2022年数量关系知识点总结

1、山东省考数量关系常用知识点总结带入与排除法直接带入法直接带入法常用于多位数问题，不定方程问题，同余问题，年龄问题，周期问题，复杂行程问题和和差倍比问题，并与其他运算措施相结合，带入排除法不仅仅意味着把选项带入题干，并且在计算过程中，一边计算一边比较答案选项，很也许算到一半答案就出来了。倍数特性法倍数特性法是一种特殊的带入排除法1，2，5后一位； 4，25后两位； 8，,125后三位3数字和除以三； 9数字和除以97末一位的两倍与剩余的数之差为7的倍数7-末三位与剩余数的差（大数减小数）是7的倍数11奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数（1）直接倍数法两个数的和为a，差为b，则两个数分别为a+

2、b/2，a-b/2.（2）因子倍数法当题干中波及小数的时候，相乘不一定保存本来的倍数关系，2和5因子相乘后会消失，但是3,7,9,11,13等质因子会始终存在（3）比例倍数法（和差倍比）若a:b=m:n， 则阐明a占m份，是m的倍数；b占n份是n的倍数，(m与n互质) a+b占m+n份，是m+n的倍数，a-b占m-n份是m-n的倍数综合特性法大小特性，奇偶特性，尾数特性，余数特性，幂次特性，质数特性（1）两个数字和差为奇，两者奇偶相反；两个数字和差为偶，两者奇偶相似。（2）两个数字的和为奇数，两者差也为奇数；两个数字和为偶数，两者差也为偶数（3）正整数加，减，乘运算中，每个数最后N位，通过同样

3、运算，可以得到成果最后N位典型例题：奇偶运算基本法则 【基本】奇数奇数= ； 偶数偶数= ； 偶数奇数= ； 奇数偶数= 。 【推论】 一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相似。 倍数关系核心鉴定特性 如果，则 a是m 的倍数； b是n 的倍数。 如果，则 a是m 的倍数； b是n 的倍数。 如果，则应当是 mn 的倍数。 【例1】两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？（ ） A. 2353 B. 2896 C. 3015 D. 3456 【解析】：两个数的差为奇数

4、，因此两个数的和也应当为奇数，排除掉B和D，两数相除商为8，即a:b=8:1,因此a+b 是9的倍数，因此选C 【例2】：一单位组织员工乘车去泰山，规定每辆车上的员工数相等。起初，每辆车22人，成果有一人无法上车;如果开走一辆车，那么所有的旅行者正好能平均乘到其他各辆车上，已知每辆最多乘坐32人，请问单位有多少人去了泰山？（ ） A. 269 B. 352 C. 478 D. 529 【解析】：每辆车22人，成果有一人无法上车，即总人数除以22余1，也就是总人数-1能被22整除，即能同步被2和11整除，一方面排除掉B和C，A和D减1后都能被2整除，只要看下能不能被11整除即可，因此答案为D.

5、【例3】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增长5%，员工总数比去年增长3人，问今年男员工有多少人？ A. 329 B. 350 C. 371 D. 504 【解析】：这是的国考题。如果设去年男员工人数为x时，那今年男员工人数则为（1-6%）x=0.94x。也就是说今年男员工人数具有0.94的因子，即能被0.94整除，答案选A。 因此纯熟掌握数字特性法对于解决某一类数学运算非常有效，因此考生须熟记几种非常常用的特性，例如因子、倍数、因子、比例特性。【例22】（江苏B-76）在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。已知报考A岗位的男生数与女

6、生数的比为5：3，报考B岗位的男生数与女生数的比为2：1，报考A岗位的女生数是（ ）。A.15 B.16 C.12 D.10 【答案】C，【解析】报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3，因此报考A岗位的女生人数是3的倍数，排除选项B和选项D；代入A可发现不符合题意，因此选择C。【例23】（上海-12）下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同步被2、3、5整除的数是多少？（ ）A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX 【答案】B ，【解析】由于这个六位数能被 2、5整除，因此末位为0，排除A、D；由于这个六位数能被3整除，这个六位数各位数字和是3

7、的倍数，排除C，选择B。【例24】（山东-12）某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（涉及不做）相差多少？（ ）A.33 B.39 C.17 D.16 【答案】D，【解析】答对的题目+答错的题目=50，是偶数，因此答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项A、B、C都是奇数，因此选择D。【例25】（国一类-44、国二类-44）小红把平时节省下来的所有五分硬币先围成一种正三角形，正好用完，后来又改围成一种正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？（ ）A.1元 B.

