2023届广东省高三上学期第一次联考数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 18 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 页2023届广东省高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1设集合，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】先求解集合，再根据集合的运算性质即可得到结果【详解】故选：C2已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（）ABCD【答案】C【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.【详解】因为函数在上是单调函数，则存在唯一的，使得，对于方程，则，可得，

2、所以，函数在上是增函数，由，可得，因此，.故选：C.3已知则（）ABCD【答案】C【分析】首先用作差法及基本不等式判断、，再由幂函数的性质得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、.【详解】解：因为，即，所以，即，又，令，则，所以当时，当时，所以，即，当且仅当时取等号，所以，令，则，所以当时，所以在上单调递增，显然，又，所以，即，所以，即；故选：C4在数列中，则ABCD【答案】A【详解】试题分析：在数列中，故选A.5如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中+与1+1是一对相反向量；-1与-1是一对相反向量；1+1+1+1与+是一对相反向量；-与1-1是一对相反向

3、量正确结论的个数为（）A1B2C3D4【答案】A【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，+与+不是一对相反向量，错误；-与-不是一对相反向量，错误；1+1+1+是一对相反向量,正确；-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误即正确结论的个数为1个故选：A6“k2”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可【详解】方程为双曲线，或，“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故选：A.7已知函数的图象在处与直线相切，则函数在上的

4、最大值为（）AB0CD1【答案】C【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，从而得到函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值；【详解】解：由，得，所以，解得；所以， 时，在上单调递减，则故选：C8已知平面向量，满足，且，则最小值为（）ABCD【答案】D【分析】根据，得到，不妨设，利用坐标法求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，如图所示：不妨设，则，所以，因为，所以，即，表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，所以最小值为，故选：D二、多选题9若，且，则（）ABCD【答案】ACD【分析】设，其中，对于A：根据范围求解；对于B：代辅助角公式化简求解；对于CD：换元，令，

5、根据单调性求解；【详解】由题知，设，其中，对于A： ，所以，即，所以A正确；对于B ：，所以，所以，所以，即，所以B错误；对于C： 令，则，所以，又，所以，所以，所以， 其中，令，对称轴为，所以在单调递增，所以当时，有最大值为3，即，所以C正确；对于D： 令，则，所以，又，所以，所以，所以，令，则，因为，所以，所以在单调递减，所以的最小值为，即，所以D正确.故选：ACD.10中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一

6、天的一半，走了6天后到达目的地”则下列说法正确的是（）A该人第五天走的路程为12里B该人第三天走的路程为42里C该人前三天共走的路程为330里D该人最后三天共走的路程为42里【答案】AD【分析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，由此可求出首项，然后逐个分析判断【详解】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，所以，解得，所以，对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，所以C错误，对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，故选：AD11设与是两个不共线向量，关于向量，则下列结论中正确的是（）A当时，向量，不可能共线B当时，向量，可能出

7、现共线情况C若，且为单位向量，则当时，向量，可能出现垂直情况D当时，向量与平行【答案】BD【分析】根据向量共线或垂直可构造方程确定的值，由此可确定各选项的正误.【详解】对于A，假设与共线，则，解得：或，则当时，向量，可能共线，此时，A错误；对于B，假设与共线，则，解得：，则当时，向量，可能共线，此时，B正确；对于C， ，向量，不可能垂直，C错误；对于D，当时，又，则向量与平行，D正确.故选：BD.12已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（）ABCD【答案】BC【分析】分析可知，分、解方程，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，因为方程有两个不相

8、等的实根，则方程在和时各有一个实根，则，当时，由得，可得；当时，由可得，可得.由题意可得，解得，故选：BC.三、填空题13的展开式中，的系数为，则_【答案】或【分析】写出二项式展开式的第项，由的系数为列出方程，解出值即可【详解】的展开式中的第项为：，令，则，解得，即；故答案为：14在中，则的长度为_【答案】【分析】由三角形内角和可求得，利用正弦定理可求得结果.【详解】，由正弦定理可得：.故答案为：.15一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，为自然常数，则_.【答案】【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定

