2019年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)（常用）

1、12019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 2019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 1 集合(1)【基础知识】集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为和常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集有理数集 实数集集合的表示方法 1 2 3集合间的基本关系： 1 相等关系： A 坚 B且B 坚 A 一 _ 2 子集： A 是B 的子集，符号表示为_ 或B 司 A 3 真子集： A 是B 的真子集，符号表示为_或_不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的【基本训练】1下列各种对象的全体，可以构成集合的是(1)某班身高超过1.8

2、m的女学生； (2)某班比较聪明的学生；(3) 本书中的难题 (4) 使 x2 _ 3x + 2最小的x 的值2 用适当的符号(=, 茫, =, 仁, 事)填空：爪 _ Q; 3.14_ Q ； N _ N*; x x = 2k +1,k = Z_ xx = 2k _ 1,k = z22019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 3用描述法表示下列集合： 由直线y = x +1上所有点的坐标组成的集合；4若A 后 B = B ，则 A _ B ；若A 同 B = B 则A _ B; A 后 B _ A 同 B5集合A = x x - 3 5, B = x x 1，P = x x2 1，则

3、M _ P2 集合P = x x2 - 3x + 2 = 0, Q = x mx - 1 = 0 , 若P 司 Q，则实数m 的值是32019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 3已知集合A有n 个元素， 则集合A的子集个数有 个， 真子集个数有 个4已知集合 A 1，3，2m 1，集合 B 3，m2 若 B A ，则实数 m 5已知含有三个元素的集合a, b ,1 = a2, a + b,0, 求a2004 + b2005 的值. a【典型例题讲练】例 3 已知集合A = xx2 3x 10 02 集合(2)(1) 若B A, B = x m +1 x 2m 1，求实数m 的取值范围。

4、(2) 若A B, B = x m 6 x 2m 1，求实数m 的取值范围。(3) 若A = B, B = x m 6 x 2m 1，求实数m 的取值范围。42019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 练习：已知集合 A = x 1 ax 2, B = x 1 x 1，满足 A B ，求实数 a的取值范围。例 4 定义集合运算： A B = z z = xy(x + y), x = A, y = B，设集合A = 0,1, B = 2,3， 则集合A B 的所有元素之和为练 习 ： 设 P, Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 ， 定 义 集 合 P + Q = a + ba = P

5、,b =Q, 若P = 0,2,5, Q = 1,2,6，则 P + Q中元素的个数是【课堂小结】：子集，真子集，全集，空集的概念，两集合相等的定义，元素与 集合之间的隶属关系与集合与集合之间包含关系【课堂检测】1 定义集合运算： A B = z z = xy(x + y), x = A, y = B，设集合A = 1,2, B = 3,4，则集合A B 的所有元素之积为2.设集合 A=x 1 x 2，B= x x 2, B = x | x2 - 6x + 8 0, 则(C A) B = _U练习： 设集合A = x x - 2 共 2, x = R，B = y | y = -x2, -1 共

6、 x 共 2，则C (ARB)= _例 2 已知 A = xx - a 0 ，且 A B = R ，则 a 的取值范围是。练习：已知全集I = R ，集合M = x x a并且M 仁 C P ，那么 a的取I值集合是 。72019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【课堂小结】集合交，并，补的定义与求法【课堂检测】1A 4, 2a 1,a2 ,B=a 5,1 a,9,且A B 9,则a的值是2已知全集 U,集合 P、Q，下列命题： P Q P, P Q Q, P (C Q) ,U(C P) Q U , 其中与命题P Q等价的有 个U3满足条件1,3 A 1,3,5的集合A 的所有可能的情

7、况有种4已知集合A x x 5 , B x 7 x a, C x b x 2，且A B C，则a _, b _4 集合(4)【典型例题讲练】例 3 设集合A xx2 4x 3 0,B xx2 ax a 1 0,且A B A, 求a的值.82019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 练习：设集合A = xx2 4x + 3 = 0, C = xx2 mx +1 = 0,且A C = C, 求m的值例 4 已知集合M = (x, y)y 1 = 2(x 1),x, y R ， N = (x, y)x2 + y2 4y = 0, x, y R，那么M n N 中元素为 .练习： 已知集合M =

8、 (x, y)x2 = y 2 ，集合N = (x, y)x = y 2 ，那么M n N =.【课堂小结】集合交，并，补的定义及性质； 点集【课堂检测】1设全集 U= 2,3, a2 + 2a 3 ，A=2,b，CUA=5，则a =，b =。2设A = (x, y) | 4x 2y = 0，B = (x, y)2x + 3y = 1，则 A B = _B = B ，求实数a的值.3设A = x | x2 + 4x = 0，B = x | x2 + 2(a +1)x + a2 1 = 0且A【课后作业】且 A B = (2,5) ， 则1 设 集 合 A = (x, y)y = ax +1 ，