8、2元 C.3元 D.4元【答案】C，【解析】由于所有的硬币可以构成三角形，因此硬币的总数是3的倍数，因此硬币的总价值也应当是3的倍数，结合选项，选择C。【注一】诸多考生还会这样思考：由于所有的硬币可以构成正方形，因此硬币的总数是4的倍数，因此硬币的总价值也应当是4的倍数，从而觉得答案应当选D。事实上，硬币的总数是4的倍数，一种硬币是五分，因此只能推出硬币的总价值是4个五分即两角的倍数。【注二】 本题中所指的三角形和正方形都是空心的。【例26】（国A-6）1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人的年龄分别是多少岁?（ ）A.34岁，12岁 B.32岁，8岁

9、C.36岁，12岁 D.34岁，10岁 【答案】D，【解析】由随着年龄的增长，年龄倍数递减，因此甲、乙二人的年龄比在3-4之间，选择D。【例27】（国B-8）若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生？（ ）。A.30人 B.34人 C.40人 D.44人 【答案】D ，【解析】由每间住4人，有20人没地方住，因此总人数是4的倍数，排除A、B；由每间住8人，则有一间只有4人住，因此总人数不是8的倍数，排除C，选择D。【例28】（国-29）一块金与银的合金重250克，放在水中减轻16克。现知金在水中重量减轻1/19，银在水中重量减轻1

10、10，则这块合金中金、银各占的克数为多少克？（ ）A.100克，150克 B.150克，100克 C.170克，80克 D.190克，60克【答案】D，【解析】现知金在水中重量减轻1/19，因此金的质量应当是19的倍数。结合选项，选择D。【例29】（国1999-35）师徒二人负责生产一批零件，师傅完毕所有工作数量的一半还多30个，徒弟完毕了师傅生产数量的一半，此时尚有100个没有完毕，师徒二人已经生产多少个？（ ） A.320 B.160 C.480 D.580 【答案】C，【解析】徒弟完毕了师傅生产数量的一半，因此师徒二人生产的零件总数是3的倍数。结合选项，选择C。【例30】（浙江-24）一

11、只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。问原木箱内共有乒乓球多少个?（ ）A.246个 B.258个 C.264个 D.272个【答案】C，【解析】每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。因此乒乓球的总数=10M+24，个位数为4，选择C。【例34】（北京社招-11）两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？（ ） A.2353 B.2896 C.3015 D.3456【答案】C，【解析】

12、两个数的差是2345，因此这两个数的和应当是奇数，排除B、D。两数相除得8，阐明这两个数之和应当是9的倍数，因此答案选择C。【例35】（北京社招-13）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院共有多少个座位？（ ）A.1104 B.1150 C.1170 D.1280【答案】B，【解析】剧院的总人数，应当是25个相邻偶数的和，必然为25的倍数，结合选项选择B。【例36】（北京社招-17）一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/时，回来时逆风，速度为1200千米/时，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？（ ）A. B.3000

13、C.4000 D.4500【答案】C，【解析】逆风飞行的时间比顺风飞行的时间长，逆风飞行超过3小时，顺风局限性3小时。飞机最远飞行距离少于150034500千米；飞机最远飞行距离不小于120033600千米。结合选项，选择C。【例37】（北京社招-20）红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王教师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度？（ ）A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米【答案】A，【解析】王教师从队尾赶到队头的相对速度为150+60210米分；王教师从队头赶到队尾的相对速度为150-6090米分。因此一般

14、状况下，队伍的长度是210和90的倍数，结合选项，选择A。第二章 转化归纳法一， 化归为一法如果题干中没有波及某个具体量的大小，并且不影响最后成果，我们可以用化归为一法，将这个量设为某一种计算的数值。一般应用于工程问题，混合比例问题，和差倍比问题，加权平均数问题，流水行船问题，来回行程问题，几何问题和经济利润问题。其中，设“1”思想是设“1”或设“100”或设“最小公倍数”，（每题只能设一次）比例假设法运用数字矛盾 尽管假设数字会与题干已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设某一种数字，然后运用倍数关系对推算出来的矛盾双方进行比较，按照比例放大或缩小即可，如果一次假设计算过程中浮现分数或小数，可以

15、二次假设或重新假设以便计算的量。（采用假设比例法时，必须有一种量固定不变，其他两个量成比例关系）三， 工程问题（重点必考点）工程问题是研究工作量，工作时间和工作效率之间的关系工作量=工作时间*工作效率核心思想：化归为一法，比例假设法，特值法重要分类：1.基本运算型；2.同事合伙型；3.先后合伙型；4.交替合伙性（注意周期） 5.撤出加入型；6.两项工程型；7.三项工程型工程问题典型题型：1.某行政村計劃15天完毕春播任務1500畝，播種5天後，由於更新機械，工作效率提高25%，問這個行政村會提前幾天完毕這1500畝的春播計劃？A.4 B.3 C.2 D.12.某工廠的一個生產小組，當每個工人在

