求数列通项公式的6种方法

1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：a二a+f（n）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。n+1n例1已知数列a满足a二a+2n

2、+1，a二1，求数列a的通项公式。nn+1n1n解：由a=a+2n+1得a一a=2n+1贝yn+1nn+1n所以数列a的通项公式为a二加。nn例2已知数列a满足a=a+2x3n+1,a=3，求数列a的通项公式。nn+1n1n解法一：由a=a+2x3n+1得a-a=2x3n+1贝yn+1nn+1na=(aa)+(aa)+L+(aa)+(aa)+annn1n1n232211=(2X3n-1+1)+(2X3n-2+1)+L+(2X32+1)+(2X31+1)+3=2(3n1+3n2+L+32+31)+(n1)+323(13n-1)13+(n1)+3=3n3+n1+3=3n+n1所以a3n+n1.nT

3、OC o 1-5 h zaa21nI1-nii，3n+13n33n+1解法二:a=3a+2X3n+1两边除以3n+1，得一n+n+1naa2贝则n丨1n+，故3n+13n33n+1a因此亍3n2(1)(13n-1)_2(n1儿3n313+1却+1丄,322X3n211则a=xnx3n+x3n.3练习1.已知数列an的首项为1，a+次N*)写出数列anl的通项公式.an+1n答案.n2n+1练习2.已知数列an满足a=31，a+(n2)n(n1)，求此数列的通项公式.a2答案：裂项求和nn评注：已知a1=a,an+1a=f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，

4、求通项若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。、累乘法1适用于：a二f(n)a这是广义的等比数列n+1n累乘法是最基本的二个方法之二。2若an+1anaaa=f(n)，则-2=f(1)-3=f(2)丄L，十=f(n)aa2na两边分别相乘得，卄二aa11k=1L(n+1)a2-na2+aa=0、例4.设n是首项为1的正项数列，且n+1nn+1n(n=1，2，3,),则它的通项公式是an=解：已知等式可化为：(an+1+an)

5、kn+1)a-naL0n+1nan(n*).(n+1)an+i一naan+1=即ann+1an一1=an-1aa=n-nan一1anan-2aiAaa1口A111n一12=n评注：本题是关于aan和n+1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出a练习.已知(n+1)a=na,a=1,求数列a的通项公式.n+1n1n三、待定系数法适用于a=qa+f(n)n+1n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如an+1=ca，其中a1=a)型例6已知数列a中,na=1,a=2a+1(n2)，

6、求数列a的通项公式。1nn-1n解法一：Qa二2a+1(n2),nn-1又Qa+1=2,.a+1是首项为2,公比为2的等比数列1n/.a+1=2n，即a=2n1nn解法二：Qa二2a+1(n2),nn1两式相减得aa二2(aa)(n2)，故数列aa是首项为2,公比为2的等n+1nnn1n+1n比数列，再用累加法的练习.已知数列n中,a=2,a1n+1答案：a=(2)n1+12形如：a=p-a+qnn+1n(其中q是常数，且n丰0,1)若p=1时，即：an+1=an+qn，累加即可.若P丰1时，即:a=pa+qnn+1n，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以p+1.目的是把所求数列构造成等差

7、数列即：aa1pan11=n+()nb=npn+1qnpqnpnbb=丄()nn+1npq则pq,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以qn+1.目的是把所求数列构造成等差数列。apa1n+1=n+即：qn+1qqnq,qnbn+1,则可化为qn1+q.然后转化为类型5来解iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设n+l+m二P（an+卩）通过比较系数，求出九，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p工q,否则待定系数法会失效。例7已知数列J满足n+1二+“l二1，求数列呵勺通项公式。解法一（待定系数法）：设n+1+X13n=Tn+E），比较系数得V，导2，-43nt4

8、3i-i=-5则数列是首项为*435，公比为2的等比数列，a4-3ni=5-2nia4-3n15-2ni所以n，即na2a4n丨1n+解法二（两边同除以qn+1）:两边同时除以3n+1得：3n+133n32，下面解法略aa43n+1n+（）n解法三（两边同除以pn+1）:两边同时除以2n+1得：2n+12n32，下面解法略*3.形如an+1Pan+kn+b(其中k,b是常数，且k丰)例8在数列an中，1han+13an+求通项n(逐项相减法)a3a+2n,解：，n+1n”a3a+2(n1)-n-2时，nn1两式相减得aa3(aa)+2n+1nnn1an+1ab3b+2n，则nn1利用类型5的方

9、法知bn53n1+2a-a5-3ni-1n+1n再由累加法可得亦可联立解出*5形如apa+qa时将a作为f（n）求解TOC o 1-5 h zn+2n+1nn分析：原递推式可化为a+九a（p+九）（a+九a）的形式，比较系数可求得九，数列n+2n+1n+1na+九a为等比数列。n+1n例11已知数列满足U二5an+1-巴一匕二2，求数列”的通项公式。a+九a=（5+九）（a+九a）解：设n+2n+1n+1n比较系数得九=3或九=2，不妨取九=2,（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则an+22+广叫+厂，则+1一n是首项为4,公比为3的等比数列/.a2a=43n1a=43n152讥1n+1n

10、，所以nn.练习数列an中，若a1=8,a2=2,且满足an+24an+1+n二0,求答案：a=113nn四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列a满足ann+12a=匸,a=1，求数列a的通项公式。a+21nn111解：求倒数得=三+，a2an+1n11_1.Ja2Iann+1an+111I14-为等差数列，首项一=1,aIan丿1公差为2,112=-(n+1),.a二一a2nn+1n五、由和求通项已知数列a的各项均为正数，且前n项和S满足Snnn二3n22n,a二2求数列a的通项公式。1n例19已知数列a的各项均为正数，且前n项和S满足S=（a+1）（a+2），且a,a,a成nnn6nn249等比数列，求数列a的通项公式。n解：对任意neN+有S=；(a+1)(an6nn+2).:当n=1时，S=a=(a+1)(a+2),11611解得a=1或a=211当n22时，S=(a+1)(a+2)n16n1n1-整理得：(a+a)(aa3)二0nn1nn1a各项均为正数，a-a二3nnn-1当a=1时，a=3n一2，此时a2=aa成立当ai-2时,TOC o 1-5 h z1n429a=3n一1，此时a2=aa不成立，故a=2舍去n4291所以