高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习

1、第 页 共 21 页高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、 定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。例 1】 设 f (x 1) x2 3x 2，求 f(x) .f (x 1) x2 3x 2 (x 1) 12 3(x 1) 1 2=(x 1)2 5(x 1) 62f (x) x2 5x 6x1例 2】设 ff(x) xx 21，求 f(x).解：设 f f(x)x1x2x1x1111xf (x)11x例 3】设 f(x 1) x21112 , g(x 1)31x3 13 ，求 fg(x).xxxx解：12 f(x ) x2x12 (x 1x)22 f (x) x2 2xxx又1 3

2、1g(x ) x 3 xx(x 1)3 3(x 1)g(x) x3 3xxx故 fg(x) (x3 3x)2 2 x6 6x4 9x2 2例 4】 设 f (cos x ) cos17x, 求 f (sin x) .解： f (sin x) f cos( x) cos17( x)cos(8 17x) cos( 17x) sin17x .待定系数法： （主要用于二次函数）已知函数解析式的类型， 可设其解析式的形式， 根据已知条件建立关于待定系数的方程， 从而求出函数解析式。它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些 特征求其解析式的题目。 其方法：已知所求函数类

3、型，可预先设出所求函数的解析式， 再根 据题意列出方程组求出系数。【例 1】 设 f （ x）是一次函数，且 ff （x） 4x 3，求 f（x）【解析】 设 f（x） ax b （a 0） ，则2f f（x） af （x） b a（ax b） b a x ab ba2 4ab b 3a2b1a2b3f (x) 2x 1或f (x) 2x 3例 2】已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式解：设二次函数 f（x）= ax2+bx+c ，则 f（0）= c= 0 22f（x+1）= a（x 1） +b（x+1 ） = ax2+（2a+b）

4、x+a+b由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与、 得2a b b 2ab8解得 ab 17,. b 7.2故 f( x) = x 2+7x.例 3】已知 f (x 2) 2x2 9x 13，求 f(x).解：显然， f(x) 是一个一元二次函数。设 f (x) ax2 bx c (a 0)则 f (x 2) a(x 2)2 b(x 2) c ax2 (b 4a)x (4a 2b c)又 f (x 2) 2x2 9x 13a 2 a 22比较系数得： b 4a 9 解得： b 1 f (x) 2x2 x 3 4a 2b c 13 c 3x第 页 共 21 页三、换元（或代换）法：已知复合函

5、数 f g （x）的表达式时，还可以用换元法求f（x） 的解析式用来处理不知道所求函数的类型， 且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。 使用换元法时要注意新元 定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。如：已知复合函数 f g（ x）的解析式，求原函数 f（x）的解析式， 把 g（x）看成一个 整体 t，进行换元，从而求出 f（ x）的方法。实施换元后 ,应注意新变量的取值范围 ,即为函 数的定义域 .例 1】已知 f ( x 1)f (x 1)11,求 f (x).x解：1 1 x t, 则 x则 f (t) f( )t 1 xx2 11 1 1 1 22x x x x例 3】解：11

6、211(t 11)t 11 (t 1)2 (t 1) t2 t设 f (cosx 1) cos x ，求 f(x) .令 t cosx 1, cosx t 1又1 f (x) x2 x 11 cosx 1, 2 cosx 1 0 即 2 t 022f (t) (t 1)2, ( 2 t 0)即 f (x) (x 1)2,x 2,0 x1例 4】 若 f(x) f ( ) 1 x解析】 令t x 1，则t 1， x （t 1）2f ( x 1) x 2 xf (t) (t 1)2 2(t 1) t2 1,f (x) x2 1 (x 1)22f (x 1) (x 1) 2 1 x2 2x (x 0

7、)例 2】1 x x2 1 已知 f (1 x) x 2 1 xx2第 页 共 21 页1)x 1 x 1 1)式中以代替 x得 f( )xf(x 1 1 x 1xx 1 ) 1 x 1x 1 xx2)3)f(x 1)x又以f(x11)2x 1x 1代替( 1)式中的x 得： f(x 1) f (x)x2x1x 2 2x 1 (1) (3) (2) 得: 2f (x) 1 xx1x2 13xx(x 1)f(x)32xx2x(x 1)例 5】 设 f(x) 满足 af(x) bf(1) cxx(其中a, b,c均不为0，且a b)，求 f(x) 。解：af(x) bf(1) cxx1)1 来代替

