222二次函数与一元二次方程课件

1、222二次函数与一元二次方程222二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程的关系1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标为x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.知识点一二次函数与一元二次方程的关系1.如果抛物2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根.上述关系如下表所示: a0(示意图)a0有两个不相等的实数根b2-4ac=0有两个相等的实数根b

2、2-4ac0,且2(k+1)0,即k-3且k-1时,抛物线与x轴有两个交点.(2)当8k+24=0,且2(k+1)0,即k=-3时,抛物线与x轴有唯一交点.(3)当8k+240,且2(k+1)0,即k-3时,抛物线与x轴没有交点.点拨根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围,其方法是根据抛物线与x轴的交点个数,列出关于字母系数的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求解.解析=(4k)2-42(k+1)(2k-3)=1知识点二利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等式 知识点二利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等例2(2018江苏苏州太仓期中)如图22-2-1是二次函数

3、y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是. 图22-2-1例2(2018江苏苏州太仓期中)如图22-2-1是二解析二次函数图象与x轴的一个交点坐标是(5,0),对称轴是x=2,则与x轴的另一个交点的坐标是(-1,0).由图象看出,当x5时,图象在x轴下方,即不等式ax2+bx+c0的解集是x5.答案x5温馨提示利用函数图象解不等式,当函数值y0时,图象上的点在x轴的上方;当函数值y0,y20(或y10y2)时,则x1,x2中必有一个是方程的近似解.再比较|y1|和|y2|,若|y1|y2|,则x2是方程的近似解.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的常用方

4、法如下表:方法步骤结论直接作出二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根先将一元二次方程变为ax2+bx=-c(a0),再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a0)的根先将一元二次方程化为x2+x+=0(a0),移项后得x2=-x-,再在同一直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x-两图象交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0(a0)的根方程的近似解;若|y1|y2|,则x2是方程的近似解.方例3(2017安徽阜阳太和一中月考)已知二次函数y=-x

5、2-2x+2.(1)填写下表,并在如图22-2-2所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;x-4-3-2-1012y 例3(2017安徽阜阳太和一中月考)已知二次函数y=(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可). 图22-2-2(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解解析(1)填表如下:x-4-3-2-1012y-6-1232-1-6所画图象如图22-2-3: 图22-2-3(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的两个近似根在-3-2之间和01之间.解析(1)填表如下:x-4-3-2-1012y-6-题型一利用函

6、数图象解不等式例1(2018福建龙岩上杭期中)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)在所给坐标系中画出该函数的图象;(3)根据图象直接写出不等式x2-4x+30的解集.图22-2-4题型一利用函数图象解不等式例1(2018福建解析(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,其图象的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(2)函数图象如图22-2-5: 图22-2-5(3)由图象可知,不等式x2-4x+30的解集为x3.点拨不等式ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0)(a0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象在x轴上(下

7、)方的点所对应的x的取值范围.解析(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,点拨不等题型二利用函数图象解一元二次方程例2(2017江苏盐城东台期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象(如图22-2-6所示),且其图象的对称轴为x=-1,则由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=() 图22-2-6A.-1.3B.-2.3C.-3.3D.-4.3题型二利用函数图象解一元二次方程例2(201解析二次函数图象的对称轴为x=-1,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2,=-1,又x1=1.3,=-1,解得x2=-

8、3.3,故选C.答案C点拨本题主要考查一元二次方程与二次函数的关系,二次函数的图象与x轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的根,两者可相互转化,要充分运用这一点解题.解析二次函数图象的对称轴为x=-1,且关于x的一元二次方题型三二次函数与一元二次方程的综合应用例3(2018河南洛阳洛龙期中)已知关于x的一元二次方程:x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,二次函数y=x2-(t-1)x+t-2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.题型三二次函数与一元二次方程的综合应用例3(解析(1)证明:在方程x2-(t-1)x+t-2=0

