合情推理之类比推理

1、合情推理之类比推理第1页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二定义 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.推理已知判断前提新的判断结论第2页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 由某类事物的 具有某些特征,推出该类事物的 都具有这些特征的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).部分对象全部对象个别事实一般结论一、归纳推理简言之：由部分到整体，由个别到一般的推理1、定义第3页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、个别到一般的推

2、理注意归纳推理的结论不一定成立第4页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 合情推理是地球上最美丽的思维花朵之一!第5页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 自学检测C第6页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯4、火星上是否存在生命？引入：3.苍蝇的眼睛是一种“复眼”，由3000多只小眼组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜” ，一次就能照出千百张相同的相片。第7页，共46页，202

3、2年，5月20日，7点49分，星期二可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星上是否存在生命第8页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？思考：首先，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后，从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有这个特征。A类事物具有性质a,b,c,dB类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）所以B类事物可能具有性质

4、d.第9页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.二、类比推理注意：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理 （2）类比推理的结论不一定成立.（3）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.第10页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba

5、2b2;等等。类比推理的结论不一定成立.让我们一起来类比推理第11页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二推广：第12页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二平面向量空间向量若 ， 则 若 ， 则 2.利用平面向量的性质类比得空间向量的性质第13页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二等差数列等比数列定义通项公式前n项和3.利用等差数列性质类比等比数列性质第14页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二等差数列等比数列中项性质n+m=p+q时,am+an= ap+aqn+m=p+q时,aman= apaq任意实数a、b都有等差中项

6、，为当且仅当a、b同号时才有等比中项 ，为成等差数列成等比数列下标等差,项等差下标等差,项等比第15页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二例2.第16页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二第17页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二成立D第18页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二【练习】1、 推测第19页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二练习：第20页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二题型1.类比概念 类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法

7、与基本思路。 例1.等和数列的定义是：若数列an从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列an是等和数列，且a1=1， a2=2 ，写出数列an的一个通项公式为 ；分析：由定义知公和为3，且那么 第21页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二试将平面上的圆和空间里的球进行类比球. 合作探究1.类似特征圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.圆球的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合第22页，共46页，2022年，5月20日，

8、7点49分，星期二 弦 直径 切线 周长 面积试将平面上的圆和空间里的球进行类比截面圆过球心的截面圆(大圆)切面表面积 体积球. 合作探究2.类比.圆第23页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球

9、心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2球的体积球的表面积圆的周长 圆的面积.利用圆的性质类比得出球的性质 合作探究第24页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二平面图形与立体图形间的类比平面图形立体图形点直线边长面积三角形线线角直线平面面积体积四面体( 三棱锥)二面角第25页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二平面三角形空间四面体三角形两边之和大于第三边三角形面积=等边三角形内任意一点到三边距离之和等于定值，这个定值就是三角形的高空间四面体三个面的面积之和大于第四个面的面积空间四面体的体积=正四面体内任意一点到四个面

10、的距离之和等于定值，这个定值就是正四面体的高平面三角形和空间四面体的类比第26页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二直角三角形C902条直角边a，b和1条斜边c3个面两两垂直的四面体PDFPDEEDF90三个两两垂直的面S1，S2，S3和1个“斜面” S例：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想。ABCbacs1s3PEF的面积为SPEs2DF？c2=a2+b2分析：第27页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 1.在三角形ABC中有结论：AB+BCAC， 类似地在四面体P-ABC中 有 .PABCS1S2S3PAB的面积为S 课堂检

11、测：第28页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二1.若三角形内切圆半径为 ,三边长为 则三角形的面积为 , 根据类比思想,若空间四面体内切球的半径为 ,四个面的面积分别为 ,则四面体的体积为 变式训练第29页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二s1s2s3分析第30页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二1.如图，在平行四边形 中，有 那么，在平行六面体 中，有 练习：运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象第31页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 由图(1)有面积关系:则由图(2)有体积关系:2.（2004广东，15

12、）分析：变式训练AhhBCPBAC2sPA/B/=1PAPBsinPABCPBAC第32页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 总结：1.进行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想.2、类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）观察、比较联想、类推猜想新结论第33页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二类比推理类比推理以旧的知识为基础,推测新的结果，具

13、有发现的功能由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定成立注意第34页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二2、类比推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结果；结论不一定成立.1、归纳推理由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础,推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立.具有发现的功能;比较两个推理：合情推理第35页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 小结归纳推理和类比推理的共同点从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联

14、想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.第36页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二 合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论. 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.第37页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二3、(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进1的计算制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十进位例如用16进位制表示+1，则（）十六进位9十进位9101112131415E第38页，共4

15、6页，2022年，5月20日，7点49分，星期二第39页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二题型4.类比方法 有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。例4.若点P是正四面体 的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1, h2, h3，该正四面体的高为h，则（ ）分析：由点P是正三角形ABC的边BC上一点，且到另两边的距离分别为h1和h2，正三角形ABC的高为h，由面积相等很快可以得到h=h1+h2；于是，类比方法，平面上用面积，空间中用体积，立即可得答案为B第40页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二题型3

16、.类比性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。例3.我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆b2x2+a2y2=a2b2的一条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。第41页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1；对于方程 ，（若a=b，则方程即为圆的方程）由此可以猜测两斜率之积为 。证明：设弦AB的两端点的坐标分别为A(x

17、1, y1)，B(x2, y2)，中点为P，则由点差法得：第42页，共46页，2022年，5月20日，7点49分，星期二题型5.类比“陷阱” 类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，有时也会故意设计一些让你“误入歧途”的类比推理型陷阱题。例5.平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补”；在立几“当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时”，两二面角（ ） A.互补 B.相等 C.互补或相等 D.此两二面角的关系不定分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，也许会不知不觉“上当”误选答案（C）；其实，正确答案为 ，作一个图形就可以发现结论。（D）第43页，共46页，2022年，5月