8、 x ，得 af(1) bf(x) c xx2)由 a (1) b (2)得 : (a2 b2)f(x)acx2 bc6】 已知acx2 bcf(x) (a2 b2)xf (ax 1) x2 2，求 f(x) .代入已知等式中，得：f(t) (log a t 1)2 2 log2a t 2loga t 3解：设 t即 x log a t 1ax 1 0，则 x 1 log a t2f(x) log a2 x 2loga x 3四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例 1】已知：函数 y x2 x与y g( x)的图象关于点 ( 2,3) 对称，求 g (x)的解析

9、式解：设M(x,y)为y g (x)上任一点，且 M (x,y)为M(x,y)关于点 ( 2,3)的对称点xxyy解得：点 M (x,y ) 在 y g(x) 上y x2 x x x 4把 代入得：y 6 y6 y ( x 4) 2 ( x 4) 2整理得 yx2 7x 6 ，2g(x) x 7x 6 ( 五 ) 配凑法已知复合函数 f g( x)的表达式，求 f (x)的解析式， f g(x)的表达式容易配成 g(x)的 运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数 f(x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而 是 g(x) 的值域【例 1】：已知 f ( x 1) x 2 x,求 f (x)的解

10、析式。分析： x 2 x 可配凑成解：可用配凑法由 f ( x 1) x 2 x ( x )2 1令 t x 1x0t1则 f (t) t 2 1即 f (x) x2 1(x 1)当然，上例也可直接使用换元法令 tx 1则 tx 12得 x (t 1)222f(t) (t 1)2 2(t 1) t2 1 即 f (x) x2 1(x 1) 由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。1 2 1 【例 2】：已知 f(x ) x2 2 , 求 f(x) .xx2分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。1 2 1 1 2 解析：由 f(x

11、 ) x2 2 (x )2 2xxx12令 t x x tx 1 0 x2由0即t2 4 0得 t Rf ( t) 2t 2即： f (x) x2 2(x R) 实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用 此复合函数的内函数来表示出来， 在通过整体换元。 和换元法一样， 最后结果要注明定义域。(六) 构造方程组法( 消去法)。若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方 程组求得函数解析式构造方程组法适用的范围是： 题高条件中， 有若干复合函数与原函数 f(x) 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。1【例

12、 3】：设 f(x)满足 f(x) 2f( ) x,求 f (x)的解析式。x11分析：要求 f(x) 可消去 f( ) ,为此，可根据题中的条件再找一个关于f(x) 与 f( )的xx等式，通过解方程组达到消元的目的。解析： f(x) 2f(1) x x显然， x 0,将 x换成 1 得xf (1) 2f(x) 1 . xx1f(x) 2f ( ) x由x11f( ) 2f (x)xx消去 f(1) ，得xf(x)12xf(x)、 f (1) ；互为相反x3 3x小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如数，如 f(x) 、 f(-x) ，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组

13、即得f(x)的解析式。【例 4】已知 f(ax 1) x2 2，求 f(x).解：设 t ax 1 0，则 x 1 loga t 即x loga t 1代入已知等式中，得：f(t) (log a t 1)2 2 log2a t 2loga t 32f(x) loga2 x 2loga x 3小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(1x)f(x) 、 x ；互为相反数，如f(x) 、 f(-x) ，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x) 的解析式。1【例 5】设 f ( x)为偶函数， g(x)为奇函数，又 f(x) g(x),试求 f (x)和g(x)的x1解析式【解

14、析】 f(x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，f( x) f(x),g( x) g(x)又 f(x) g(x) x11 ，x1用 x 替换 x 得： f ( x) g( x)1x11即 f(x) g(x) x1解 联立的方程组，得11f(x)21 ， g(x)21x 1 x x七、特殊值法： (赋值类求抽象函数)当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进 行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式例 1】：设 f(x) 是定义在 N上的函数，满足 f(1) 1，对于任意正整数 x,y，均有f(x) f (y) f (x y) xy，求 f (x).解：由