9、中,=-(t-1)2-41(t-2)=t2-6t+9=(t-3)20,对于任意实数t,方程都有实数根.(2)令y=0,得到x2-(t-1)x+t-2=0,设方程的两根分别为m、n,由题意可知,方程的两个根互为相反数,m+n=t-1=0,解得t=1.当t=1时,方程的两个根互为相反数.方法技巧在解决抛物线与x轴的交点问题时,常运用根与系数的关系将交点坐标与函数的系数联系起来.解析(1)证明:在方程x2-(t-1)x+t-2=0中,易错点忽略隐含条件、考虑问题不周全有些函数解析式中含有字母参数,要求我们能够根据所提供的情况确定字母参数的取值范围,我们常因忽略隐含条件、考虑问题不周全而导致错误.易错

10、点忽略隐含条件、考虑问题不周全例若函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k3B.k0,方程有两个不相等的实数根,抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为2,故选C.2.(2017安徽蚌埠实验学校月考)抛物线y=-x2+2kx3.(2017江苏苏州张家港一模)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为:x1=1,x2=-5,则二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是()A.直线x=2B.直线x=3C.直线x=-2D.y轴答案C关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1=1,x2=-5,二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别为

11、1和-5,对称轴为x=-2.故选C.3.(2017江苏苏州张家港一模)已知关于x的方程ax2+b4.(2016江苏泰州姜堰四中月考)二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.答案k0且k0,解得k3且k0.4.(2016江苏泰州姜堰四中月考)二次函数y=kx2-6x知识点二利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等式5.(2017黑龙江牡丹江中考)若将图22-2-1中的抛物线y=x2-2x+c向上平移,使它经过点(2,0),则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是. 图22-2-1知识点二利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等答案0 x2解析二次函

12、数的解析式为y=x2-2x+c=(x-1)2+c-1,将抛物线向上平移,对称轴不变,平移后的抛物线过(2,0)这个点,其对称轴为x=1,其与x轴的另一个交点坐标为(0,0).抛物线开口向上,平移后的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围为0 x2.答案0 x0时x的取值范围.6.(2018福建龙岩上杭月考)已知抛物线y=x2-x-解析(1)当x=0时,有y=-1,与y轴的交点C的坐标为(0,-1).当y=0时,有x2-x-1=0,即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,点A在点B的左侧,A(-1,0),B(2,0).(2)画图如下:由图象可知:当y0时,x的取值范围是x2.解析(1)当

13、x=0时,有y=-1,由图象可知:当y0时,知识点三利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程的近似解7.(2017甘肃兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.3x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16答案C由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近似根是1.2,故选C.知识点三利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元8.(2018辽宁抚顺新宾期中)根据表格中的对应值,判断ax2

14、+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是.x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09答案3.24x3.25解析当x=3.24时,y=-0.020,方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是3.24xy2成立的x的取值范围是()A.x-2B.-2x8 D.x82.(2017青海西宁城北月考)已知二次函数y1=ax2+b答案D由图象看出当x8时,二次函数y1=ax2+bx+c(a0)的图象在一次函数y2=kx+m(k0)的图象的上方,能使y1y2成立的x的取值范围是x8.答案D由图象看出当x8时,二次函数y13.(2017新疆乌

15、鲁木齐天山自主招生)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的两根之和为. 答案4解析设抛物线y=ax2+bx+c(a0)和x轴交点横坐标为x1和x2,其对称轴为x=(x1+x2)=2,x1+x2=4,即方程ax2+bx+c=0的两根之和为4.3.(2017新疆乌鲁木齐天山自主招生)二次函数y=ax2+4.(2017重庆沙坪坝期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,自变量x与函数值y的部分对应值如下表:则当y0时,x的取值范围是.x-1012y03434.(2017重庆沙坪坝期中)已知二次函数y=ax2+bx+答案-1x0时,x的取值范围是-1x3.答案

