2021-2022学年北京市第171中学高三最后一模数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk (k

2、Z)2若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A5，0)B(5，0)C3，0)D(3，0)3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD4集合，则（ ）ABCD5已知，则的大小关系为（ ）ABCD6ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( )ABC或D或7易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，易经的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响下图就是易经中记载的几何图形八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的

3、面积约为（ ）ABCD8已知等比数列满足，则（ ）ABCD9已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）ABCD10设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD11已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )ABCD12已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是_.14已知是定义在上的偶函数，其导函数为若时，则不等式的解集是_15已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是_16设，则“”是“”的_条件.三

4、、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；小

5、张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.18（12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，求.19（12分）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线于另两点、，记抛物线在点的切线的倾斜角为，直线的倾斜角为，求证：与互补.20（12分）中，内角的对边分别为，.（1）求的大小；（2）若，且为的重心，且，求的面积.21（12分）已知函数.（1）求函数的

6、单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.22（10分）网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的

7、满意度更高？并说明理由；（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：满意不满意总计网络看病实地看病总计并根据列联表判断能否有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角

8、可以写成2k (kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与终边相同的角=+ 其中.2C【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示令x3x2，得x0或x3，则结合图象可知，解得a3，0)，故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.3B【解析】由题意首先确定

9、几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和4A【解析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.5A【解

10、析】根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.6D【解析】由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.7B【解析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解.【详解】由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为，设三角形的腰为，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面积为：，所以每块八卦

11、田的面积约为：.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.8B【解析】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.9A【解析】先化简求出，即可求得答案.【详解】因为，所以所以故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.10A【解析】由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率【详解】由题意，由双曲线定义得，从而得，在中，由余弦定理得，化简得故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式11B【解析】由于直线的斜

12、率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.12D【解析】由题知，又，代入计算可得.【详解】由题知，又.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13；【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值【详解】圆：的标准方程为，圆心为，由题意，即，当且仅当 ，即时等号成立，故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”14【解析】构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性

13、，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.【详解】令，则是上的偶函数，则在上递减，于是在上递增由得，即，于是，则，解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.15【解析】先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ，直线与 在的图像有一个交点，由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题

14、转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式16充分必要【解析】根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【详解】当时，有，故“”是“”的充分条件.当时，有，故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件，故答案为：充分必要.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）分布列见解析，；小张应选择甲公司应聘.【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值（2）

15、设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，以此类推可得：当时，当时，的值当时，的值，同理可得：当时，的所有可能取值可得的分布列及其数学期望依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则 （2）设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，所以的分布列为228234240247254 依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，所以甲公司送餐员的日平均工资为元， 因为，所以小张应选择甲公司应聘【点睛】本题考查了随机变量

16、的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（1）；（2）【解析】（1）化简得到，取，解得答案.（2），解得，根据余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【详解】（1）.取，解得.（2）,因为， 故，.根据余弦定理：，.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据题意，设直线方程为，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论；（2）根据题意，设的方程为，联立方程得，同理可得，进而得到，再利用点差法得直线的斜率，利用切线与导数的关系得直线的斜率，进而可得与

17、互补.【详解】（1）由题意设直线的方程为，令、，联立，得，根据抛物线的定义得，又，故所求抛物线方程为.（2）依题意，设，设的方程为，与联立消去得，同理，直线的斜率=切线的斜率，由，即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题20（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理，转化为，分析运算即得解；（2）由为的重心，得到，平方可得解c,由面积公式即得解.【详解】（1）由，由正弦定理得C，即，又（2）由于为的重心故，解得或舍的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

18、档题.21（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即

19、证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，即成立，即成立.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）.【解析】（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性检验得有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.【详解】（1）对实地看病满意度更高，理由如下：（i）由茎叶图可知：在网络看病中，有的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有的患者评