高数无穷级数常数项级数审敛法

1、高数课件无穷级数常数项级数审敛法营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第1页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.正项级数收敛的充要条件:部分和数列 为单调增加数列.定理第2页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 543566213.比较审敛法证明即部分和数列有界第3页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区

2、成人高等教育 QQ群 54356621不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.第4页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解由图可知第5页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.第6页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此

3、介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法证明第7页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 543566214.比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数,如果则(1) 当时,二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛,则收敛; (3) 当时, 若=1nnv发散,则=1nnu发散;第8页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明由比较审敛法的推论, 得证.第9页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第10

4、页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解原级数发散.故原级数收敛.第11页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明第12页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621收敛发散第13页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621比值审敛法的优点:不必找参考级数.直接从级数本身的构成即通项来判定其敛散性 两点注意:第14页，共38页，2022年，5月20

5、日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第15页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解第16页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621比值审敛法失效, 改用比较审敛法第17页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例5解由于不存在，检比法失效 而对由检比法得 收敛故由比较审敛法知收敛第18页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 5

6、4356621例6解由检比法得 级数收敛级数发散第19页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621检比法失效，但即后项大于前项故级数发散第20页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明取则由知由收敛及比较审敛法得收敛收敛第21页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621由知故不趋于 0发散不能判定如都有但收敛发散第22页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 543

7、56621级数收敛.第23页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621二、交错级数及其审敛法定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.第24页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明第25页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621满足收敛的两个条件,定理证毕.第26页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解原级数收敛.证明 un 单调减的方法？第2

8、7页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621三、绝对收敛与条件收敛定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明第28页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621上定理的作用：任意项级数正项级数第29页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理第30页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区

9、成人高等教育 QQ群 54356621定理设有级数 则绝对收敛发散可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如第31页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621注意一般而言，由 发散，并不能推出发散如发散但 收敛如果 发散是由检比法和检根法而审定则 必定发散这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于0由第32页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621四、小结正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;第33页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题解答由比较审敛法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.第34页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练 习 题第35页，共38页，2022年，5月20日，20点50分，星期四营口地区成人高等教育 QQ群 54