9、过该点，即可求出参数.【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是.故答案为：.16已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_【答案】【详解】试题分析：设正六棱柱的底面边长为，高为，则，正六棱柱的体积，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为，所以外接球的表面积为【解析】六棱柱的性质；外接球的表面积【方法点晴】本题主要考查了六棱柱的结构特征、棱柱外接球的的表面积的计算、基本不等式求最值等知识点的应用，其中解答中，利用正六棱

10、柱的结构特征，外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，得出外接球的半径是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题四、解答题17已知向量(1)当时，求的值；(2)设函数，已知在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若，求 ()的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，化简可得，再代值计算即可，（2）由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得，再利用正弦定理可求得，从而可得，由，得，再利用正弦函数的性质可求得其范围【详解】(1)因为，所以，所以，所以(2)因为，所以，所以，在 ABC中，所以由正弦定理得，得，因为，所以角为锐角，所以，所以 ，

11、因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以 ()的取值范围为18如图，在四棱锥中，E是棱PA的中点，且平面.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，由面面平行的判定定理证得面面，由面面平行的性质定理证得，再有题目证得面，则面.（2）以点为坐标原点，建立如图所示得空间直角坐标，分别求出平面和平面的法向量，由面面角的公式带入即可求出答案.【详解】(1)取中点，连接，因为E是棱PA的中点，所以，面，面，面，面，.面面，面面，面面，所以，故，.面，面.(2)因为面，所以，建立如图所示得空间直角坐标系，设平面法向量为，所以，则，设平面法

12、向量为，所以 ，则设平面和平面所成角为，所以.二面角的余弦值为.19某寻宝游戏的棋盘路线图上，依次标有起点第1站第2站第20站，选手通过抛掷均匀硬币，从起点（不同于第1站）依序向第1站第2站第20站前进：若掷出正面，棋子从所在站点前进到下1站停留；若掷出反面，棋子则从所在站点连续前进2站停留，直到到达第19站或第20站，游戏结束，设游戏过程中棋子停留在第站的概率为.(1)从游戏开始计算，若抛掷均匀硬币3次后棋子停留在第X站，求X的分布列与数学期望；(2)甲乙两人约定：由裁判员通过不断抛掷硬币，让棋子从起点出发，并按上述规则依序前进，直到游戏结束.若棋子最终停留性第19站，则甲选手获胜；若棋子最

13、终停留在第20站，则乙选手获胜.试分析这个约定对甲乙两人是否公平.【答案】(1)分布列见解析，；(2)不公平【分析】（1）求出棋子所走站数之和X得可能取值及其概率，从而可得X得概率分布列和数学期望；（2）由题可得递推关系，比较即可得解.【详解】(1)由条件可知可能得取值为3，4，5，6，所以X的分布列为X3456pX的数学期望为：(2)由题知：当时，所以，因为，所以，所以甲获胜的概率较大，游戏不公平.20已知等差数列的前n项和为，.(1)求；(2)若集合，将中的所有元素按从小到大顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，求.【答案】(1)(2)846【分析】（1）根据等差数列的性质可解得，进而可

14、得，根据等差数列得通项公式即得；（2）先弄清楚以的前33项中，各有多少项A,B中的元素，再分组求和即可.【详解】(1)等差数列中，.(2)因为，A，B中没有共同的元素，所以的前33项中，有5项B中的元素，28项A中的元素，故.21如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于AB两点，且的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，定点【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；（

15、2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标，假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得.【详解】(1)由椭圆的定义可知，的周长为，即，又，故椭圆C的方程为：，(2)将联立，消元可得，动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，此时，由得，假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，设，则，整理得，对任意实数m，k恒成立，则，故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.22已知函数，(1)若，判断函数的单调性；(2)若函数的导函数有两个零点，证明：【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)证明见解析【分析】（1）由题意，可得到函数y的解析式，对函数进行求导，由导函数的正负可得关于x的取值范