9、 B = (x, y)y = x + b ，a = _,b = _2 50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化912342019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人.3已知集合 A =2，3，a 2 4a 2 ，B=0，7，2 a ，a 2 4a 2 ，AB=3，7， 求a的值及集合A B4已知集合A x | x2 1 0 ，B= x x2 2ax b 0 ，若B ，且A B A 求实数 a， b 的值5 函数的概念(1)【考点及要求】了解函数三要素，映射的概念，函数三种表

10、示法，分段函数【基础知识】函数的概念： 映射的概念： 函数三要素：函数的表示法：【基本训练】已知函数f (x) ax b，且 f (1) 4 ，f (2) 5,则f (0) _设f : x x2 是集合A 到B (不含 2)的映射， 如果A 1,2 ，则A B _函数y 4 x2 的定义域是函数y log (3x 2)的定义域是2 x11052019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 函数y = x2 3x+ 4, x 2, 4) 的值域是6 y = 3 的值域为_ ； y = 2x 的值域为x2_；y = log x的值域为_；y = sin x的值域为_； y = cos x的值域为

11、_；y = tan x的值域为_。【典型例题讲练】例 1 已知： f (x + 1) = 2x2 +1 ，则 f (x 1) = _练习 1：已知 f (3x + 1) = 9x2 6x+ 5 ，求 f (x)练习 2：已知 f (x)是一次函数，且f f (x)= 4x1 ，求f (x)的解析式例 2 函数y = x2 2x 3 +log (x + 2)的定义域是2 练习：设函数f (x) = ln 1+ x , 则函数g(x) = f ( x) + f ( 1 )的定义域是 1 x 2 x【课堂小结】：函数解析式 定义域【课堂检测】1下列四组函数中，两函数是同一函数的有 组112019 年

12、高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)(1)(x)= x 2 与(x)=x; (2) (x)=( x )2 与(x)=x(3) (x)=x 与(x)=3 x 3 ; (4) (x)= x 2 与(x)= 3 x 3 ;2设 f (x) = x 1 (x 0) ，则 ff(1)= (x 0)5函数 f(x)=(2x -1 (x 共 0) ，若 f(a)1，则 a 的取值范围是6已知函数f (x)是一次函数，且对于任意的t =R ，总有3f (t +1) - 2f (t - 1) = 2t +17,求f (x)的表达式7 函数的性质(1)142019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【考点及

13、要求】理解单调性，奇偶性及其几何意义，会判断函数的单调性，奇偶性【基础知识】1函数单调性：一般地，设函数f (x)的定义域为A ，区间 I A，如果对于区间则f (x)在区间I 上I 内任意两个自变量x , x ，当x 0) 试确定函数f (x)的单调区间，并证明你的结论练习 讨论函数f (x) = x + 3 (x 0)的单调性x例 2 若函数y = log (x2 ax + 3a)在2，+ )是增函数，求实数a 的范围2ax +1x + 2练习： 已知函数f (x) =在区间( 2, +)上是增函数，求a 的范围【课堂小结】1、函数单调性的定义 2、单调区间 3、复合函数的单1612320

14、19 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 调性【课堂检测】数 ylog (x23x2)的单调递减区间是1 2函数y =( 1)x 2x 的单调递增区间是3若3x 3 y 5 x 5y 成立，则x + y _ 04函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间1，2上是单调函数，求a的范围8 函数的性质(2)【典型例题讲练】例 3 判断下列函数的奇偶性(1)f (x) = (x 1)1 + x1 x(2)f (x) = 3 x2 +x2 3练习：判断下列函数的奇偶性(1) y = x sin x ； (2) y = 22x1 + 1例 4 若函数f (x) = log (x + x2 + 2a2

15、)是奇函数，则a = _a练习 已知函数f (x) = 是定义在实数集上的奇函数，求a的值【课堂小结】1、函数奇偶性的判断； 2、函数奇偶性的应用【课堂检测】17f (x) = x 一 1+ x +12019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 1 判断函数奇偶性： (1)(2)f (x) = lg(x + x2 + 1)2若函数f (x) = px2 + 3 是奇函数，且f (2) = 5 ，求实数 p, q的值。 3x 一 q 2【课后作业】1函数 y = f (x) 是定义在( 1，1)上奇函数，则 f (0) = ；2.知 f(x)是实数集上的偶函数，且在区间 0,+)上是增函数，

