新编大学高等数学经典课件44

1、新编大学高等数学经典课件44新编大学高等数学经典课件44(其中m,n为非负整数,a0,a1,an及b0,b1,bm为实数,且a00,b0 0)注意: (1)我们假设分子p(x)和分母Q(x)这两个多项式之间没有公因式; (2)分子是n次多项式,分母为m次多项式, 当nm时,此有理函数为假分式.(其中m,n为非负整数,a0,a1,an及b0,b1,b2.真分式及其性质 通过多项式的除法,总可以把一个假分式化为一个多项式和一个真分式之和的形式。例如 由此可见,对于有理函数的积分,只要计算真分式即可,因为多项式的积分在前面已经得到了研究,2.真分式及其性质例如 由此可见,对于有理函数的积分,另外,

2、真分式也可用p(x)/Q(x)表示. 真分式p(x)/Q(x)可分解为部分分式之和, 条件是多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次因式的乘积, 即另外, 真分式也可用p(x)/Q(x)表示. 其中p2-4q0,r2-4q0 则部分分式之和的形式如下:其中A1,.B1,.M1,.N1,.R1,.S1,都是常数其中p2-4q0,r2-4q0 则部分分式之和注意: 分母Q(x)中, 如有因式(x-a)k, 则分解后有k个部分分式之和, 即(其中A1,A2.AK都是常数,为待定系数)特别是若k=1, 则分解后的部分分式就是注意:(其中A1,A2.AK都是常数,为待定系数)特别是若 (2)分母

3、Q(x)中,如有因式(x2+px+q)k,则分解后有下列k个部分分式之和,即(其中p2-4q0,M1,N1,.都是常数, 为待定系数)特别是若k=1,则分解后的部分分式为 (2)分母Q(x)中,如有因式(x2+px+q)k例1 把真分式 分解为部分分式之和解:此题分母Q(x)分解为二个一次因式, 有其中A, B为待定系数例1 把真分式 分解为部分 2.待定系数的求法 第一种方法：等式右端通分,等式两端去分母,比较等式两端的系数与常数,使之相等,解方程组,求出待定系数. 2.待定系数的求法第二种方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒等式中,代入特殊的x值,求出待定系数例如例1得到 x+3=

4、A(x-3)+B(x-2) 令x=2 A=-5 x=3 B=6 则有部分分式之和为第二种方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒例2 把真分式 分解为部分分式之和解:例2 把真分式 分解为部3.有理真分式的积分 积分步骤:(1)把真分式分解为部分分式之和. (2)对各部分分式积分.3.有理真分式的积分例3 求例3 求例4 计算例5 计算例4 计算例5 计算下面讨论积分把分母中的二次质因式配方得到下面讨论积分把分母中的二次质因式配方得到新编大学高等数学经典课件44新编大学高等数学经典课件44以此作递推公式,并由例6有些可化为有理函数的积分,如还有些可把代数恒等变形或换元等方法：以此作递推公式

5、,并由例6有些可化为有理函数的积分,如还有些可从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可能选择简单的积分法.例9 求从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函例9 求二、三角函数有理式的积分 1. 三角函数有理式的表达式为R(sinx,cosx)三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx的有理式表示.故三角函数有理式也就是sinx, cosx的有理式.二、三角函数有理式的积分2.简单三角函数有理式积分的求法 万能代换2.简单三角函数有理式积分的求法简单无理函数的积分 1. 简单的无理函数的形式 我们只讨论R(x, t)形式的简单无理函数. 其中：2.简单无理函数积分举例一般直接令根号为t ,目的是换元后去掉根号.简单无理函数的积分2.简单无理函数积分举例一般直接令根号为t例10 求例10 求例11 求解例11 求解注意：不是所有初等函数的不定积分或原函数（即使存在）都是初等函数, 例如等都不能用