16、自己的工作崗位上工作時，9小時可以完毕一項生產任務。如果交換工人甲和乙的工作崗位，其她人的工作崗位不變時，可提前1小時完毕任務；如果交換工人丙和丁的工作崗位，其她人的工作崗位不變時，也可提前1小時完毕任務。如果同時交換甲和乙、丙和丁的工作崗位，其她人的工作崗位不變，可以提前多少小時完毕這項任務？A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.43.有20人修築一條公路，計劃15天完毕。動工3天後抽出5人植樹，留下的人繼續修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實際用多少天？A.16 B.17 C.18 D.194.單獨完毕某項工作，甲需要16小時，乙需要12小時，如果按照甲、乙、甲、乙、的順序

17、輪流工作，每次1小時，那麼完毕這項工作需要多長時間？A.13小時40分鍾B.13小時45分鍾C.13小時50分鍾D.14小時5.甲、乙兩車運一堆貨物。若單獨運，則甲車運的次數比乙車少5次；如果兩車合運，那麼各運6次就能運完，甲車單獨運完這堆貨物需要多少次？A.9 B.10 C.13 D.156.某計算機廠要在規定的時間內生產一批計算機，如果每天生產140臺，可以提前3天完毕；如果每天生產120臺，要再生產3天纔能完毕，問規定完毕的時間是多少天？A.30 B.33 C.36 D.397.甲、乙兩單位合做一項工程，8天可以完毕。先由甲單位獨做6天後，再由兩單位合做，結果用6天完毕了任務。如該工程由

18、乙單位獨做，則需多少天纔能完毕任務？A.8 B.12 C.18 D.248.甲1天做的工作等於乙2天做的工作，等於丙3天做的工作。現有一工程，甲2天可完毕。問乙與丙合伙要多少天完毕？A.12天 B.5天 C.2.4天 D.10天9.一只木桶，上方有兩個注水管，單獨打開第一個，20分鍾可注滿木桶；單獨打開第二個，10分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鍾流完。問當同時打開兩個注水管，水從漏孔中也同時流出時，木桶需經過多長時間纔能注滿水？A.8分鍾 B.9分鍾 C.10分鍾 D.12分鍾10.一個游泳池，甲管注滿水需6小時，甲、乙兩管同時注水，注滿要4小時。如果

19、只用乙管注水，那麼注滿水需多少小時？A.14 B.12 C.10 D.8答案及解析：1.中公解析：本題答案選C。原來的工作效率為100畝/天，提高25%後則每天播種125畝，剩餘的1000畝需要8天播完，因此可以提前2天完毕任務。3.中公解析：本題答案選D。設每人每天乾活1個單位，那麼，題意可以理解為15人乾活需要乾滿20天。因為有5個人另乾了3天，即相當於15個人乾了一天的活，因此15人現在只需乾活20-119天。6.中公解析：本題答案選D。生產的計算機總量不變，每天生產120臺比每天生產140臺多用6天，故每天生產140臺需要1206(140-120)=36天，故規定時間為36+3=39天

20、。本題也可用方程法求解。第三章 典型解题技巧一，十字相乘法本质就是一种简化方程算出来的是总量比，如要算单位比，再除以单价。二，构造设定法（与极端思维法配合使用）根据题目规定，直接进行构造，如有必要，可以回头验证构导致果。我们构造的只是满足题目的状况之一，不是唯一。三，极端思维法（当题干中浮现至多，至少，最多，至少，最大，最小时）使用极端构造思维构造极端思维时也许得到的是非整数解：如果题目问最大时，就往小取整；如果题目问最小时，就往大取整。四，枚举列举法直接枚举说满足条件的所有状况（当满足条件状况较少时用）当答案规定数字很大时，我们可从较小的数字出发，总结归纳出通用规律N条直线可将平面分割成n(

21、n+1)/2个部分（2，4，7，11,16,22,29,37,46,56）差为（2,3,4,5,6,7,8,9,10）五，逆向思维法（除以2，加1减1，乘以2）逆向推导型：将运算过程完全颠倒，从后往前逆推。正反互补型：若“正面”不好求解，用总体剔除与之互补的“背面”求解。十字相乘法：十字相乘法用来解决某些比例问题特别以便。但是，如果使用不对，就会出错。（一）原理简介通过一种例题来阐明原理。某班学生的平均成绩是80 分，其中男生的平均成绩是75 ，女生的平均成绩是85 。求该班男生和女生的比例。措施一：男生一人，女生一人，总分160 分，平均分80 分。男生和女生的比例是l : 1 。措施二：假