16、则f(-2),f(- ),f(3)的 大小关系是3若函数是奇函数， 当 x0 时，f(x)的解析式是.4函数f (x) = x 和g(x) = x(2 一 x)的递增区间依次是 5定义在(1，1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(1，1)上f (x)是减函数，求满足条件f(1a)f(1a2 )0的a 取值范围.9 指数与对数(1)18a _(a 0, m, n N* , n 1)2019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【考点及要求】理解指数幂的含义，进行幂的运算，理解对数的概念及运算性 质【基础知识】a _(a 0, m, n N* , n 1)0 的正分数指数幂是 ，0 的负分数指

17、数幂无意义。as at _(a 0, s, t Q) (as )t _(a 0, s, t Q) (ab)t _(a 0,b 0, t Q)如果a(a 0, a 1)的b次幂等于N ，即ab N ，那么就称数b叫做，记作：log N b，其中 a 叫做对数的 ，N 叫做对数的aalogaN _log an _(a 0, a 1) 换底公式： log N _a b若a 0, a 1,M 0, N 0那么log (MN) _alog M n _alog M n _ am【基本训练】1 ( 2 a6 )4 _43 lg 2 2 lg 2 lg 50 lg 25 =_Mlog _a N2 3 a2 b

18、 3 ab2 _log (2 3) _(2 3)【典型例题讲练】b 1 =例 1_2a3 b a 1a a 3 b b练习：1 1 ( 4ab 1 )34 1( ) 2 _0.12 (a3b 3 )2例 2 已知a a 3，求下列 (1) a a 1 (2) a2 a2 的值。练习：已知x x 3，求3 3x2x2 3x2x22 的值【课堂小结】指数的概念及运算1912019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【课堂检测】1( 6 3 a9 )4 = _2(_2003)0 + 80.25 根 4 2 + (3 2 根 3)6 _ ( 2 2 ) -4(| 16 )|_ 2 (49 )31

19、0a = 2,10b = 3,10c = 5,则103a_2b+c = _4若m + m_1 = 18，则 m + m_ = _ m _ m_ = _ 10 指数与对数(2)【典型例题讲练】例 3 log 7 + log 12 _ 1 log 42 _ 1 =_2 48 2 2 2练习：lg2 3 _ lg9 +1(lg 27 + lg8 _ lg 1000)lg 0.3lg1.220122019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 例 4 已知x, y, z为正数， 3x = 4 y = 6z 求使2x = py的p的值；练习：已知x, y, z为正数， 3x = 4 y = 6z 求证

20、 1 = 1 12y z x【课堂小结】： 对数的概念及运算【课堂检测】(lg 2)2 + lg 20 lg 5 =logaa2 + lg 1 lg 25 =a 3 a2 43 2 lg 2 + lg 3 = _1 + lg 0.36 + lg 81 12 34已知 2a = 5b = 10，则 1 + 1 =_a b【课后作业】1设 y = 40.9 , y = 80.48 , y = ( 1 ) 1.5 ，则 y , y , y 的大小关系为_ 1 2 3 2 1 2 3252 log 53 + log 32 log (log 8) = 4 3 2log 33 log8 9 的值为2212

21、019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 4log 2 . log 81549 =1 log . log 3 425 3 75若log 2 0 时， _； x 0 时_.(3)在( )上是a 1(1)过定点( )(2)当x 0 时，_； x 0 时_.(3)在( )上是图象定义域值域性质1. y = ( 1 )x一2 +2 的定义域是_，值域是_， 在定义域2上，该函数单调递_ .2.已知f (x) = a 一 x (a 0, a 1)，当 a (0,1)时， f (x)为 (填写增函数或者 减函数)；当 a (0,1)且x 时， f (x)1.3.若函数y = a 一 x+1 + 3

22、的图象恒过定点 .4. (1)函数y = ( 1 )x 和y = a x (a 0, a 1)的图象关于 _ 对称. a(2)函数y = ax和y = log x(a 0, a 1)的图象关于对称. 5.比较大小230.5 ,150.5 _a_.【典型例题讲练】例 1 比较下列各组值的大小：232019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) (1) 0.40.2 ,20.2 ,21.6 ； (2) a b , ab , aa 其中0 a b 1.练习 比较下列各组值的大小；(1) 0.32 ,20.3 ；(2) 4. 1 ,3.8 ,1.9 .例 2练习例 3练习已知函数y = 4x 3 .

