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1、高阶线性微分方程59128课件高阶线性微分方程59128课件二阶二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程微分方程形如一、二阶线性微分方程线性微分方程n阶线性2二阶二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程微分方程形如一定理1？证叠加原理一定是通解(1)二、线性微分方程的解的结构解,1. 二阶齐次方程解的结构3定理1？证叠加原理一定是通解(1)二、线性微分方程的解的结构线性无关定义线性相关,否则称线性无关.如线性相关恒等式成立如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内则称这n个函数在区间I内为定义在区间I内的n个函数.4线性无关定义线性相关,否则称线性无关.如线性相关恒等式成立如特别地如线

2、性无关.定理2通解为了求只要求它的两个线性无关的特解.线性无关的特解,那末也是(1)的齐次线性方程的通解,若在I上有通解.5特别地如线性无关.定理2通解为了求只要求它的两个线性无关的特定理2推论是n 阶齐次线性方程的n 个线性无关的解,则此方程的通解为其中为任意常数.可推广到n 阶齐次线性方程.6定理2推论是n 阶齐次线性方程的n 个线性无关的解,则此方程2. 二阶非齐次线性方程的解的结构定理3 的一个特解,非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程只要求得:的通解.(2)为了求非齐次线性方程的通解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解. 是二阶非

3、齐次线性微分方程72. 二阶非齐次线性方程的解的结构定理3 的一个特解,非齐次已知的通解.又容易验证是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解.如是二阶非齐次线性方程是对应齐次方程8已知的通解.又容易验证是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解的叠加原理定理4之和,的特解,则就是原方程的特解.定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.9解的叠加原理定理4之和,的特解,则就是原方程的特解.定理3和 求解解的通解是再考虑两个方程分别是原方程的特解.所以原方程的通解为例10 求解解的通解是再考虑两个方程分别是原方程的特解.所以原方程证的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应齐次方程3. 一个重要结论所以非齐次线性方程的两个特解,则是齐次方程的解.11证的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应齐次方程3. 一作 业习题12.4(337页）1. 2. 3. 12作 业习题12.4(337页）1. 2. 3. 结论 思考题都是微分方程求此方程的通解.的解,齐次方程的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应13结论 思考题都是微分方程求此方程的通解.的解,齐次方程的特解方程的通解为或或因而,齐次线性方程的通解解都是微分方程:求

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