立体几何动点和折叠问题-热点小题汇编

1、 最新立体几何折叠动点问题1（2020湖南模拟）在棱长为6的正方体，中，是的中点，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值是AB36C24D2（2020德阳模拟）是边长为的等边三角形，分别为，的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为ABCD3（2020德阳模拟）是边长为的等边三角形，、分别在线段、上滑动，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，则四棱锥的体积的最大值为ABC3D24（2020春江西月考）已知三棱锥满足底面，在中，是线段上一点，且，球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和

2、为，则球的表面积为ABCD5（2020春沙坪坝区校级期中）已知，四点均在半径为为常数）的球的球面上运动，且，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为ABCD6（2020春五华区校级月考）已知，是球的球面上的三点，且三棱锥的体积为，则球的体积为ABCD7（2020东莞市模拟）已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与为两个全等的矩形，是的中点，且，则三棱柱体积的最大值为ABC4D8（2020江西模拟）四棱柱中，底面四边形是菱形，连接，交于点，平面，点与点关于平面对称，则三棱锥的体积为ABCD9（2020浙江模拟）在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点（包括四条边上的

3、点），且满足，则四棱锥的体积的最大值是ABCD10（2019秋包河区校级期末）矩形中，沿对角线将三角形折起，得到四面体，四面体外接球表面积为，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为ABCD11（2020山东模拟）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是AB平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等12（2020海淀区校级模拟）在边长为1的正方体中，分别为，的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记，四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，与的图象应为ABCD13（2019秋襄城区校级月考）如图，在四棱锥中，顶点

4、在底面的投影恰为正方形的中心且，设点，分别为线段，上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为ABCD14（2019春昆明期末）在平行四边形中，点在边上，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是A直线与直线共面BC可以是直角三角形D15（2019秋安顺月考）如图，正方体的棱长为，为的中点，动点从点出发，沿运动，最后返回已知的运动速度为，那么三棱锥的体积（单位：关于时间（单位：的函数图象大致为A BC D16（2019秋沙坪坝区校级期中）如图，正方体中，为中点，在线段上给出下列判断：存在点使得平面；在平面内总存在与平面平行的直线；平面与平面所成的二面角（锐角）的

5、大小与点的位置无关；三棱锥的体积与点的位置无关其中正确判断的有ABCD17（2019秋镜湖区校级期中）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是AB平面C存在点，使得平面平面D三棱锥的体积为定值18（2019越城区校级学业考试）如图，线段是圆的直径，圆内一条动弦与交于点，且现将半圆沿直径翻折，则三棱锥体积的最大值是ABC3D1参考答案与试题解析1（2020湖南模拟）在棱长为6的正方体，中，是的中点，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值是AB36C24D【解答】解：在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，即

6、，设，作，化简得：，根据函数单调性判断：时，最大值为36，在正方体中面，三棱锥的体积最大值：2（2020德阳模拟）是边长为的等边三角形，分别为，的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为ABCD【解答】解：如图，由题意，的中点为等腰梯形的外接圆的圆心，则四棱锥的外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，要使四棱锥的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要为四棱锥的外接球的球心，此时，则，到平面的距离为又四棱锥的体积为故选：3（2020德阳模拟）是边长为的等边三角形，、分别在线段、上滑动，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，则四棱锥的体积的最大值为A

7、BC3D2【解答】解：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面平面时，体积才最大；设；设为的中点，如图：等边中，点，分别为，上一点，且，为的中点，平面平面，平面平面，平面，四棱锥的体积， （负值舍），单调递增，单调递减，四棱锥的体积最大，最大值为：故选：4（2020春江西月考）已知三棱锥满足底面，在中，是线段上一点，且，球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为ABCD【解答】解：如图是边中点，是边中点，是的外心，作，平面，平面，取，易得，是三棱锥的外接球的球心是中点，则，设，则，又，过且与垂直的截面圆半径为，则，这是最小的截面圆半径，最

8、大的截面圆半径等于球半径，故选：5（2020春沙坪坝区校级期中）已知，四点均在半径为为常数）的球的球面上运动，且，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为ABCD【解答】解：因为，作于，则为的中点，且，若四面体的体积的最大值时，则面，则外接球的球心在上，设为，设外接球的半径为，连接，则，当且仅当，即时取等号，因为三棱锥的最大体积为，所以，可得，所以外接球的表面积为，6（2020春五华区校级月考）已知，是球的球面上的三点，且三棱锥的体积为，则球的体积为ABCD【解答】解：到截面的投影为三角形的外接圆的圆心，设为，连接，则为底面外接圆的圆心，为球的半径，因为，由余弦定理可得：，整理可得：，解得，设

