：D. 【举一反三】1若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是，故选：A2已知双曲线 (a0，b

24、0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）AB(1,2),CD【答案】A【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率，故选3（2020河南新乡市高三）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】题可知，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.双曲线的离心率为.故选：D.技巧4 焦点弦与离心率【例4】（2020石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆的左右焦点

25、分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（）ABCD【答案】D【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为联立直线与椭圆方程消后，化简可得 因为直线交椭圆于A，B，设 由韦达定理可得且，可得，代入韦达定理表达式可得即化简可得所以故选：D【举一反三】1（2020河南省高三月考）倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】设到右准线距离为，则，因为，则，所以 到右准线距离为，从而 倾斜角为，选B. 2（2020全国高三专题练习）已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于

26、点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】（1）当时，设，则，设，由题意可知，则，代入得，即，解得，则， （2）当时，设，设，则，由题意可知，则，则，则，代入得，即，解得，则，故选：B.3（2019浙江高三其他模拟）已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限，直线的方程为，与联立，得；直线与联立，得由，得，即，得，即，则，故选：B技巧强化1已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B

27、两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，设，则由得则因为是弦的中点，因为直线的斜率为1即所以，则，故选：D2设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.3（2019黑龙江佳木斯市佳木斯一中高三月考）已知，分别是椭圆的左、右焦

28、点，P是此椭圆上一点，若为直角三角形，则这样的点P有（ ）.A2个B4个C6个D8个【答案】C【解析】由题意，则，当为椭圆短轴顶点时，即，短轴顶点有2 个，过或作轴垂直与椭圆相交的点在4个，都是直角三角形，因此共有6个故选：C.4（2020广东广州市）已知,分别是椭圆的左, 右焦点, 椭圆上存在点 使为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是ABCD【答案】A【解析】设椭圆的上顶点为 ，则椭圆上存在点，使为钝角, 故答案为A5（2020河北石家庄市）已知椭圆 ，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使 ,则离心率e的取值范围为ABCD【答案】A【解析】由题意 设 ，则 可得： 故选A6（20

29、20全国高三专题练习）椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）ABCD1【答案】D【解析】设F（c,0）关于直线xy0的对称点为A（m，n），则，解得m，n，代入椭圆方程可得化简可得 e48e240，又0e1，解得e1.故选：D.7（2020全国高三专题练习）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为F1，F2P是椭圆上一点PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形，当60PF1F20,b0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(-12),a2=-4a2+4b2,5a

30、2=4b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线E的方程为-=1.故选B.【举一反三】1（2019陕西宝鸡市高考模拟）双曲线的一条弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】设弦的两端点，斜率为，则，两式相减得，即，弦所在的直线方程，即故选C2（2019广东佛山市佛山一中高三期中）已知双曲线C：(a0，b0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是A2xy0Bx2y0Cxy0Dxy0【答案】B【解析】设直线方程为，联立，消去y，得，设，因为线段AB的中点为，所以，解得，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即

31、，故选B.3（2020吉林长春市高三月考）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）ABC2D【答案】B【解析】设代入双曲线方程作差有:，有，所以，故选：B4（2020全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|（ ）A2B2C3D4【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，解得k1

32、.所以x1x210.所以|AB|4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直线AB的斜率k1.则直线AB的方程为yx2.由消去y并整理，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|4.故选：D5（2020全国高三专题练习）已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，两式做差得整理得，而，代入有，即可得故选：A.技巧3

33、点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020云南昆明市昆明一中高三月考）已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）ABCD（2）（2020贵州高三其他模拟）已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（ ）AB1C2D4【答案】（1）A（2）C【解析】（1）设过点的直线交抛物线于、两点.若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，由于点、在抛物线上，可得，两式作差得，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：A.（2）设直线方程为，联立得，设，则，因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.故选：C.【举

34、一反三】1（2020全国高三专题练习）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，两式相减得，即，当时，因为点是的中点，所以，解得： 故选：A2（2020河北衡水市衡水中学高三）已知直线与抛物线交于、两点，直线的斜率为，线段的中点的横坐标为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设、，则，两式相减得，所以，解得，得，所以，得直线，联立，得，由韦达定理得，所以，故选：B.技巧强化1（2020全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于AB两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，则=2

35、，=2， ， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，椭圆方程为，故选：D2（2020全国高三专题练习）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为ABCD【答案】A【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，斜率为则，两式相减得，又，代入解得故选：3（2020黑龙江哈尔滨市哈九中高三三模）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线(为坐标原点)的斜率为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】设A，则，A，代入椭圆方程得：，两式相减可得：，化简可得：，即：，故选：B4（2020全国高三专题练习）已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均

36、不为0，若直线斜率之和为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，所以不妨设为.设，两式作差得，则，同理可得，所以，故选：5（2020全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由已知得c5，设椭圆的方程为，联立得，消去y得（10a2450）x212（a250）x4（a250）a2（a250）0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为.故选：C6（2020全国高三专题练习）椭圆mx