22、设男生有A ，女生有B 。( A * 75 + B85 ) / ( A 十B ) = 80整顿后A = B ，因此男生和女生的比例是1 : 1 。措施三：男生：75 5 80女生：85 5男生：女生= 1 : l 。一种集合中的个体，只有2 个不同的取值，部分个体取值为A ，剩余部分取值为B 。平均值为C 。求取值为A 的个体与取值为B 的个体的比例。假设A 有x , B 有（1 一X ）。AX + B ( 1 一X ) = CX =（C 一B ) / ( A 一B )1 一X =（A 一C ) / A 一B因此：X : ( l 一X ) = ( C 一B ) : ( A 一C )上面的计算过

23、程可以抽象为：A C 一BCB A 一C这就是所谓的十字相乘法。十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，成果放对角线上。1 某体育训练中心，教练员中男占90 % ，运动员中男占80 % ，在教练员和运动员中男占82 % ，教练员与运动员人数之比是： A 2: 5 B l: 3 C 1: 4 D l: 5答案：C，分析：男教练：90 % 2 %82 %男运动员：80 % 8 %男教练：男运动员2 % : 8 = 1 ：42 某公司职工25 人，每季度共发放劳保费用15000 元，己知每

24、个男职必每季度发580 元，每个女职工比每个男职工每季度多发50 元，该公司男女职工之比是多少A . 2: 1 B 3: 2 C 2: 3 D.1: 2答案：B分析：职工平均工资15000 / 25 = 600男职工工资：580 30600女职工工资：630 20男职工：女职工30 : 20 = 3 : 23 某都市目前有70 万人口，如果5 年后城乡人口增长4 % ，农村人口增长5 . 4 % ，则全市人口将增长4 . 8 。目前城乡人口有（）万。A 30 B 31.2 C 40 D 41.6答案A分析：城乡人口：4 % 0.6 %4.8 %农村人口：5.4 % 0.8 %城乡人口：农村人口

25、=0.6 % ：0.8 =3 : 470 * (3 / 7 ) = 304 某班男生比女生人数多80 % ，一次 HYPERLINK t _blank 考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20 % ，则此班女生的平均分是：A 84 分 B 85 分 C 86 分 D 87 分 答案：A分析：假设女生的平均成绩为X ，男生的平均Y 。男生与女生的比例是9：5。男生：Y 975女生：X 5根据十字相乘法原理可以懂得，X=845 某高校 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % 其中本科毕业生比上年度减少2 % 而研究生毕业数量比上年度增长10 % ,那么，这所高校今年

26、毕业的本科生有：A 3920 人B 4410 人C 4900 人D 5490 人 答案：C分析：去年毕业生一共7500 人。7650 / ( 1 + 2 % ) = 7500 人。本科生：-2 % 8 %2%研究生：10 % 4 %本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1 。7500 * ( 2 / 3 ) = 50005000 * 0.98 = 49006 资料分析：根据所给文字资料回答121 一125 题。 年5 月份 HYPERLINK t _blank 北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272 . 2 亿元，创今年历史第二高。据记录，l-5 月份全市合计实现社会消

27、费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12 . 5 。汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁华。5 月份，全市机动车类销售量为5.4 万辆，同比增长23.9 。据对限额以上批发零售贸易公司记录，汽车类商品当月实现零售额32 .3 亿元，占限额以上批发零售贸易公司零售额比重的20.3 。据对限额以上批发零售贸易公司记录，5 月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4 月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50 。其中，家具类商品零售额同比增长27.3 % ，建筑及装演材料类商品零售额同比增长60.8 。同步由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易公司家用

28、电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6 。121 北京市 年5 月份限额以上批发零售贸易公司社会消费品零售额占社会消费品零售总额的比例约为：A . 50.5 % B . 58.5 % C , 66.5 % D . 74.5 % 答案：B分析：( 32.3 / 2 0.3 % ) / 272.2 。成果和160 / 270 相称。接近60 。因此选B 。122 若保持同比增长不变，估计北京市 年前5 个月平均每月的社会消费品零售额：A 将接近255 亿元B ，将接近280 亿元C 将接近300 亿元D 将突破300 亿元答案：C分析：( 1312.5 / 5 ) * ( l + 12.5 %