9、三角形的外接圆半径为，则，所以，所以，在三角形中，所以外接球的体积为7（2020东莞市模拟）已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与为两个全等的矩形，是的中点，且，则三棱柱体积的最大值为ABC4D【解答】解：四边形与为两个全等的矩形，又，平面，平面；是的中点，且，底面是直角三角形；综上，三棱柱是底面为等腰三角形的直棱柱设，将三棱柱还原为长方体，得其外接球直径为，即；三棱柱的体积；记，则，当（b）时，；当（b）时，；（b）在上单调递增，上单调递减，故（b）（2）故选：8（2020江西模拟）四棱柱中，底面四边形是菱形，连接，交于点，平面，点与点关于平面对称，则三棱锥的体积为ABCD【解答】解：连接

10、，过点作，垂足为，因为平面，故，因为四边形是菱形，故，故平面，故，又，故平面，又是边长为4的等边三角形，可得，所以，在中，可得，则，可知为等边三角形，且所在平面垂直底面，故，故选：9（2020浙江模拟）在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，点是的中点，点是侧面内的动点（包括四条边上的点），且满足，则四棱锥的体积的最大值是ABCD【解答】解：作于，在长方体中，平面，平面，在和中，设，则，由，得，即，整理得，开口向下，对称轴为，在，单调递减，则时，取到最大值，即的最大值为四棱锥的体积的最大值是故选：10（2019秋包河区校级期末）矩形中，沿对角线将三角形折起，得到四面体，四面体外接球表面积为，

11、当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为ABCD【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为2和1的长方形沿对角线折起二面角，得到四面体，则四面体的外接球的球心为中点，半径，所求四面体的外接球的表面积为；矩形中，沿将三角形折起，当平面平面时，得到的四面体的体积最大，如图所示；过点作平面，垂足为，则点到平面的距离为，过点作，作，垂足分别为、，连接，；则，；所以，所以，；所以，；又，；所以四面体的表面积为：；故选：11（2020山东模拟）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是AB平面C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等【解答】解：对于，连

12、接，则，平面，又平面，故正确；对于，即，又平面，平面，平面，故正确；对于，点到平面的距离为到平面的距离，故正确；对于，连接，则是边长为的等边三角形，到的距离为，而到的距离为，的面积与的面积不相等故错误故选：12（2020海淀区校级模拟）在边长为1的正方体中，分别为，的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记，四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，与的图象应为ABCD【解答】解：（1）当时，点与点运动的速度相等根据下图得出：面把几何体分割为相等的几何体，到面的距离为，（2）当时，在上，在上，到，定值（3）当时，到面的距离为，故选：13（20

13、19秋襄城区校级月考）如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点，分别为线段，上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为ABCD【解答】解：将三角形展开到与平面共面，则的最小值时，、三点共线，记作点在线段上，最短时恰为中点，既为中线，又是边上的高，顶点在底面的投影恰为正方形的中心，则四棱锥为正四棱锥，三角形为等边三角形，则，设球心为，连接，则在中，解得，外接球的表面积故选：14（2019春昆明期末）在平行四边形中，点在边上，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是A直线与直线共面BC可以是直角三角形D【解答】解：在平行四边形中，点在边上，将沿

14、直线折起成，为的中点，在中，取中点，连结，则，平面平面，平面，平面，直线与直线平行或异面，故错误；在中，将沿直线折起成，为的中点，点位置不确定，的长不是常数，故错误；在中，当时，是直角三角形，故正确；在中，与不垂直，故错误故选：15（2019秋安顺月考）如图，正方体的棱长为，为的中点，动点从点出发，沿运动，最后返回已知的运动速度为，那么三棱锥的体积（单位：关于时间（单位：的函数图象大致为A BCD【解答】解：（1）当时，在线段上运动，此时，所以；（2）当时，在线段上，因为平面，所以到平面的距离为定值，所以为定值，；（3）当时，在线段上，取的中点，此时，同理可得，所以；（4）当时，在线段上，因为

15、平面，所以到平面的距离为定值，所以为定值，综上，三棱锥的体积（单位：关于时间（单位：的函数大致图象如右图所示故选：16（2019秋沙坪坝区校级期中）如图，正方体中，为中点，在线段上给出下列判断：存在点使得平面；在平面内总存在与平面平行的直线；平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置无关；三棱锥的体积与点的位置无关其中正确判断的有ABCD【解答】解：对于，假设存在使得平面，则，又，平面，则，这与矛盾，所以错误；对于，因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故正确；对于，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系，则平面的法向量为，0，而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故错误；对于，三棱锥的体积即为三棱锥，因为平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即正确故选：17（2019秋镜湖区校级期中）如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是AB平面C存在点，使得平面平面D三棱锥的体积为定值【解答】解：在中，因为、分别是、的中点，所以，故正确；在中，由平面几何得，又有，所以平面，故正确；在中，与平面有交点，所