23、 2x + 3 的值域为1,7，求x的范围.函数y = a x 在0,1上的最大值与最小值的和为 3，求a值.求函数y = a x 2 2 x 3 的单调减区间.函数f (x) = 0.3x 2 2 x3 的单调减区间为 _ .【课堂小结】：【课堂检测】1.(0.72)3 与(0.75)3 的大小关系为2.y = ( 1 ) |x| 的值域是 43 .y = ( 1 )x 2 x 的单调递减区间是3【课后作业】：1. 指数函数y = f (x)的图象经过点( 2,4 )，求f (x)的解析式和f (3)的值.2. 设a 0且a 1，如果函数 y = a 2 x + 2ax 1在1,1上的最大值

24、为 14，求a的值.24(1) y = 2x 42019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 12 指数函数图象和性质(2)【典型例题讲练】例 1 要使函数y = 1 + 2x + 4x a在x ( ,1上y 0恒成立.求a 的取值范围.练习已知2x 2+x ( 1 )x 24，求函数 y = 2x 2 x 的值域.例 2 已知函数f (x) = 3x , 且log 18 = a + 2, g(x) = 3ax 4x 的定义域为 1,1 .3(1)求g(x)的解析式并判断其单调性； (2)若方程g(x) = m有解，求m 的取值范围.练习 若关于x的方程25 x+1 4 . 5 x+1 m

25、 = 0 有实根，求m的取值范围.【课堂小结】联系指数函数的单调性和奇偶性等性质进行综合运用.【课堂检测】1.求下列函数的定义域和值域：(2) y = ( 2) x 3(3)y = 4x + 2x+1 +1【课后作业】2512019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 1 求函数y = () 一x2一3x+4 的单调区间.22 求函数f (x) = 一( 1 )2x + 4( 1 )x + 5的单调区间和值域. 2 2 13 对数函数的图象和性质(1)【考点及要求】1.了解对数函数模型的实际案例 ,理解对数函数的概念 ;理解对数函数的性质 , 会画指数函数的图象.2.了解指数函数y = a

26、x 与对数函数y =log x模型互为反函数(a 0, a 士 1 ) (不要求a讨论一般情形的反函数定义 ,也不要求求已知函数的反函数 ),会用指数函数模 型解决简单的实际问题.【基础知识】1 一般地,我们把函数_叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是_2.对数函数的图象与性质a 1(1)过定点( )图象定义域值域性质0 a 126_ _(3)在_是增函数(3)在_是减函数2019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)(2) 当 x 1 时,_0 x 1(2) 当 x 1 时,_0 x 1时时当当【基本训练】1.y = 3 一 log (x + 5)的定义域为_ ，值域为_ .

27、在定义域上， 该函 4数单调递_.2. (1)函数y = a x 和y = log x(a 0, a 士 1)的图象关于(2)函数y = log x 和y = loga x(a 0, a 士 1)的图象关于 a 1对称.对称.a.3.若log m log n 0 ，则实数m 、n 的大小关系是2 24.函数y = 2 +log x(x 1)的值域是 .2【典型例题讲练】例 1 求函数y =log (2x 2 一 5x 一 3)的递减区间.0.1练习 求函数y =log (3 + 2x 一 x 2 )的单调区间和值域.12272019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 例 2 已知函数f

28、(x) = log x + b (a 0且a 士 1, b 0) .a x 一 b(1)求f (x)的定义域； (2)讨论f (x)的奇偶性； (3)讨论f (x)的单调性.练习 求下列函数的定义域：(1)y = log (16 一 x 2 ) ； ( x+1)(2) y = log ( 2x + 3 ) . (3x _ 1) x 一 1【课堂小结】 熟悉对数函数的基本性质的运用【课堂检测】1.函数f (x) = log (x 2 一 2x 一 3)当x (一 ,一1)时为增函数，则a 的取值范围是_ .a 22.y = lg x + lg(5 一 3x)的定义域是.3.若函数f (x) =

29、log (x + 1)(a 0, a 士 1)的定义域和值域都是0,1，则 a 等于 _.a【课后作业】1.已知f (x) = log (2x+ 3 一 x2 ), (1)求函数 f (x)的单调区间； (2)求函数f (x)的最大值，4并求取得最大值时的x 的值.282019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) a2.已知函数f (x) = log (0 a 1)，判断f (x)的奇偶性. 14 对数函数的图象和性质(2)【典型例题讲练】例 1 已知函数f (x) = lg(a 2 1)x 2 + (a 1)x + 1 .(1)若f (x)的定义域为R ，求实数a的取值范围； (2)若f

30、 (x)的值域为R ，求实数a的 取值范围.练习 设0 a 1, 函数f (x) = log (a2 x 2ax 2), 求使f (x) 0 的x的取值范围.a例 2 已知函数y = log (a 2 x) . log (ax) ，当x 2,4时， y 的取值范围是 1 ,0 ，求实数a a 2 8a 的值.练习 已知函数f (x) = log x + 2(x 1,9)，求函数 y = f (x)2 的最大值.3【课堂检测】1.已知函数f (x) = + lg (1)求函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性，并证明你的结论.2.若函数y = log (x + b)(a 0,

