a第二章2.5曲线论基本定理

1、微分几何 Differential GeometryChapter 2 曲线论2.5 曲线论基本定理曲线论基本定理正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变. 弧长、曲率、挠率这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了?唯一性定理定理5.1 (唯一性定理) 设 是 中两条以弧长 为参数的正则参数曲线， . 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即 ，则有 中的一个刚体运动 将 变成 .选取 中的刚体运动 将 在 处的Frenet标架 变为 在 处

2、的Frenet标架 . 则这个刚体运动 将 变为正则曲线 . 设 的弧长参数方程为 . 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变， 与 也有相同的曲率和挠率函数： 且在 处它们有相同的Frenet标架：不妨假设 与 相同，即证法1证法1： 令 和 分别为 和 的Frenet标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题 根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有 ，即 与 重合. 注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：（5.6）（5.7）证法2证法2： 定义函数 由假设 ，另外 故 ，即 再定义函数 则 所以 定理5.2定理5.2设 是 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零.

3、如果存在三次以上的连续可微函数 ， ，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足（5.4） 则有 中的一个刚体运动 将 变成 .证明证明 不妨设 . 对 作可允许参数变换，可将 的参数方程写成 . 则 的弧长为 ， 的弧长为由条件，可取 作为 和 的弧长参数. 因为 有相同的反函数 ，即于是同理， 根据定理5.1，有 中的一个刚体运动 将 变成 . 存在性定理定理5.3 (存在性定理) 设 是定义在区间 上的任意二个给定的连续可微函数，并且 . 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的 中的正则曲线 ， ，使得 是 的弧长参数，且分别以给定的函数 和 为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定

4、理5.1即得. 只要证明存在性. 考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题： （5.6）（5.7）根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间 上的解. 取(5.6)的满足初始条件(5.7) 的解，其中 是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记（5.9）（5.5）因为 是(5.6)的解，所以 是三阶连续可微的. 下面来证明 就是所要求的曲线. 由(5.6)可得(5.6)首先来证明（5.10） 由(5.6)得由初始条件(5.7)可知有 ， . 这说明9个函数 满足一阶线性常微分方程组初值问题另一方面由(5.5)可

5、知 . 于是9个函数 也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有 . 因此 是两两正交的单位向量.构成右手系 从而混合积 . 但是函数 是连续的，并且由初始条件得 . 所以 构成右手系. 正则性： 现在，由(5.6)可知 . 所以 是正则曲线，并且 是 的弧长参数， 是 的单位切向量场. 曲率和挠率： 由(5.6)第2式及 可知 的曲率为 ，主法向量场为 最后，因为 是右手单位正交基，所以 是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知 的挠率为 . Example例 求曲率和挠率分别是常数 ， 的曲线 的参数方程. 解我们已经知道圆柱螺线 的曲率和挠率都是常数，分别为 和 . 根据定理5.1，曲线 一定是圆柱螺线. 由