516 等差数列的认识与计算提高(讲师版)

1、 学科培优 数学等差数列的认识和计算提高授课日期学生姓名教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记等差数列各个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。知识梳理一、等差数列的定义：若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如：等差数列：3、6、996，这是一个首项为 3，末项为 96，项数为 32，公差为 3 的数列。注：一般情况下，等差数列是按照从小到大进行排列的，有时会出现从大到小排列顺序，此时

2、可以改变数列顺序，从而让数列变为从小到大，并避免出现公差小于零的情况。二、等差数列的相关公式： 通项公式：末项首项（项数1）公差项数公式：项数（末项首项）公差1求和公式：总和（首项末项）项数2=平均数项数平均数公式：平均数（首项末项）2注：第一个公式中，有时会遇到求中间项、而非末项，此时可以截取一个新的数列，把该项作为“新的末项”，即可继续用此公式。三、重点难点解析1找出题目中首项、末项、公差、项数。2必要时调整数列顺序。四、竞赛考点挖掘1找到数列规律。2适当调整数列顺序。例题精讲【试题来源】【题目】2，5，8，11，14是按照规律排列的一串数，第21 项是多少？【答案】62【解析】此数列为一

3、个等差数列，将第 21 项看做末项。末项=2+（21-1）3=62【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题 【难度系数】1【试题来源】【题目】计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【答案】78【解析】原式=（1+12）122= 78【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【 】题目计算 11+12+13+14+15+16+17+18+19【答案】135【解析】原式=（11+19）92= 135【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】1 【试题来源】【 】题目计算 100+99+98+97+96+

4、95+94+93+92+91+90【答案】1045【解析】原式=（100+90）112= 1045【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【 】题目把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？【答案】141【解析】该数列为等差数列，首项为 101，公差为 2，第 21 个数的项数为 21.101+（21-1）2=141【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【 】题目已知一个等差数列第 9 项等于 131，第 10 项等于 137，这个数列的第 1 项是多少？第 19 项是多少？ 【答案】83；

5、191【解析】公差=137-131=6131=首项+（9-1）6所以，首项=83末项（第 19 项）=83+（19-1）6=191【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【 】题目体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报 17，阿奇报 150，每位同学报的数都比前一位多 7，那么队伍里一共有多少人？【答案】20【解析】首项=17，末项=150，公差=7项数=（150-17）7+1=20【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【 】题目已知一个等差数列第 8 项等于 50

6、，第 15 项等于 71.请问这个数列的第 1 项是多少？【答案】29【解析】71-50=2121（15-8）=3（公差） 50=首项+（8-1）3所以首项=29【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】一个数列共有 13 项，每一项都比它的前一项小 7，并且末项为 125，求首项是多少？【答案】209【解析】将数列顺序进行调整：首项为 125，公差为 7，项数为 13.所以末项（所求的“首项”）=125+（13-1）7=209【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【 】题目已知等差数列 15，19，23，

7、27443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？【答案】216【解析】公差=19-15=4 项数=（443-15）4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31439，公差为 8，和为（15+439）542=12258偶数项组成的数列为：19，27，35443，公差为 8，和为（19+443）542=12474差为 12474-12258=216【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【 】题目建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块砖 ，第 3 层 10 块砖，依次每层都比其上面一层

8、多 4 块砖，已知最下层 2106 块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【答案】1054；555458【解析】项数=（2106-2）4+1=527因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）2=1054数列和=中间项项数=1054527=555458所以中间一层有 1054 块砖，这堆砖共有 555458 块。【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3 【试题来源】【 】题目把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？【答案】38【解析】平均数：2488=31第 4 个数：31-1=30第 1 个数：30-6=24末项：24+（8-1）2=38