15、f (1) 1， f (x) f(y) f(x y) xy设 y 1得： f(x) 1 f (x 1) x即： f(x 1) f(x) x 1在上式中， x 分别用 1,2,3, ,t 1代替，然后各式相加可得：f(t) 1(t 2)(t 1) 1 1t2 1t2 2 2f(x) 12x212x (x N )例 2】 设是定义在 R 上的函数，且满足f( 0) =1，并且对任意的实数 x，y，有 f(xy)= f( x) y(2xy+1)，求 f( x)函数解析式 分析：要 f(0)=1，x，y 是任意的实数及 f(xy)= f(x) y( 2x y+1)，得到 f ( x )函数解析式，只有

16、令 x = y.解： 令 x = y ，由 f(xy)= f(x ) y(2xy+1) 得2 f( 0) = f(x) x(2xx+1)，整理得 f(x)= x2+x+1.八利用给定的特性求解析式 .【例 1】设 f ( x)是偶函数，当 x0时， f (x) e x2 ex，求当 x0时， f(x)的表达 式.练习对 xR， f(x) 满足 f(x) f(x 1)，且当 x1，0 时， f(x) x2 2x求当 x9 ， 10时 f(x)的表达式.九、累加法：累加法核心思想与求数列的通项公式相似。1【例 1】：若 f (1) lg ，且当ax 2时,满足 f(x 1) f(x) lgax 1

17、,(a 0,x N )，求 f(x).解： f (x) f (x 1) lg ax 1 (a 0,x N )递推得：f(x 1) f(x 2) lgax 2f (x 2) f (x 3) lgax 32f (3) f (2) lg a2f(2) f (1) lga以上 (x 1) 个等式两边分别相加，得：f (x) f (1) lg a lg a2lg ax 2 lga x 1x(x 1)lgf (1) lg a1 2 (x 2) (x 1)x(x 1) 12 lg lg a 2 ax(x 1)21lga十、归纳法：例 1】：已知 f(x 1) 2 1 f(x),(x N )且 f(1) a，

18、求 f(x).解： f (1) a,f (2) 2 1 f (1) 2 1a 4 2 1a2 2 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 1111f(3) 2f(2) 2(2 a) 4 202 a22222 HYPERLINK l bookmark244 o Current Document 1111f(4) 2 1 f(3) 2 1(3 1a) 4 2 1 13a224231 1 1 1 2 1 f(5) 2 f(4) 2 (3 a) 4 2 2 4 a2 2 2 824，依此类推，得3 x 1f(x) 4 23

19、x 2x 1 a再用数学归纳法证明之。例2】：设f(x) xx 11，记fn(x) f f f(x)，求f2004(x).十一、递推法： 若题中所给条件含有某种递进关系， 则可以递推得出系列关系式， 然后通过迭加、 迭乘或者 迭代等运算求得函数解析式。【例 1】 设 f (x) 是定义在 N 上的函数，满足 f(1) 1 ，对任意的自然数 a,b 都有f (a) f(b) f (a b) ab，求 f(x)【解析】 f (a) f (b) f (a b) ab， a,b N ，不妨令 a x,b 1，得： f(x) f (1) f (x 1) x，又 f (1) 1, 故f (x 1) f (

20、x) x 1 分别令式中的 x 1,2 n 1 得：f (2) f (1) 2,f (3) f(2) 3,f (n) f (n 1) n,将上述各式相加得： f (n) f (1) 2 3 n ，f (n) 1 2 3 n n(n 1)21 2 1f (x)x2 x,x N22十二、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式 .【例 1】 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=2x x2，求 f(x)函数解 析式 .解： y=f ( x)是定义在 R 上的奇函数， y=f ( x)的图象关于原点对称 .当 x0 时， f (x) =2x

21、x2 的顶点( 1， 1)，它关于原点对称点( 1， 1)， 2x x 2因此当 x0 时，y= (x 1)21= x2 +2x.故 (f x)= 2 2x xx0，x2 2 xx0.评注 : 对于一些函数图象对称性问题 ,如果能结合图形来解 ,就会使问题简单化十三、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。【例 1】. 已知函数是 R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是 R上的奇函数，所以 ，当，所以十四、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。【例 1】 . 已知函数，求它的反函数。解：因为 ，反函数为十五、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这