37、2ny21与直线y1x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由得(mn)x22nxn10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，所以y1y2，所以线段MN的中点为P，.由题意知，kOP，所以故选：A.7（2020黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三）已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD3【答案】B【解析】设、，则，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.8（2020青海西宁市高三二模）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于

38、A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，设，则由得则因为是弦的中点，因为直线的斜率为1即所以，则，故选：D9（2020银川三沙源上游学校高三）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD【答案】D【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.直线:的斜率为，故.因为两点在双曲线上，所以，两式相减并化简得，所以，所以.故选：D10（2020齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A，B为双曲线1（a0，b0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若kA

39、BkOM，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D【答案】D【解析】设，则，由可得 ，即，则双曲线的离心率为故选：D11（2020甘肃兰州市高三月考）过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )ABCD【答案】D【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y2k（x4）代入双曲线C：，整理得（12k2）x2+8k（2k1）x32k2+32k100设此方程两实根为，则又P（4，2）为AB的中点，所以8，解得k1当k1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0，所求直线AB的方程为y2x4化成一般式为xy208，10|AB|4故选D12（2020全国高三专题练习）已知F是抛物线C：y2=2px(p

40、0)的焦点，过点R(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5，则直线l的斜率为（ ）A3B1C2D【答案】B【解析】由于R(2，1)为AB中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB).根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=22+p=5，解得p=1，抛物线方程为y2=2x.，两式相减并化简得，即直线l的斜率为1.故选：B13（2020湖北武汉市高三三模）设直线与抛物线交于，两点，若线段中点横坐标为2，则直线的斜率（ ）.A2BCD或2【答案】A【解析】联立直线与抛物线，消整理可得，设，由题意，解可得，解可得或，综上可知，.故选：A14（2

41、020全国高三月考（理）已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为关于轴对称，所以纵坐标为，横坐标为1，代入，可得.设点，.则则，又关于直线对称.，即，又的中点一定在直线上，.线段的中点坐标为.故选:A.15（2020全国高三月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，若抛物线上存在关于直线对称的不同两点和，则线段的中点坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为，则，所以设点，则，则，又，关于直线对称，即，又的中点一定在直线上，线段的中点坐标为故选：A.16（2020全国高三专题练习）已知直线l过抛物

42、线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，则弦AB中点M的横坐标是（ ）A3B4C6D8【答案】C【解析】直线l过抛物线的焦点, 交抛物线C于A、B两点则其焦点坐标为,准线方程为 过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于,交轴于,如下图所示:设 由抛物线定义可知,由,可知因为为的中点,由梯形的中位线性质可知 则即M的横坐标是 故选:C17（2020河北衡水市衡水中学高三月考）抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设,由题得，所以，故选：A18（2020全国高三专题练习）过椭圆内的

43、一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程 .【答案】【解析】解：设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是，即，故所求直线的方程为，即故答案为：19（2020全国高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程 .【答案】【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，设、则有：，两式作差得：，又的斜率是，代入得，双曲线标准方程是.20（2020全国高三专题练习）直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_.【答案】【解析

44、】设，中点，则满足，两式相减得，整理得，即，即，.故答案为：.21（2020全国高三其他模拟）已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】设，代入椭圆方程得，两式作差得，整理得，因为，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.22（2019浙江宁波市镇海中学高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，ABC的三个顶点都在椭圆r上，设ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为、且均不为0，O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为2，则_【答案】【解析】由椭圆：的离心率为，设 ，则 椭圆的标准方程为： 设 因为边AB

45、、BC、AC的中点分别为D、E、M，故 ，由 在椭圆上，则 ，两式相减化简得： ，所以即： 同理得：，所以又因为 故答案为：23（2020四川成都市高三二模）设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为_【答案】【解析】联立直线与抛物线，得，则，又，故，.故答案为：.24（2020全国高三月考）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为_.【答案】【解析】设，则，由得，即所以，又，所以，即，又，解得，所以椭圆方程为25（2020江苏）椭圆与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为_【答案】【解析】设，线段AB的中点为则，

46、即， 故答案为：26（2020湖北黄冈市黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是_.【答案】【解析】由，的坐标得.设双曲线方程为，则.设，则，.由，得，即，.于是，所以的方程为.故答案为：27（2020广东广州市高三月考）已知直线与双曲线交于两点，当两点的对称中心坐标为时，直线的方程为_.【答案】【解析】设，则， 相减得到，即，.故直线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.28（2020西藏拉萨市拉萨中学高三月考）已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段的中点

47、在直线上，则双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】点A，B关于直线对称，线段的中点在直线上所以得，设，所以将代入双曲线，则有两式相减得.，.点A，B关于直线对称，所以，即.双曲线的离心率为.故答案为：29（2020全国高三月考）过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为双曲线方程为则设,因为点恰为线段的中点则则,两式相减并化简可得 即直线的斜率为2所以直线的方程为 ,化简可得因为直线与双曲线有两个不同的交点所以解得且所以的取值范围为故答案为: 30（2019云南玉溪市高三月考）已知抛物线，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线对称的相异两