29、 ）。 12.5 =l / 8 。（1312.5 * 9 ) / 40 接近300 。123 年5 月份，限额以上批发零售贸易公司中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装演材料类商品零售额的比例是：A . 27.4 % B . 29.9 % C . 32.2 % D . 34.6 %答案：A分析：两种措施。措施一：比较常规的做法假设 年家具类所占比例为X 。X * ( l + 27.3 % ) + ( l 一X ) * ( l + 60.8 % ) = l + 50 %X = 32.2 。【32.2 % * ( l + 27.3 % ) 】/【32.2 % * ( l + 27.3 % ) +

30、( l 一32.2 % ) * ( 1 + 60.8 % 0 ) 】= 27.4 %整个过程计算下来，至少5 分钟。措施二：十字相乘法原理最快家具27.3 % ，近似为27 % ;建筑60.8 % ，近似为61 。家具：27 % 11% 50 %建筑：61 % 23 %家具：建筑11 % : 23 大概等于1 : 2 。注意这是 年4 月份的比例。建筑类 年所占比例为：l * ( l + 27.3 % ) / 1 * ( l + 27.3 % ) + 2 * ( l + 60.8 % ) = 1 . 27 / ( 1.27 + 3.2 ) = 1.27 / 4.5 = 28 。和A 最接近。1

31、24 下列说法对的的是：1 . 年1-5 月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长12.5 %11 . 年5 月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易公司零售额的增长率相比较，建筑及装潢材料类增长最快1ll . 年，北京市机动车类销售量约为4.36 万辆A 仅1 B 仅11 C . I 和11 D . II 和111 答案：C分析：1 一5 月份全市合计实现社会消费品零售额1312 .7 亿元，比去年同期增长12.5 。合计增长A/B同比增长（A/5 ) / ( B / 5 ）。I 对的,11 对的，文中直接找答案。5.4 / ( 1 + 23.9 % ）约等于4.36

32、 。125 下列说法肯定对的的是：A . 年前5 个月中，5 月份的社会消费品零售额最高B . 年5 月，几类商品的零售额都比前4 个月高C . 年5 月，限额以上批发零售贸易公司零售额比前4 个月都高D 至少存在一类商品，其前5个月的零售额同比增长不高于12.5%，答案：D分析：1 一5 月份全市合计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 % ，而5 月份各类零售增长率都超过了12.5 。因此可以肯定，至少存在一类商品，其 年前5 个月的零售额同比增长不高于12.5 。构造题型题目解析：当题干中浮现“至少(才)保证”、“至少”、“最最多(少)”、“排名第最多(少)”等

33、字眼时，均可鉴定该题为最值问题。常用题型：1.最不利构造：特性：至少(至少)保证；措施：答案=最不利的情形+1。2.多集合反向构造：特性：都至少；措施：反向、加和、做差。3.构造数列：特性：最最，排名第最；措施：构造一种满足题目规定的数列-河北42.要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果规定每块草坪必须有树且所栽棵数要根据面积大小各不相似，面积最大的草坪上至少要栽几棵？( )A.7 B.8C.10 D.11【答案】A【解析】本题属于构造数列题型。要使面积最大的草坪栽种的树至少，就要保证其她的草坪栽种的树最多，设面积最大的草坪至少栽种X棵，则其她的草坪可栽种X1,X2, X3,X

34、4棵， 则XX1X2X3X4=21，即5X10=21，X=6.2，而X必须取整数，因此X=7。因此，答案选择A选项。-河北-44.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少？( )A.40% B.30%C.20% D.10%【答案】C【解析】设共有100人考试，则得90分以上的同窗依次有70、75、85、90人，因此没过90分的依次有30、25、15、10人，则没过90分的最多有30+25+15+10=80(人)，故90分以上的至少有100-80=20(人)，占20%。

35、因此，答案选择C选项。-河北-39.某中学初二年级共有620名学生参与期中考试，其中语文及格的有580名，数学及格的有575名，英语及格的有604名，以上三门功课都及格的至少有多少名同窗？( )A.575 B.558C.532 D.519【答案】D【解析】要使三门功课都及格的人数至少，则需要三门功课的人中，每人都只有一门不及格，不及格的人数总数为(620-575)+(620-580)+(620-604)101(人)，故三门功课都及格的人数至少为620-101519(名)。因此，答案选择D选项。-河北-108.100名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能投票选举一人，得票最多的人当选

