北京市高一数学竞赛试题及答案

1、北京市高一数学竞赛试题及答案2023年全国高中数学联赛江西省预赛试 题一、填空题（每小题10分，共 分）、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个、设数列 满意: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 、设 ，则函数 的最大值是 、 、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 、满意 的一组正整数 、用 表示正整数 的各位数字之和，则 二、解答题（共 题，合计 分）、（20分）、设 ，且满意：

2、 ，求 的值、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；、证明：假如 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得全部顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得全部顶点都变成黑色；、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得全部的顶点都变成一色？证明你的结论解 答、 提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满意条件

3、 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数（注：也可直接列举）、 提示：由条件得，所以，故 ，而 ；于是；由此得.、 提示：设 ，则，直线 方程为，即 ，由于 ，则，即，代人方程得，于是点 在直线 上；同理，若设 ，则 方程为，即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 、 提示：由所以，即，当 ，即 时取得等号、 提示：、 提示：作三棱锥侧面绽开图，易知 ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，即 ， ，所以 ，由 ，则、 提示：由于 是 外形的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得，即. 而 为偶数，则 为奇数，设 ，则，由得， 则

4、 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，成为，即 ，于是 ；若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，成为 ，即 ，它无整解；于是 是唯一解： （另外，也可由 为偶数动身，使为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 外形的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可）、 提示：添加自然数 ，这样并不转变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，这样，全部三位数的首位数字和为.再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的

5、集合也是 ，由此知今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此；其次，易算出， . 所以，、由，即，平方得所以，即，所以、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆所以 ；又留意 是 的内心，则.连 ，在 中，由于切线 ，所以，因此 三点共线，即有 三线共点、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使, 于是当 为奇数时，则中的 一奇一偶假如 为偶数， 为奇数，则将改写成：，令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数总之存在奇数 和偶数 ，使式成立；据，, 现进行这样的操作：选取一个点

6、，自 开头，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点当这样的操作进行 次后，据知，点 的颜色被转变了奇数次（ 次），从而转变了颜色，而其余全部顶点都转变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只转变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使全部黑点都变成白点，从而多边形全部顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使全部白点都变成黑点，从而多边形全部顶点都成为黑色、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形全部顶点都变成一色详细说来，我们将有如下结论：假如给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限

7、次操作，可以将多边形全部顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，假如给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形全部顶点变成全白，而不能变成全黑；为此，采纳赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，转变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而转变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；因此当多边形全部顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开头，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点当这样的操作进行 次后，据知，点 的颜色被转变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余全部 个顶点都转变了奇数次（ 次）状态，即都转变了颜色；再自点 开头，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余全部 个顶点都转变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都转变了颜色，其余全部 个点的颜色不变现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限