16、-1x 解析二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,m+50,-5,4(m+1)2-4(m+5)m.5.(2018安徽安庆桐城月考)若二次函数y=(m+5)x21.(2017江苏苏州中考)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=01.(2017江苏苏州中考)若二次函数y=ax2+1的图象经答案A二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),对称轴是y轴,二次函数y=ax2+1的图象与x轴的另一个交点为(2,0).将二次

17、函数y=ax2+1的图象向右平移2个单位长度可得到二次函数y=a(x-2)2+1的图象,二次函数y=a(x-2)2+1的图象与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(4,0),方程a(x-2)2+1=0的实数根分别为x1=0,x2=4.故选A.答案A二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,2.(2015四川泸州中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a0成立的x的取值范围是()A.x2B.-4x2C.x-4或x2D.-4x2答案D二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为(-4,0),a0成立的x的取值范围是-4x

18、2,故选D.2.(2015四川泸州中考)若二次函数y=ax2+bx+c(3.(2015浙江宁波中考)二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的上方,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2答案A抛物线y=a(x-4)2-4(a0)的对称轴为直线x=4,抛物线在6x7这一段位于x轴的上方,抛物线在1x2这一段位于x轴的上方.又抛物线在2x3这一段位于x轴的下方,抛物线过点(2,0),把(2,0)代入y=a(x-4)2-4(a0)得4a-4=0,解得a=1.故选A.3.(2015浙江宁波中考)二次函数y=a(x-4)2-4(4.已知二次函数

19、y=(x-1)2-t2(t0),方程(x-1)2-t2-1=0的两根分别为m,n(mn),方程(x-1)2-t2-2=0的两根分别为p,q(pq),则m,n,p,q的大小关系是(用“”连接).答案pmnq解析二次函数y=(x-1)2-t2(t0)的图象如图:根据图象易知pmnq.4.已知二次函数y=(x-1)2-t2(t0),方程(x-5.(2017湖北武汉中考)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是.答案a或-3a-2解析y=ax2+(a2-1)x-a=(ax-1)(x+a),当y=0时,x1=,x2=-a,抛物

20、线与x轴的交点坐标为和(-a,0).抛物线与x轴的一个交点的坐标为(m,0)且2m0时,23,解得a;当a0时,2-a3,解得-3a-2.5.(2017湖北武汉中考)已知关于x的二次函数y=ax2+1.(2018福建龙岩上杭期中)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k4且k3B.k4且k3C.k4 D.k4答案D当k-3=0,即k=3时,此函数为一次函数,它的图象与x轴有交点;当k-30,即k3时,此函数为二次函数,若它的图象与x轴有交点,则=22-4(k-3)10,解得k4.综上,k的取值范围是k4.故选D.1.(2018福建龙岩上杭期中)已知函数

21、y=(k-3)x2+2.若抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),则(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)=.答案2 019解析抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),m2-2 018m+2 019=0,n2-2 018n+2 019=0,m+n=2 018,mn=2 019,(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)=-m(-n)=mn=2 019.2.若抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交3.(2017江苏苏州吴中一模)如图,二次函数

22、y=-x2-x+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,则四边形OCDA的面积的最大值是. 3.(2017江苏苏州吴中一模)如图,二次函数y=-x2-答案8解析在y=-x2-x+2中,当x=0时,y=2,C(0,2),当y=0时,有-x2-x+2=0,解得x=-4或x=1,点A(-4,0)、B(1,0),点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,D,过点D作DHx轴于点H,则DH=-m2-m+2,AH=m+4,HO=-m,S四边形OCDA=SADH+S四边形OCDH,S=(m+4)+(-m)=-m2-4m+4=-(m+2)2+8(

23、-4m-B.k-且k0C.k-D.k-且k0答案B二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,=b2-4ac=25+20k0,且k0,解得k-,且k0.故选B.1.(2017天津南开期中,11,)已知二次函数y=k2.(2017江苏泰州兴化顾庄学区期中,5,)根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a0,a、b、c为常数)的一个解x的范围是()A.3.00 x3.23B.3.23x3.24C.3.24x3.25D.3.25x3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09答案C由题中表格知,当x=3.24时,y=-0.02;当x