36、。开票半途合计前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未记录的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？( )A.11 B.12C.13 D.14【答案】A【解析】本题属于构造数列题型。甲至少再得多少票就一定当选的意思就是票数最多的甲至少得多少张票。我们可以发现对甲最有竞争力的就是丙，因此最极端的状况就是甲获得了x票，剩余的39-x所有投给了丙，这样甲也当选了。即满足35+x16+39-x，即2X20，X10，因此甲至少要得11张。因此，答案选择A选项。方程与不等式方程法是整个数学运算的第一重要措施（一般可知列不求）重要题型：盈亏问题，鸡兔同笼问题，和差倍比问题，牛吃草问题一，基本方

37、程思想（巧设未知数，迅速解方程）当方程有小数或是分数而计算复杂时，同乘化整。方程组中若存在多种未知数，尽量消去无关未知数，保存所求未知数。方程中存在某些无关未知数，完全可以作为整体直接消去。比例型的方程形式，也许存在较好的化简措施。未知数转变且无法消除时，可直接令x=0得到答案。若题目中存在xy这样的乘积项，先化简或消掉。A/B=C/DA+C/B+D=A-C/B-D(当两个分子或分母的和或差为常数时)A/B=C/DAB/B=CD/DA/BA=C/DC（条件同上）整体解方程整体代换，无需求出每一种未知数。逆向解方程倒推法。二，不定方程（组）-最新考察热点多元不定方程或方程组：特值代入法；二元不定

38、方程：带入试值法，令最复杂的一项为“0”；三，不等式直接解出满足不等式的范畴列出不等式，找好是“”还是“”，是“”还是“”。四，盈亏与鸡兔同笼问题列方程，解方程是最高效，最精确的措施。五，和差倍比基本运算模块一，纯正计算问题基本公式：a-b=（a+b）（a-b）；a+b2跟下ab；ab（a+b/2）（a-b）0；(a)= a+2ab+b； a*b*c（a+b+c/3）a的m次方*a的n次方=a的m+n次方，a的m次方的n次方=a的m*n次方；（a*b）的n次方= a的n次方+b的n次方弃九法（当整数范畴内+，-，*三种运算措施中可使用）在计算中，将计算过程中数字所有除以9，留其他数进行相似的计

39、算；计算中如有数字不在08之间，通过加上或减去9或9 的倍数调节到08之间；将选项除以9留其他数，与上面计算成果对照，得到答案。注意循环数的求法，因数分解！裂项相消公式B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A(“小分之一”减去“大分之一”乘以两者差分之分子)在比较复杂的计算中，将相近的数化为相似，从而作为一种整体相抵消乘方尾数的算法：地鼠留个位，指数除以4，留余数，余数为零，去4！直接计算题；2.弃九推断；3.乘法分派率；4.循环数字；5.比较大小； 6.裂项相消；7.整体消去； 8.乘方尾数。二，运算拓展模型定义运算：XY,XY，抽象函数f（x） 3.恒等变换； 4.二次方程； 5

40、.极值求解数列综合运算等比数列：设首项为；末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 则有: =平均数*项数=中位数*项数； 其中 ：通项公式： 等差数列奇数项求和=项数等比数列等比数列求和公式：an=a1*q(n-1)计数问题模块一，容斥原理（一）两集合容斥原理当题目中浮现满足条件A的数目，满足条件B的数目，同步满足A，B的数目，条件A,B都不满足的数目，总数公式：满足A+满足B-满足A,B+A，B都不满足=总数若浮现：只满足条件A或只满足条件B用两集合图示标数。（二）三集合容斥原理有关满足两个条件的描述，如果题目只波及满足A，B条件；满足B，C条件；满足A，C条件的数目原则公式若题目波

41、及“只满足条件A，B的数目”，一般采用三集合图示标数；若题目波及“满足一种条件的数目”和“满足两个条件的数目”；只给出一种总数而不是分项数字，一般用“三集合整体反复型”。原则型公式：1.两个集合的容斥关系公式：AB = A+B - AB (：重叠的部分）2.三个集合的容斥关系公式：ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC HYPERLINK t _blank 如左边代表至少满足三个条件之一的状况，也等于总数减去三个条件都不满足的状况；（三）三集合图示标数型特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区别；特别注意有无“三个条件都不满足”的状况；标数时，注意从中间向外围标记。

42、（四）三集合整体反复型在三集合容斥题型中，假设三个条件的元素数量分别是A,B,C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W；其中：满足一种条件的元素数量为X，满足两个人条件的元素数量为Y，满足三个条件的元素数量为Z。W=X+Y+Z;A+B+C=X*1+Y*2+Z*3具体推理：1、 等式右边改造 = （A+B - AB）+C - BC - CA + ABC2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么ABC还缺部分7。4、等式右边号里+C（4+5+6+7）后，相称于ABC多加了4+5+6三部分，减去BC（即