48、点，则线段的中点坐标为_.【答案】【解析】焦点到准线的距离为1，设，中点，得：，即，即故，又因为在直线上，所以，从而线段的中点坐标为.故答案为：.第8讲 外接球与内切球 技巧导图技巧详讲外接球8大模型秒杀公式推导1.墙角模型使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径秒杀公式：图示过程2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置第二步：根据勾股定理可得（3）秒杀公式：（4）图示过程3.斗笠模型（1）使用范围

49、：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h第二步：在h上取一点作为球心O第三步：根据勾股定理（3）秒杀公式：（4）图示过程4.折叠模型使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠推导过程 第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O第二步：计算第三步：（3）秒杀技巧：（4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接

50、FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒杀公式：（4）图示过程6.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c秒杀公式：图示过程 7.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径（3）秒杀公式：（4）图示过程 鳄鱼模型使用范围：适用所有的棱锥推导过程：（3）秒杀公式：（4）图示过程内切球的半径等体积法推导过程秒杀公式：图示过程特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式例题举证技巧1 外接球

51、之墙角模型【例1】（2020河南高三月考）已知长方体中，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】作，垂足为，连接，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是与平面所成的平面角.又，.所以，解得.故该长方体的体对角线为.设长方体的外接球的半径为，则，解得.所以该长方体的外接球的表面积为.故选B.【举一反三】1（2020全国高三专题练习）棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，所以球的表面积为：.故选：C2（2019绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的

52、表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.技巧2 外接球之汉堡模型【例2】（2020四川泸州市高三）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为.故选：C.【举一反三】1（2020广

53、州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是，因此它的外接球的直径是，所以这个球的表面积是：.故选：B2（2020辽宁省高三）如图，在三棱锥ABCD中，BD平面ADC，BD1，AB2，BC3，AC，则三棱锥ABCD外接球的体积为（ ）A4B3C2D4【答案】D【解析】因为BD平面ADC，所以，所以，所以，所以，所以以、为棱的长方体与三棱锥ABCD具有相同的外接球，所以该外接球的直径为，半径为，则该外接球的体积为故选：D.3（2

54、020广东广州市高三月考）在长方体中，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】长方体中，平面，平面，又平面，平面，平面，而平面，是正方形，是与交点，即为的中点，也是的中点是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）设，则，解得，外接球半径为，表面积为故选：C4（2020全国高三月考（文）三棱柱中，平面，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，取中点，连交于点， ，为的外接圆圆心，外接圆半径为,，平面，平面，又，点为三棱柱的外接球球心，外接球半径，外接球

55、体积.故选：B.技巧3 外接球之斗笠模型【例3】（2020江苏南通市高三期中）正三棱锥中，则该棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正三棱锥中，,所以,故,同理可得, ,以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，故球的表面积为,故选：C【举一反三】1（2020秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】过点作平面于点，记球心为.在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，.球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，.在中，即，解得，外接球的表面积为.故答案为：.2正四棱锥的顶点都在

56、同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，=4-R，在Rt中，由勾股定理得，球的表面积，故选A.技巧4 外接球之折叠模型【例4】（2020广东省高三）在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A7B8CD【答案】D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH因为ABD与CBD均为边长为2的等边三角形所以AHBD，CHBD，则AHC为二面角ABDC的平面角，即AHD120设ABD与CBD外接圆圆心分别为E

57、，F则由AH2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得OHE60所以OE1，则ROA则三棱锥外接球的表面积 故选：D【举一反三】1（2020山东枣庄市高三期中）已知二面角的大小为120，且，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为_.【答案】【解析】设，则，设和的外心分别为、，则分别为的中点，过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心，连接，则为三棱锥外接球的半径取的中点，连接、，如图所示，由题意可知，且，为二面角的平面角，即，连接，平面，平面，四点共圆

58、，且该圆的直径为在中，由余弦定理知， 的外接圆直径， 当时，取得最小值，为，此时该球的表面积取得最小值，为故答案为：2（2020南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）ABCD3【答案】A【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得ADBC，SDBC，ADS是二面角ABCS的平面角，ADS，由题意得BC平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R|OA|，由题

59、意知BD，AD，DE，AE，连结OD，在RtODE中，OEDE，OA2OE2+AE2，球O的表面积为S4R2故选：A技巧5 外接球之切瓜模型【例5】（2020内蒙古赤峰市高三月考）已知三棱锥中，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，所以的外接圆的圆心为斜边的中点,，为等腰三角形.取的中点，连接，, 又 面面，面面，面，面，过点作的平行线，则球心一定在该直线上.设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,由球的性质则，平面，则为矩形.在中，,则所以的外接圆的半径 所以，则 则 所以球的半径为 所以三棱锥的外接球的表面积为 故选：B【举一反三】1（2020四川泸州市高三

60、一模）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，由已知可得，与均为等边三角形，取中点，连接，则，平面平面，则平面，分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为边长为的等边三角形，可得，三棱锥ABCD的外接球的表面积为.故选：D.技巧6 外接球之麻花模型【例6】（2020四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，则四面体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面