31、 a 1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，则a =_，b =_.a3.求函数f (x) = (log x )(log x)的最小值.2 4 2 2292019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【课后作业】1.已知lg(7 . 2x + 8) log 2x10，求 f (x) = log x .log x 的最小值及相应x 的值.1 1 42 22.若关于自变量x的函数y =log (2 ax) 0,1上是减函数，求a的取值范围.a 15 函数与方程(1)【考点及要求】1.了解幂函数的概念，结合函数y = a x , y = x 2 , y = x3 , y = 1 , y = x

32、的图象，了解它们的x单调性和奇偶性. 2.熟悉二次函数解析式的三种形式，掌握二次函数的图形和性质. 3.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系.【基础知识】1.形如_的函数叫做幂函数， 其中_是自变量， _是 常 数 ， 如 y = x x , y = x 2 , y = x3 , y = 2x , y = 1 ， 其 中 是 幂 函 数 的 有 _x2302019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) _ .2.幂函数的性质： (1)所有幂函数在_都有定义，并且图象都过 点(1,1)，因为 y = 1a = 1，所以在第_象限无图象； (2)a 0 时，幂函数的图 象通过_，并且

33、在区间(0,+ )上_，a 0 时，幂函数在(0,+ )上 是减函数，图象_原点，在第一象限内以_作为渐近线. 3. 一 般 地 ， 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0(a 0) 的 _ 就 是 函 数 y = ax 2 + bx + c = 0(a 0)的值为 0 时的自变量x的值， 也就是_.因此， 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a 0)的根也称为函数 y = ax 2 + bx + c = 0(a 0)的_. 二次函数的解析式有三种常用表达式:(1)一般式_；(2) 顶 点 式 _ ； (3) 零 点 式_ .4.对于区间a, b上连续不断且f

34、 (a) . f (b) 0 的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间_，使区间的两端点逐步逼近 _，进而得 到零点近似值的方法叫做_.【基本训练】1.二次函数 f (x) = x 2 + 3x + 2 的顶点式为_；对称轴为 _ 最小值是_ .2.求二次函数f (x) = x 2 2x 3在下列区间的最值 x 2,4 ，y = _，y = _；. x 0,2.5 ，y = _，y = _； min max min max x 2,0 ，y = _，y = _. min max3.若函数y = x 2 + (a+ 2)x + 3, x a，b的图象关于直线x = 1

35、对称，则b = _ . 4.函数f (x) = x m 2 3m (m Z)是幂函数，当x 0 时f (x)是减函数，则m的值是 _.5.若f (x) = (m1)x2 + 2mx + 3为偶函数，则f (x)在区间(5, 2)上的增减性为_.312019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【典型例题讲练】例1 比较下列各组中两个值的大小(1) 0.4 ，0.5 ；(2) (0.44) ，(0.45) .练习 比较下列各组值的大小；(1) 0.32 , log 0.3,20.3 ； (2) 4. 1 ,3.8 , (1.9) ；2例 2 已知二次函数f (x)满足f (2 x) = f

36、(2 + x)，其图象交x 轴于A(1,0)和B 两点， 图象的顶点为C ，若 ABC的面积为 18，求此二次函数的解析式.练习 二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0)满足 f (x + 2) = f (2 x),且函数过 (0,3) ，且b2 2ac = 10a 2 ，求此二次函数解析式例 3 函数f (x) = x 2 4x 4在区间t, t + 1(x R)上的最小值为g(t) ，(1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作出函数g(t)的图象并写出g(t)的最小值.练习 设f (x) = x 2 + bx + c，且f (1) = f (3)，比较 f (1) 、

37、f (1) 、c 的大小.【课堂小结】【课堂检测】1. 二次函数f (x)满足f (2) = f (1) = 1, 且f (x)的最大值是 8，求此二次函数.322019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 2. 已知函数f (x) = 一x2 + 2ax + 1 一 a在0 x 1时有最大值 2，求a 的值.【课后作业】1. 已知0 x 2, 求函数f (x) = 4x一 一 3 2x + 5的最大值与最小值.2. 已知函数f (x) = 一x 2 + 2ax + 1 一 a在0 x 1时有最大值 2，求a的值. 16 函数与方程(2)【典型例题讲练】例 1 (1)若方程x2 一 2mx

38、 + 4 = 0 的两根均大于 1，求实数m 的取值范围.(2)设a、b 是关于x的方程x2 一 ax + 1 = 0 的两根， 且0 a 1,1 b 2 ，求实数a的取值332019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 范围.练习 关于x的方程ax2 一 2x + 1 = 0 的根都是正实数，求a的取值范围.例 2 某种商品在近 30 天内每件的销售价P (元)与时间t (天)的函数关系近一 t + 100, (25 t 30, t = N)似满足P = t + 20, (1 t 24, t = N)，商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天)的函数关系近似满足Q = 一t + 40(

