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1、第1招：等和线定理1.等和线定理：（1）平面向量共线定理已知OA=九OB+POC，若九+吐1，则A,BC三点共线；反之亦然.（2）等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=九OA+POB（人耗R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则吐k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线.当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，ke（0,1）；当等和线过O点时，k=0；当直线AB在O点和等和线之间时，ke（1,+小；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数;定值k的变化与等和线到O点的距离成正比;2.等和线定理应用背景:在平面向量

2、基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.蠢【典例剖析】例1如图，ABCD与AABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内的任一点（含边界）且AP=KAB+MAC，则Um的取值范围是（）A.0,1C0D0,4CDGB迟解析：过点P作GH/BC，交AC,AB的延长线于G,H则AP=xAG+yAH,且x+y=-当点P位于D点时，G，H分别位于CB,ABCD与AABC的面积之比为2，AC=3AC,AB=3AB.OP=xAG+yAH=xAC+yAB=xAC+yAB=入AB+pAC所以，X=3y,戶3xn九+戶3x+3y=3当点P位于A点时，显然有：入+p=0，所以，选C答案：C总结：通过

3、等和线定理绘制出一系列等和线，找出其中的临界值，即为系数和的最值【变式训练】变式1：如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD=2，点P是ABCD（含边界）的动点，设OP=AOC+pOB则Up的最大值为变式2:设长方形ABCD的边长分别是AD=1,AB=2,点P是ABCD（含边界）的动点TOC o 1-5 h z设Ap=xAB+yAD，则x+2y的取值范围为（） HYPERLINK l bookmark6 o Current Document A.LTB.1C.blD.心【真题链接】（2017高考全国皿理科第12题）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若AP=Mb牛MAD，则Up的最大值为（） HYPERLINK l bookmark10 o Current Document A.3B.2迈C,5D.2【答案】变式1:答案：22解析：当点P位于B点时，过点B作6日BC，交OC,OD的延长线于G,H贝QOP=xAG+yAH，且x+y=1,所以，九=,戶23故答案为2变式2:答案：B1AD=xAB+2yAE33OP=OB=xOG+yOH=xOC+yOD=XOC+pODL22333yn九+x+y=222解析：AP=xAB+yAD=xAB+2匕2如图，连BE，当点？位于B点时，三点B,E,P共线，且aP=AB，即x+2

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