43、5+6两部分）后，还多加了部分4。5、等式右边里减去CA （即4+5两部分）后，ABC又多减了部分5，则加上ABC（即5）刚好是ABC。如图所示： HYPERLINK t _blank 二，基本排列组合加法原理 排列：与顺序有关，乘法原理 组合：与顺序无关，排列公式：组合公式：逆向公式：满足条件的状况不满足条件的状况数。三，拓展排列组合1.相邻问题捆绑法先考虑相邻元素，然后将其视为一种整体考虑；2.不邻问题插孔法先考虑剩余元素，然后将不邻元素进行插孔（路灯熄灭问题）3.错位配列0,1,2,9,44,256；4.反复剔除型平均分租时，一旦有N个组人数相似，最后都要除以Ann以剔除反复状况，例：将

44、6个人平均提成3组，请问一共有多少种分法？C62*C42*C22/A33=155.圆桌排列：N个人排成一圈，有Ann/n=（n-1）！种措施；6.分派插板型（将M个元素，分到N组，每组至少分一种），Cm-1，n-1需满足条件：元素相似，分派到不同的组，每个组至少分一种（三者缺一不可）如果没有至少分到一种，只说把6个苹果分到3组，可以先借三个苹果没人分一种，再按照公式去分；如果题干说至少分得N的元素，则分给每组N-1元素，构导致每组至少分得一种的状况。典型例题分析：难点：从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的核心性词（特别

45、是逻辑关联词和量词）精确理解；计算手段简朴，与旧知识联系少，但选择对的合理的计算方案时需要的思维量较大；计算方案与否对的，往往不可用直观措施来检查，规定我们弄清概念、原理，并具有较强的分析能力。例题【例1】 从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数构成 HYPERLINK t _blank 等差数列，这样的不同 HYPERLINK t _blank 等差数列有多少个？分析：一方面要把复杂的生活背景或其他数学背景转化为一种明确的排列组合问题。设a,b,c成等差， 2b=a+c，可知b由a,c决定，又 2b是偶数， a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，19或2，4，6，8，20这十个数中

46、选出两个数进行排列，由此就可拟定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。【例2】 某都市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相似，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线迈进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐级进一步：（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的环节决定后，剩余的环节只能向右；从而，任务可论述为：从八个环节中选出哪三步是向上走，就可以拟定走法数。 本题答案为：C（8,3）=56。分析分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析

47、是分类还是分步，是排列还是组合。【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有助于作物生长，规定A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？分析：条件中“规定A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一种涉及排列数，组合数的式子表达，因而采用分类的措施。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换 ，共12种。【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中正好有一双同色的取法有多少种？（A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。（一）

48、从6双中选出一双同色的手套，有6种措施；（二）从剩余的十只手套中任选一只，有10种措施。（三）从除前所波及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种措施；（四）由于选用与顺序无关，因（二）（三）中的选法反复一次，因而共240种。或分步从6双中选出一双同色的手套，有C（6,1）=6种措施从剩余的5双手套中任选两双，有C（5,2）=10种措施从两双中手套中分别拿两只手套，有C（2,1）C（2,1）=4种措施。同样得出共=240种。【例5】身高互不相似的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一种人都比她同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。分析：每一纵列中的两人只要选定，则她们只有一种站位措

49、施，因而每一纵列的排队措施只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）C（4,2）C（2,2）=90种。【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，此外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理一方面要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的原则必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以她们当中有几种去当钳工为分类原则。第一类：这两个人都去当钳工，C（2,2）C（5,2）C（4,4）=10种；第二类：这两个人都去当车工，C（5,4）C（2,2）C（4,2）=30种；第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车

50、工C（5,4）C（4,4）=5种。第四类：这两个人一种去当钳工、一种去当车工，C（2,1）C（5,3）C（4,3）=80种；第五类：这两个人一种去当钳工、另一种不去当车工，C（2,1）C（5,3）C（4,4）=20种；第六类：这两个人一种去当车工、另一种不去当钳工，C（5,4）C（2,1）C（4,3）=40种；因而共有185种。【例7】既有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果容许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以构成多少个不同的三位数?分析：有同窗觉得只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但事实上抽出的三个数中有9的话才也许用6替代，因而必须分类。抽出的三数含0，含9，

51、有32种措施；抽出的三数含0不含9，有24种措施；抽出的三数含9不含0，有72种措施；抽出的三数不含9也不含0，有24种措施。因此共有32+24+72+24=152种措施。【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，规定空车位连在一起，不同的停车措施有多少种?分析：把空车位当作一种元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,9）=362880种停车措施。特殊优先特殊元素，优先解决；特殊位置，优先考虑。【例9】六人站成一排，求甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数第一步：排出首位和末尾、由于甲乙不

