南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲

1、 PAGE 7王正盛，矩阵论矩阵论复习提纲与习题选讲Chapter1线性空间和内积空间内容总结：z线性空间的定义、基和维数；z一个向量在一组基下的坐标； z线性子空间的定义与判断； z子空间的交z内积的定义；z内积空间的定义；z向量的长度、距离和正交的概念； zGram-Schmidt 标准正交化过程； z标准正交基。习题选讲：1、设R x 3 表示实数域R 上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。求R x 3 的维数；并写出R x 3 的一组基；求1 + x+2 x2 在所取基下的坐标；在R x 3 中定义( f , g) =1- 1f

2、( x)g( x)dx ，f ( x), g( x) R x n证明：上述代数运算是内积；求出R x3 的一组标准正交基；求1 + x +2x 2 与1 -x + 2 x 2 之间的距离；证明：R x 2 是Rx 3的子空间；写出R x2R x3 的维数和一组基；二、 设R2 2 是实数域 R 上全体2 2 实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法） 。（1） 求R 22 的维数，并写出其一组基；（2）? 1- 1? 在(1) 所取基下的坐标；-13?设W 是实数域 R 上全体 2 2 实对称矩阵构成的线性空间 （按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法） 。证明： W 是R22 的子空

3、间；并写出 W 的维数和一组基；在 W 中定义内积( A, B ) =tr ( B T A ) ，A, B W求出 W 的一组标准正交基；（5）求 ?13? 与 ?- 12?之间的距离；3021?设 V 是实数域 R 上全体 2 2 实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法） 。证明： V 也是R 22 的子空间；并写出 V 的维数和一组基；写出子空间W V的一组基和维数。Chapter2线性映射与线性变换内容总结：线性映射在基对下的矩阵表示；矩阵的典型关系：相抵（等价） 、相似与相合； 线性变换在基下的矩阵表示；线性变换在不同基下的矩阵之间的关系相似； 矩阵的特征值和特征

4、向量的定义与计算；矩阵可对角化的条件。习题选讲：一、 设 R x 3 表示实数域R 上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1） 求R x 3 的维数，并写出R x 3 的一组基；（2）1 + x+ 2 x 2 在(1) 所取基下的坐标；求1 + x 3+ 2 x 2 与 1 -x + 2 x 2 之间的距离；在 R x 3 中定义内积( f , g) =1- 1f ( x)g( x)dx ，f ( x), g( x) R x n求出 R x 3 的一组标准正交基;在R x 3 中定义线性变换D ： D (f ( x) )=f ( x )

5、 ,f ( x) R xn求 D 在（1）中所取基下的矩阵表示.二、设? 4?A = ? 56?- 52 ?- 73 ?，4- 9?求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；求 A 的全部特征向量；求每个特征值的代数重数和几何重数；判断 A 是否可对角化。Chapter3矩阵与矩阵的 Jordan 标准形内容总结：z矩阵的定义与运算；z矩阵的 smith 标准形、不变因子、行列式因子和初等因子；z矩阵的相似的条件；z矩阵的 Jordan标准形； z最小多项式理论习题选讲：一、设? 4?A = ? 56?- 52 ?- 73 ?，4- 9?求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；求 A 的行列

6、式因子、不变因子、初等因子；写出 A 的 Jordan 标准形；2写出 A 的最小多项式4求 A- A 。Chapter4矩阵的因子分解内容总结：矩阵的满秩分解； 矩阵的三角分解；了解矩阵的 QR 分解；了解矩阵的 schur 定理和奇异值分解习题选讲：一、（ 1）已知?231?A = ?14 ?9?，作出矩阵?A 的 LU分解；?12?11- 6 ?01?（2）已知A = ?0?1110- 11? ，作出矩阵?0 ?A 的满秩分解；Chapter5Hermite矩阵与正定矩阵Hermite 矩阵的定义和性质；正定矩阵的定义、性质和判定定理； 矩阵不等式习题选讲：一、? 2?ii ?- 1?设

7、A = ?- i2i ? ，其中 i=，证明 :A 0 ；-i-?i? 31?2?- 1 ? 121 ?设A = ? 12-?100 ?， B?2 ?= ?21?11 ?，问：1?1?A B吗？ 说明理由；设 A, B 均为n阶 Hermite 矩阵，且A 0 ， B 0 ，且AB =BA ，证明： AB 0 ；设 A, B 均为n阶 Hermite 矩阵，且A 0 ，即A 正定，证明： AB 相似于实对角矩阵；设 A, B 均为n阶 Hermite 矩阵，A 0 ，且AB 0 ；证明： B 0 ；证明：若A 0 ,则A- 1 0 ,；Chapter6范数与极限向量范数矩阵范数 1、2、 、F 范数的定义与计算； 范数等价性范数不等式习题选讲：?210 ?（1）设A = ?-123 ?，求A 1 , A 2 ,A, A?0- 32 ?F ；?设 A C nn是可逆矩阵，*是满足I= 1 的相容矩阵范数，证明：A- 1 A - 1；设A C mn ，证明：A 2 A F rank ( A)A 2 ；Chapter8广义逆矩阵广义逆矩阵的定义广义逆矩阵A+ 的定义、性质、计算+利用广义逆矩阵 A判断线性方程组的相容性，并表示通解形式习题选讲：叙述