人教B版高中数学必修第二册练习第六章平面向量初步测评-【新教材】【含答案】

1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则BC=()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)3.(2019全国)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.504.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),mR,则“m=

2、-6”是“a(a+b)”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.下列关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间的描述正确的是()A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速v的方向与河垂直时用时最少C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D.以上说法都不正确6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为()A.3B.-3C.0D.27.已知AD,BE分别为ABC的边BC,AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于()A.a43+23bB.a23+43bC.a-b2343D.-a23+43b8.如图

3、所示,设P为ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则BPC与ABC的面积之比等于()A.25B.35C.34D.14二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.下列命题不正确的是()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则abD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|10.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.AB与CD共线B.AC与BD相等C.AD与CB模相等,方向相反D.AB与CD模相等11.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行,且方向相反的向量a可能是()A.a=(-1,

4、-2)B.a=(9,3)C.a=(-1,2)D.a=(-4,-8)12.如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若实数,使得e1+e2=0,则=0三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(xR),则|a+b|的取值范围为.14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+e2与b

5、=-(2e1-3e2)共线,则实数=,此时a,b方向.(填“相同”或“相反”)15.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是.16.如图,在正六边形ABCDEF中,若AD=AC+AE(,R),则+的值为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(-3,1).(1)求与2a+b同向的单位向量e;(2)若向量c=-3,-113,请以向量a,b为基底表示向量c.18.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,C

6、B=e1+3e2,CD=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线;(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.19.(12分)如图,在OCB中,A是BC的中点,D是靠近点B将OB分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示向量OC,DC;(2)若OE=OA,求的值.20.(12分)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.21.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB

7、=a,BC=b,CA=c.(1)求3a+b-3c的值;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(3)若线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),求MN.22.(12分)在ABC中,AM=34AB+14AC.(1)求ABM与ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,yR),求x+y的值.第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(

8、-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)解析为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3）=(1,2).答案D2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则BC=()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)解析因为BC=ACAB=(1,t-3),又因为|BC|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以BC=(1,0),故选C.答案C3.(2019全国)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.50解析由题意,得a-b=(-1,

9、1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.答案A4.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),mR,则“m=-6”是“a(a+b)”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),则-12=2-4=-12,a=-12(a+b),可推出a(a+b),故充分性成立;必要性:若a(a+b),则a+b=ka,2+m=2k,2=-k,解得m=-6,故必要性成立;综上所述,“m=-6”是“a(a+b)”的充要条件,故选A.答案A5.下列关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间的描述正确的是(

10、)A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速v的方向与河垂直时用时最少C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D.以上说法都不正确解析根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.答案B6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为()A.3B.-3C.0D.2解析由原式可得3x-4y=6,2x-3y=3,解得x=6,y=3,x-y=3.答案A7.已知AD,BE分别为ABC的边BC,AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于()A.a43+23bB.a23+43bC.a-b2343D.-a23+43b解析由题意,得BE=12(BA+BC

11、),所以2BE=BA+BC,同理得2AD=AB+AC=-BA+(BCBA)=-2BA+BC,即2AD=-2BA+BC.2+得4BE+2AD=3BC,即4b+2a=3BC,所以BC=23a+43b.答案B8.如图所示,设P为ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则BPC与ABC的面积之比等于()A.25B.35C.34D.14解析延长AP交BC于点D,因为A,P,D三点共线,所以CP=mCA+nCD(m+n=1),设CD=kCB,代入可得CP=mCA+nkCB,即APAC=-mAC+nk(ABAC)AP=(1-m-nk)AC+nkAB,又因为AP=14AB+12AC,即nk=14

12、,1-m-nk=12,且m+n=1,解得m=14,n=34,所以CP=14CA+34CD可得AD=4PD.因为BPC与ABC有相同的底边,所以面积之比就等于|DP|与|AD|之比,所以BPC与ABC的面积之比为14,故选D.答案D二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.下列命题不正确的是()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则abD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|解析单位向量仅仅长度相等,方向可能不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.答案AB

13、10.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.AB与CD共线B.AC与BD相等C.AD与CB模相等,方向相反D.AB与CD模相等解析四边形ABCD是矩形,AB=DC,故A,D正确;AC=BD但AC与BD的方向不同,故B不正确;AD=CB且ADCB,AD与CB的方向相反,故C正确.答案ACD11.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行,且方向相反的向量a可能是()A.a=(-1,-2)B.a=(9,3)C.a=(-1,2)D.a=(-4,-8)解析AB=(1,2),a=(-1,-2)=-(1,2)=-AB,A正确.a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB,D正确.答案A

14、D12.如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若实数,使得e1+e2=0,则=0解析由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即1=2=1=2=0时,这样的有无数个,或当1e1+1e2为非零向量,而2e1+2e2

15、为零向量(2=2=0),此时不存在.答案BC三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(xR),则|a+b|的取值范围为.解析因为a+b=(x,x+2),所以|a+b|=x2+(x+2)2=2x2+4x+4=2(x+1)2+22,所以|a+b|2,+).答案2,+)14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+e2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数=,此时a,b方向.(填“相同”或“相反”)解析因为a,b共线,所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,即e1+e2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.

16、又因为e1,e2不共线,所以1=-2k,=3k,解得=-32,k=-12.因为k0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.解(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以OA=BC,即(a,0)=(2,2-b),a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.故a=2,b=2.(2)因为AB=(-a,b),BC=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得ABBC,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab.因为a0,b0,所以2(a+b)=aba+b22,即(a+b)2-8(a+b)0,解得a+b8或a+b0.因为a

17、0,b0,所以a+b8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,“=”成立.21.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c.(1)求3a+b-3c的值;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(3)若线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),求MN.解(1)A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且AB=a,BC=b,CA=c,a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=-1,n=-1.(3)线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),AM=12AB=52,-52,BN=13BC=(-2,-1),M点坐标为12,32,N点坐标为(1,-2),MN=12,-72.22.(12分)在ABC中,AM=34AB+14AC.(1)求ABM与ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x