39、1 t 30, t = N)，求这种商品日销售金额的最大值，并指 出日销售金额最大的一天是 30 天中第几天？练习 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两 个正三角形面积之和的最小值是_例 3 已知函数 f (x) = 3x 一 x 2 ，问方程 f (x) = 0 在区间 一1,0内有没有实数解？为什 么？练习 求方程2x3 + 3x 一 3 = 0 的一个实数解.【课堂检测】1.点( 3 ,3)在幂函数y = f (x)的图象上，点(一2 2 , 1)在幂函数y = g(x)的图象上，试解8下列不等式： (1)f (x) g(x) ；(2)f (x) g(x)

40、.2.判定下列函数在给定的区间上是否存在零点：(1)f (x) = x 2 一 3x 一 18(x =1,8) ； (2)f (x) = x3 一 x 一 1(x =一1,2) .【课后作业】342019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 1.已知函数f (x)= x 2 + (a 2 一 1)x +(a 一 2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数a 的取值范围.2.2.设x ，y是关于m的方程m2 一 2am + a + 6 = 0 的两个实根， 求(x 一 1)2 + (y 一 1)2 的最小 值. 17 函数模型及应用(1)【考点及要求】了解指数函数、对数函数、幂函数

41、、分段函数等模型的意义，并能进行简单 应用【基础知识】1.如果在今后若干年内我国国民经济生产总值都保持年平均 9%的增长率，则要 达 到 国 民 经 济 生 产 总 值 比 2006 年 翻 两 番 的 年 份 大 约 是_. (lg 2 = 0.3010, lg 3 = 0.4771, lg109 = 2.0374 )2.在x克浓度a%的盐水中加入y克浓度b %的盐水，浓度变为c%，则 x与y的函数 关系式为_.3.某旅店有客床 100 张，各床每天收费 10 元时可全部客满，若收费每提高 2 元 便减少 10 张客床租出，则为多获利每床每天应提高收费_元.4.关于x的实系数方程x 2 一

42、ax + 2b = 0 的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上， 则2a + 3b的取值范围为_.【典型例题讲练】例 1 (1)为了得到 y = 2x一1 的图象，只需将y = 2x 的图象(2)将 y = f (2x)的图象向右平移一个单位，则该图象对应函数为 例 2 已知f (x) = x2 一 4x + 3 ，(1)作出函数f (x)的图象； (2)求函数f (x)的单调区间，并指出单调性；352019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)(3)求集合M = m 使方程f (x) = mx有四个不相等的实数根 .练习 已知函数f (x) = 1 一 x2 , g(x) =

43、x + 2. 若方程 f(x+a)=g(x)有两个不同实根， 求 a 的取值范围.例 3 奇函数f (x)在定义域(一1,1)内是增函数， 且f (1 一 a) + f (1 一 a2) 1 一 x .2【课堂检测】1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路 程.下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后时间，则下列四个图中较 符合该学生走法的是_DD0 D0 0 D0T T T0 0 0A B C DT0O2. 已知f (x) = log (x 2 一 ax + 3a)(Q 为锐角且为常数)在 2，+ )上为减函数，则实数a的 cos Q取值范围为_.【课后作业

44、】1.方程 f (x) = x的根称为 f (x) 的不动点，若函数 f (x) = 有唯一不动点，且362019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) x = 1000 ， x = 1 ，求 x 的值.1 n+1 f ( 1 ) 2005 xn2. 已 知 函 数 f (x) = ( a, b 为 常 数 ) 且 方 程 f (x) x + 12 = 0 有 两 个 实 根 为x = 3, x = 4 . (1) 求 函 数 f (x) 的 解 析 式 ； (2) 设 k 1 ， 解 关 于 x 的 不 等 式：1 2f (x) (k +1)x k . 2 x3.对于x R ，二次函数f

45、(x) = x2 4ax+ 2a+ 30(a R)的值均为非负数，求关于x 的方 程 = a 1 + 1 的根的范围. 18 函数模型及应用(2)【典型例题讲练】例 1 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形菜温室， 在温室内， 沿左右两 侧与后侧内墙各保留 1 米宽的通道，沿前侧内墙保留 3 米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少？372019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 例 2 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价 为 1.2 万元/辆，销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求， 计划提高产品档