24、=3.25时,y=0.03,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.24x0,解得k,故整数k的最小值是2.3.(2018湖北黄石下陆月考,14,)若抛物线y=x一、选择题1.(2017江苏徐州中考,8,)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1C.0b1D.b1答案A函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,解得b9解析抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,(-6)2-4m9.二、填空题答案m9解析抛物线y=x2-6x+m三、解答题4.(2014广东佛山中考,23,)利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的根(精确到0.1).

25、(8分)三、解答题解析方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的图象与x轴交点的横坐标.作出二次函数y=x2-2x-1的图象(如图).由图象可知方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.先求-1和0之间的根.当x=-0.4时,y=-0.04;当x=-0.5时,y=0.25.因此,x=-0.4是方程的一个近似根.同理,x=2.4是方程的另一个近似根. 解析方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的图1.(2017辽宁朝阳中考,9,)若函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为()A.-2或3B.-2或-3C.1或-2或3D.1或-2或

26、-3答案C当m=1时,函数解析式为y=-6x+,是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点;当m1时,函数为二次函数,函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,(-6)2-4(m-1)m=0,解得m=-2或3,故选C.1.(2017辽宁朝阳中考,9,)若函数y=(m-1)2.(2014辽宁盘锦中考,8,)如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是()A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或22.(2014辽宁盘锦中考,8,)如图,平面直角坐标系答案D分三种情况:点M的纵坐标小于1,

27、即点M在直线y=1下方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是2;点M的纵坐标等于1,即点M在直线y=1上,则方程x2+bx+c=1的解的个数是1;点M的纵坐标大于1,即点M在直线y=1上方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是0.故方程x2+bx+c=1的解的个数是0,1或2.故选D.答案D分三种情况:点M的纵坐标小于1,即点M在直线3.(2015甘肃兰州中考,14,)二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是()A.当n0时,m0时,mx2C.当n0时,x1m0时,m0时,mx2;当n0时,x1m

28、ax2+bx+c的解集是. 答案x4解析观察函数图象可知:当x4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,不等式mx+nax2+bx+c的解集为x4.4.(2017湖北咸宁中考,12,)如图,直线y=mx5.(2015浙江宁波中考,23,)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.求该抛物线的函数解析式;把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?5.(2015浙江宁波中考,23,)已知抛物线y=(x解析(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)

29、=(x-m)(x-m-1),令y=0,得x1=m,x2=m+1.mm+1,无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).(2)y=(x-m)(x-m-1)=x2-(2m+1)x+m(m+1),该抛物线的对称轴为直线x=-=,又该抛物线的对称轴为x=,=,解得m=2,该抛物线的函数解析式为y=x2-5x+6.y=x2-5x+6=-,该抛物线沿Y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.解析(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)1.坐标平面上,若移动二次函数y=-(x-2 019)(x-2 020)+2的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距

30、离为1个单位,则移动方式可为()A.向上平移2个单位B.向下平移2个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位答案B将二次函数y=-(x-2 019)(x-2 020)+2的图象向下平移2个单位,得y=-(x-2 019)(x-2 020)的图象,此时函数的图象与x轴的两交点为(2 019,0),(2 020,0),此两点的距离为1.故选B.1.坐标平面上,若移动二次函数y=-(x-2 019)(x-2.(2015四川资阳中考)已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C,我们称以A为顶点且过点C,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.2.(2015四川资阳中考)已知抛物线p:y=ax2+bx+答案y=x2-2x-3解析抛物线y=x2+2x+1=(x+1)2,其顶点坐标为A(-1,0),当x2+2x+1=2x+2时,解得x1=-1,x2=1,把x2=1代入y=2x+2,得y=4,C(1,4),又点C与点C关于x轴对称,C(1,-4),即原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,-4),设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,把A(-1