9、即：最大的数为 38。【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【 】题目求 99，89，88，79，77，69，11 这个数列的和【答案】928【解析】将该数列分解为两个等差数列：99，88，7711；89，79，6919改变两个数列顺序并相加：（11+99）92=495（19+89）82=432495+432=928【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【 】题目在 289 和 715 之间插入 5 个数，使这个数列成为等差数列，求这 5 个数的和是多少？ 【答案】2510【解析】数列和=（289+715）72

10、=35143515-289-715=2510【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【 】题目小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到 1000 元工资，以后每月多得 60 元；小高第一个月得到 500 元工资，以后每月多得 45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？【答案】6990【解析】小王：1000+60（12-1）=1660（1000+1660）122=15960小高：500+45（12-1）=995（500+995）122=897015960-8970=6990即一年后两人所得工资总数相差 6990 元。【知识点】等差数列的认识和计算

11、提高【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】 【 】题目把 210 拆成 7 个自然数的和，使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第 1 个数与第 6 个数分别是多少？【答案】15；40【解析】由题可知：由 210 拆成的 7 个数必构成等差数列，则中间一个数为 2107=30，所以，这 7个数分别是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40。【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【 】题目100 个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3

12、 个第 99个，再把剩下的 50 个数相加，结果是多少？【答案】4250【解析】我们考虑这 100 个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大 1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大 50，又因为它们相加的和为 8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）2=4250。【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 【 】题目求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。【答案】1000【解析】解法 1：可以看出，2，4，6，2000 是一个公差为 2 的等差

13、数列，1，3，5，1999 也是一个公差为 2 的等差数列，且项数均为 1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000解法 2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差 1，所以 1000 项就差了1000 个 1，即原式=10001=1000【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【 】题目在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名的分数超过了 90 分（满分为 100 分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？【答案】88【解析】他们的平均分为

14、 6568=8282+1、82+2、82+3都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为 12=2、22=4、32=6若第四名为 82+1=83 分，则第一名为 83+（4-1）2=89 分，不符合题意，舍；若第四名为 82+2=84 分，则第一名为 84+（4-1）4=96 分，不符合题意；若第四名为 82+3=85 分，则第一名为 85+（4-1）6=103 分，不符合题意。因此，第四名为 84 分，公差为 4，所以第三名为 84+4=88 分【知识点】等差数列的认识和计算提高 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【 】题目把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197 排在

15、第几行的第几个数？13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49 【答案】第 10 行第 18 个数【解析】197 是奇数中的第 99 个数.数表中，第 1 行有 1 个数.第 2 行有 3 个数.第 3 行有 5 个数第几行有 2行数-l 个数因此，前 n 行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+（2行数-1）=1+（2行数-1）行数2=行数行数因为 99991010.所以，第 99 个数位于数表的第 10 行的倒数第 2 个数，即第 18 个数，即 197 位于第 10 行第 18 个数。【知识点】等差数列的认识和

16、计算提高【适用场合】当堂例题【难度系数】5 习题演练【试题来源】【题目】求值： （1）6+11+16+501 （2）101+102+103+104+999【答案】25350 ；494450【解析】25350；494450【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】下面的算式是按一定规律排列的，那么，第 100 个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，【答案】699。【解析】699.【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】11 至 18 这 8 个连续自然数的和再加上 1992 后

17、所得的值恰好等于另外 8 个连续数的和，这另外 8 个连续自然数中的最小数是多少？【答案】260。【解析】260.【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3 【试题来源】【题目】把 100 根小棒分成 10 堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？【答案】分为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。【解析】分为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】把一堆苹果分给 8 个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？【答案】36 个。【解析】36 个。【知识点】等差数列的认识和计算提高【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】 下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.1，2，3，4，5，698，99，1002，3，4，5，6，799，100，101 3，4，5，6，7，8100，101，102100，101，102，103，104，105197，198，199【答案】第一行平均数为（1+100）2=50.5，第二行为 51.5，第三行为 52.5每行平均数的公差为 1。第一行总和为 50.5100，第二行总和为 51.5100，第三行