52、在首位和末尾，那么首位和末尾实在其他四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；第二步：由于六个元素中已有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩余的四位元素进行顺序排列，共A（4,4）=24种；根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共1224=288种。第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种措施。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3A（4,4）种措施。第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3A（4,4）种措施。第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有6A（4,4）种措施（排除相邻）。共A（4,4）+3A（4,4）+3A（4,4）+6A（4,4）=312种。【例10】对某件产品

53、的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至辨别出所有次品为止。若所有次品正好在第五次测试时被所有发现，则这样的测试措施有多少种也许?分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一种次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完毕。第一步：第五次测试的有C（4,1）种也许；第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中也许。第三步：前四次有A（4,4）种也许。 共有576种也许。捆绑与插空【例11】8人排成一队甲乙必须相邻甲乙不相邻甲乙必须相邻且与丙不相邻甲乙必须相邻，丙丁必须相邻甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑（甲乙可互换） 和7人排列A（7,7）A（2，2）甲乙不

54、相邻，A（8,8）-A（7,7）2。或A（6,6）A(7,2)甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）22甲乙必须相邻且与丙不相邻A（7,7）2-A（6,6）22甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A（6,6）22甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7）22+A（6,6）22【例12】某人射击8枪，命中4枪，正好有三枪持续命中，有多少种不同的状况?分析： 持续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一种插空问题。此外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5,2）。【例13】 马路上有编号为l，2，3，10 十个路灯，为

55、节省用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同步关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的状况下，求满足条件的关灯措施共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又由于灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不涉及两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。 共C（6,3）=20种措施。措施二：把其中的3只灯关掉总状况有C（8，3)种关掉相邻的三只有C（6，1)种关掉相邻的两只有2*C（7，2)-12种因此满足条件的关灯措施有:C（8，3)-C（6，1)-2*C（7，2)-12=56-6-(42-12)=20种间接计数法排除法【例14】三行三列共九个点，以这些点为顶点可构成

56、多少个三角形?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的措施数=任意三个点的组合数-共线三点的措施数， 共76种。【例15】 HYPERLINK t _blank 正方体8个顶点中取出4个，可构成多少个四周体?分析：所求问题的措施数=任意选四点的组合数-共面四点的措施数， 共C（8,4）-12=70-12=58个。【例16】1，2，3，9中取出两个分别作为 HYPERLINK t _blank 对数的底数和真数，可构成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为1。当1选上时，1必为真数， 有一种状况。当不选1时，从2-9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中

57、log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3,log2为底3=log4为底9,log3为底2=log9为底4.因而一共有56-4+1=53个。【例17】 六人排成一排，规定甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的措施? 如果规定甲乙丙按从左到右依次排列呢?分析：（一）事实上，甲在乙的前面和甲在乙的背面两种状况对称，具有相似的排法数。因而有A(6，6)/2=360种。（二）先考虑六人全排列A(6,6)种；另一方面甲乙丙三人事实上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数反复了A(3,3)种， 有A(6，6)/A(3,3)=120种。【例18】5男4女排成一排，规定男生必须按从

58、高到矮的顺序，共有多少种不同的措施?分析：一方面不考虑男生的站位规定，共A（9,9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法反复了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9876=3024种若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。【例19】 三个相似的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的措施?分析：先觉得三个红球互不相似，共A（5,5）=120种措施。而由于三个红球所占位置相似的状况下，共A（3,3）=6变化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20种。公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列（即排序）。

59、（P是旧用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。挡板的使用【例20】10个名额分派到八个班，每班至少一种名额，问有多少种不同的分派措施?分析：把10个名额当作十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相称于一种分派方式。因而共36种。区别与联系所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一种阶段（排序）可转化为排列问题。【例21】用数字0，1，2，3，4，5构成没有反复数字的四位数，可构成多少个不同的四位数?可构成多少个不同的四位 HYPERLINK t _blank 偶数可构

60、成多少个能被3整除的四位数?分析：有A（6,4）-A（5,3）=300个。分为两类：0在末位，则有A（5,3）=60种：0不在末位，则有C（2,1）A（5,3）-C（2,1）A（4,2）=96种。 共60+96=156种。先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选0，1，2，30，1，3，50，2，3，40，3，4，51，2，4，5它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4A（4,4）-A（3,3）+A（4,4）=96种。分组问题【例22】 5名学生分派到4个不同的科技小组参与活动，每个科技小组至少有一名学生参与，则分派措施共有多少种？分析：（一）先把5个学生提成二人，一人，