46、次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x cos9 , 且sin9 . cos9 0) ,当 为多少弧度时,该扇形有最大面积？练习：已知2 弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧长是 ( )A .2 B.sin 2 C. 2 D.2sin1sin1【课堂小结】1 终边相同角的表示 2.用弧长公式解决一些实际问题【课堂检测】1已知 = ，b的终边与 的终边相同， 则 的集合为 ，若 6 的终边与 的终边关于直线 y=x 对称，则的集合为 。2若点 P 在 2 的终边上，且 OP=2，则点 P 的坐标是( ， ) 33角 9 为第一或第四象限角的充分必要条件是 ( )

47、A.sin9tan9 0 C.cos9tan9 0 D.cos9tan9 1时中心角所对的弦长为 44)； )；)；2019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【课后作业】：1若将时钟拨慢 5 分钟，则时针转了 _度； 分针转了_ _弧度；若将时钟拨快 5 分钟，则时针转了 _度； 分针转了_ _弧度.2若a = 16900 ,9与a的终边相同，且 一 3600 9 360 0 ，则9 = _3设9是第二象限角，则点P(sin(cos9 ),cos(cos9 )在第 象限.4已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad,求该扇形的面积5若角的终边上一点 A(-5,m),且 tan=5,则

48、 m= , 并求的其它三角函数值.思考题：若 tan(cos9)cot(sin9)0,试指出9所在象限, 并指出9 所在象限.221 同角三角函数的基本关系 (1)【基础知识】同角三角函数关系的基本关系式：(1)平方关系： ( a e(2)商数关系： ( a 丰(3)倒数关系： ( a 丰【基本训练】1若sin a = 一0.4 ( a 是第四象限角)，则cos a = ,tan a =2若sin9 + cos9 = 2 ，则 sin9 cos9 = .3a 是第四象限角， tan ? = 一 5 , 则sin ? = 124若0 a 几 ，则 tana+ cota 的最小值为 .25若0 共

49、 2x 共 2几 ，则使 1一 sin2 2x = cos2x成立的x 的取值范围是 ( )45tana 一 sina tana sina2019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)A、(0, ) B、( 3 , ) C、 ( , 5 ) D、0, 3 , 4 4 4 4 4 4【典型例题讲练】例 1 化简(1) 1一 (sin4 x 一 sin2 x cos2 x + cos4 x) + 3sin 2 x ； sin2 x(2) 1 一 cosa + 1 + cosa ( a 为第四象限角) 1 + cosa 1 一 cosa例 2 已知sin9 = m 一 3 ，cos9 = 4 一

50、2m ( 9 )，求 m + 5 m + 5 2(1) m 的值 (2) tan 9 的值例 3 求证： sin 2 9 tan9 + cos2 9 cot9 + 2sin9 cos9 = tan9 + cot9=练习：证明： tanasina tana + sina462019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【课堂小结】：1 2【课堂检测】1已知cosa = 1 , 且tan a 0，则 sina 的值是5 2已知 tana = 1 , 且a = (几 , 3 几 ) ,则sina 的值为 2 23 求证： cos x = 1+ sin x 1 sin x cos x22 同角三角

51、函数的基本关系 (2)【典型例题讲练】例 1 已知sinacosa = 1 , 且几 a 几 求cos a sina 的值8 4 2 练习： 已知a 是三角形的内角， 若sina + cosa = 1 ，求sin 2 a + 2 sina cosa + 3cos2 a的5值例 2 已知tan9 = 2, 求下列各式的值：(1)2 sin9 3cos94sin99cos9 ； (2) sin9 cos9 ；(3) 2sin 2 9 3sin9 cos9 4 cos2 9 练习：已知tan9 = 2 ，求(1) ；(2) sin 2 9 sin9 .cos9 + 2 cos2 9 (3) 1 si

52、n6 x cos6 x1sin4xcos4x 的值472019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 例 3 已知sin9 ,cos 9 是方程4x2 4mx + 2m 1 = 0的两个根， 3 9 2 ，求角9 2练习： 已知关于x 的方程4x2 2(m +1)x + m = 0 的两个根恰好是一个直角三角形的两 个锐角的余弦，求m 的值【课堂小结】：12【课堂检测】：已知sina + cosa = 1 (0 a )，则 tana =5 【课后作业】：1已知 sina cosa = 5 , 则sinacosa = 42已知关于 x 的方程2x2 ( 3 + 1)x + m = 0 的两根为

53、sin9 和cos9 ，9 (0, )求(1) m 的值482019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) (2) 方程的两根及此时的值3化简 tana (cosa 一 sina ) + sina (sina + tana ) 的结果是cosa +1 23 正弦、余弦的诱导公式(1)【考点及要求】掌握正弦、余弦的诱导公式【基础知识】诱导公式：(1) 角2k几 +a (k = Z),几 士a,2几 一 a, 一a 的三角函数值与角a 三角函数值的关系分别是什么？口诀为：(2)角 几 士a , 3几 士a 的三角函数值与角a 三角函数值的关系分别是什么？ 2 2口诀为： 【基本训练】1 tan