22、个定义求函数解析式的方法。【例 1】 . 对定义域分别是 的函数 ，规定：函数若 ，写出函数 的解析式。多见识下十六 、微积分法： 当你学了导数和微积分之后， 就会用到， 不过平时的考题还是比较少出现的， 各种题型对你有帮助的。22 【例 1】： 设 f (sin 2 x) cos2 x, f (1) 2，求 f (x) .解： f (sin 2 x) cos2 x 1 sin 2 x f (x) 1 x (|x| 1)12 因此 f (x) f (x)d (1 x)dx x x2 cf (1) 211c22f (x) x 12 x(| x| 1)f (x T) f(x) B 、f(x T)1

23、f(x)或f (x T)1f(x)十七：坐标转换法例 7已知 f (x) = log(x 1)，当且仅当点 (x。，y。)在 y= f (x)图像上时， 点(2x。，2y。)在y =g(x) 图像上，求函数 g(x)的解析式 .xy解：设 p(x, y) 是函数 y = g(x) 图像上的任一点，由已知得点 ( 2 ， 2 )在函数 y= log a( x 1)的图像上 .即 y = log a( x 1),所以 y= 2 loga( x 1)2 a 2 a 2x故所求函数 g(x)的解析式是， g(x) = 2 log a( 2 1).点评：抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系，

24、再利用已知点满足已知 函数，从而转换坐标，代入即可求得 .第 页共 21 页其它相关题型1、定义法例 1若 f ( x 1 x 2 x ) ,求 f(x)解： x 2 x ( x 1)2 1 f ( x 1) ( x 1)2 1 x 1 12f(x)=x2 1 (x1)2、配凑法例 2、已知 f (x 1) x2 2x ，求 f (x) 解： f (x 1) (x 1)2 2x 1 2x2(x 1)2 4x 1(x 1)2 4(x 1) 3 f (x) x2 4x 3 3、换元法例3、 已知 fx 1)=x2 1x 1 1 ，求 f（ x）的解析式 . xx 1解：设 = tx（ 1 ）2 1

25、f（t）= t 1（ 1 ）2 t 1 故 f（x）=x 2x+1，则x=t1），1= 1+1 t 1 x1).2(t 1)2 +(t1)= t2t+1评注: 实施换元后 ,应注意新变量的取值范围 ,即为函数的定义域4、待定系数法例4、 式.已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，x+1）= f（ x） +2x+8 ，求 f（ x）的解析解：设二次函数 f（x）= ax2+bx+c ，则 f（0）= c= 02f(x+1)= a (x 1) +b(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b由f（x+1）= f（x）+2x+8 与、 得2a b b 2解得 a 1, b 7.故 f（x）= x

26、2+7x.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式5、直接图像法例 5函数在闭区间 1, 2 上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。 解： f （x）x 1 1（ 1 x 0）x（0 x 2）2例 6、设函数 f（x）满足 f（x）+2 f）= x （x 0），求f（ x ）函数解析式 .1 ），若用 1 去代替已知中 x，便可得到另6、方程组法分析：欲求 f（x，）必须消去已知中的 f（x x个方程，联立方程组求解即可 .1解： f（x）+2 f（ ）= x （x0）x111由 代入得 2f（x）+f（ ）= （x0）xxx2 x解构成的方程组，得 f（x）= （x0）.3x 37

27、、特殊值法例7、设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有 f（xy）= f（x） y（ 2x y+1 ，）求 f（x）函数解析式 .分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（xy）= f（x） y（2xy+1），得到 第 页 共 21 页f （ x）函数解析式，只有令 x = y.解： 令 x = y ，由 f（xy）= f（x） y（ 2x y+1 ） 得 f（0）= f（x） x（2xx+1，）整理得 f（x） = x2+x+1.8、对称性图像法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式 . 例8、 已知是定义

28、在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（x）=2xx2，求 f （x）函数解析 式.解： y=f （ x）是定义在 R 上的奇函数， y=f （x ）的图象关于原点对称 . 当x0 时，f（x）=2xx2 的顶点（ 1，1，）它关于原点对称点（ 1， 1），2 2 x x 2因此当 x0 时， y= （x 1）2 1= x2 +2x.故 f（ x） =x 0，x 2 2 xx0时, f(x) e x2 ex,求当 x0时， f (x)的表达式 .12对 x R, f (x) 满足 f(x) f(x 1),且当 x 1,0 时, f (x) x2 2x求当 x9,10 时 f(x) 的表达式 .例 6 、已知函数 f (x) 对于一切实数