高中数学选择性必修一 第3章专题10 抛物线的焦点弦与其他几何性质常考题型专题练习

1、抛物线的焦点弦与其他几何性质考向一 抛物线的焦点弦1、（1）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_；过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则_【答案】（1）10；（2）【解析】（1）设A（x1,y1）,B(x2,y2),则对于抛物线x2=8y,焦点弦长因为抛物线的焦点坐标为（0,2），所以直线AB的方程为将代入抛物线方程，得（2）设，显然直线AB的斜率存在，设为将直线方程与抛物线方程联立，消去y得，则因为，所以，方程即解得，故2、过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l交C于点A,B，若线段AB中点M的纵坐标为1，则|AB|= 。【答案】5【解析】抛物线C：y24

2、x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：xmy+1，则x=my+1y2=4x可得y24my40，l与C有两个交点A（x1,y1）、B（x2,y2），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m2，解得m=12，所以y22y40的两根满足y1+y2=2，y1y2=-4，由弦长公式可得|AB|=1+14（y1+y2）2-4y1y2=5，3、过抛物线y28x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于 。【答案】10【解析】由题抛物线y28x的焦点F(2,0)，p=4，设A、B两点坐标A(x1,y1),B(x2,y2), AB的中点的横坐标为3，即x1+x2

3、2=3x1+x2=6 抛物线的焦点弦：AB=x1+x2+p=10 4、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点Px1,y1,Qx2,y2两点，若x1+x2=6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 。【答案】4【解析】由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为x=-1由中点坐标公式可得PQ的中点M（x1+x22,y1+y22），由于x1+x2=6，则M到准线的距离为x1+x22+1=4.5、已知点为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，与的准线交于点，若，则的值等于（ ）ABCD【答案】D【解析】如下图所示，分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、，则点为线段的中

4、点，由抛物线的定义可得，因此，.故选：D.6、直线y=kx-k与抛物线y2=4x交于A,B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到准线的距离为_【答案】2【解析】试题分析：由题意得，抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0)，且准线方程为x=-1，直线y=kx-k=k(x-1)恰好经过点F(1,0)，设直线y=kx-k与抛物线y27、设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为_【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点

5、，设点的坐标为，可得，得到，可得，解之得，所以，直线方程为，即,，故答案为.8、已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则_.【答案】【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N，抛物线，焦点为，准线方程为，9、（多选）已知抛物线上三点，为抛物线的焦点，则（ ）A抛物线的准线方程为B，则，成等差数列C若，三点共线，则D若，则的中点到轴距离的最小值为2【答案】ABD【解析】把点代入抛物线 ，得，所以抛物线的准线方程为，故 A 正确； 因为 ，所以 ， ， ，又由 ，得， 所以 ，即 ， ， 成等差数列，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以直线斜率 ，

6、即 ，所以 ，化简得，故C 不正确； 设AC的中点为 ，因为 ， ，所以，得 ， 即的中点到轴距离的最小值为2 ，故 D正确. 故选：ABD 10、已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，由抛物线的定义可知，则为等边三角形，则，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，（抛物线定义），C选项正确；，D选项错误.故选：ABC.11、已知抛物线y2=

7、2px(p0)的准线方程为x=-1.（）求p的值；（）直线l:y=x-1交抛物线于A、B两点，求弦长AB.【答案】（）2；（）8.【解析】（）依已知得p2=1，所以p=2；（）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=x-1y2=4x消去y，得x2-6x+1=0，则x1+x2=6，x1x2=1，所以AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-4x1x2 =232=8.12、已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离【答案】（1）8 （2

8、）eq f(9,2) 【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60eq r(3).又Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0).所以直线l的方程为yeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2).联立eq blc(avs4alco1(y26x，,yr(3)blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)，)消去y，得x25xeq f(9,4)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x25，而|AB|AF|BF|eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(p,

9、2)x1x2p.|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AB|AF|BF|x1eq f(p,2)x2eq f(p,2)x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是xeq f(3,2)，所以M到准线的距离等于3eq f(3,2)eq f(9,2).13、已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|4（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）【答案】（1）y2=4x；（2）33.【解析】（1）由

10、抛物线的定义得A、B到准线的距离都是p ，所以|AB|2p4，所以抛物线的方程为y24x（2）设直线l的方程为yk(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k0，得x=yk+1，代入y24x，得y2-4yk-4=0，且=16k2+160恒成立，则y1+y2=4k，y1y2-4，所以|PQ|=1+1k2|y1-y2|=4(k2+1)k2又点O到直线l的距离d=|-k+0|k2+1=|k|k2+1，所以SOPQ=12|PQ|d=2k2+1|k|=4，解得k2=13，即k=33考向四 抛物线的性质综合1、（多选）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于

11、两点，点在上的射影为，则 （ ）A若，则B以为直径的圆与准线相切C设，则D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC【解析】对于选项A,因为,所以,则,故A正确；对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得,故B正确；对于选项C,因为,所以,故C正确；对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误；故选：ABC2、（多选）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）A以线段为直径的圆与直线相离 B以线段为直径的圆与轴相切C当时，D的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等