54、600o = ； cos(一 17 )几 =3= ；(2007 全国卷 2) sin2100 =。2 已知 sin(540o +a) = 一 4 ，则 cos(a 一 270o) = _；若 a 为第二象限角，则549 = _. tan(180o + )84 22019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) sin(180o ) + cos( 360o )23已知 sin ( )log ，且 ( ，0)，则 tan 的值是4设f(x)= a sin(x +)+ b cos(x + b)，其中a, b, , b 都是非零实数， 如果f(2007)= 1， 那么f(2008)=1 【典型例题讲练

55、】例 1 化简下列各式(1)化简(1) sin( ) + cos( + ) ； (2) sin( )cos(2 ) tan( + )4 4 cot( )sin( + ) 练习： sin2 ( 3 x)sin2 ( 6 x) .例2 已知 是第三象限的角，且f ( ) = (1) 化简f ( ) ；(2) 若cos( 3 ) = 3 , 求f ( )的值； 2 5(3) 若 = 1860o, 求f ( )的值练习：已知cos = 1 , 且 0, 求cot( ) sin(2 + ) 的值3 2 cos( ) tan【课堂检测】502019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 1 若 sina

56、 = 4 ,且 为第二 象 限角， 则 sin(2冗 +a)= , sin(冗 +a)=5 sin(冗 一 a)= , sin(2冗 一 a)= , cos(冗 +a)= ,cos(冗 一 a)= , cos(2冗 一 a)= .2若cos(冗 一 a = 1 ，则 sin(2冗 一 a ) = 43若cos130。= a，则 tan 50。等于 ( )(A)1 一 a 2a(B)士1 一 a 2a(C) 士a1 一 a2(D)4已知冗 a 0 )个单位，得到的图象关于直557.540.5y = 2 sin(x +Q)(Q )的图象，那0么(4O2019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版)

57、 线x = 对称，则Q 的最小值为6 ( 2 ) 函 数 y = 一2 sin(4x + 2 ) 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 中 , 离 原 点 最近 的 一 点 是3_练习：把函数 y = cos(x+ )的图象向左平移 m 个单位(m0), 所得图象关于 y3轴对称, 则 m 的最小值是_。则 f (x) 的 解 析 式 为例 2 函 数 f (x) 图 象 的 一 部 分 如 图 所 示 ，( )Af (x) = 4sin x + 3.5 3Bf (x) = 3.5 sin x + 4 6Cf (x) = 3.5 sin x + 4.5 3Df (x) = 4sin x + 3.

58、5 693 )练习：已知如图是函数2A. = 10 , Q = 11 6B. = 10 , Q = 一 11 6C. = 2,Q = 6D. = 2,Q = 一 6例 3设函数f (x) = a + b sin x + c cos x(x = R)的图像过点A(0，1)，B( ，1)，且 b0f (x)的2最大值为2 2 一 1 ，(1)求函数f (x) 的解析式； (2)由函数 y=f (x) 图像经过平移是否能得到一个奇函数 y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能， 请说明理由。【课堂检测】1若函数f (x) = Asin(x +Q) ( A 0, 0,0 Q 2 )的最小值为

59、一2 ，周期为 2 ， 3且它的图象过点(0, 一 2) ，求此函数解析式5623几8几 0一8一22019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 2已知函数 y = Asin(x +Q) ( A 0,| Q| 几 )的一段图象如下图所示，求函数的解析式【课后作业】1已知函数f (x) = 2cos x sin(x+ 几 ) 一 3 sin2 x + sin x cos x + 2 (x R )，该函数的图象可 3由y = sin x (x R)的图象经过怎样的变换得到？2已知函数f (x) = 2 sin x(sin x + cos x)(1)求函数f (x)的最小正周期和最大值；(2)在

60、给出的直角坐标系中，画出函数y = f (x)在区间一 几 , 几 上的图象 2 2选做题：设函数f (x) = sin ax + 3 cos ax(0 a 1)，g(x) = tan(mx+ )(0 m 1)6又函数f (x)，g (x)的最小正周期相同，且f (1)= 2g(1)，试确定f (x)，g (x)的解析式；27 三角函数的性质(1)考点及要求】会求三角函数的定义域、值域；能解关于三角函数的不等式； 了解三角函数的周期性572019 年高考数学艺术生专用复习讲义(完整版) 【基础知识】1正弦函数、余弦函数的定义域均为 ，值域可表示成 (有界性)；正切函数的定义域为 ，值域为2正弦