2022-2023学年福建省南平市大历中学高三数学文测试题含解析

1、2022-2023学年福建省南平市大历中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项式A. B. C. D. 参考答案：B2. 以下四个命题:若,则；为了调查学号为1、2、3、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样；空间中一直线，两个不同平面，若，则；函数的最小正周期为. 其中真命题的个数是（ ）A0个 B1个 C2个 D3个参考答案：B略3. （3分）用

2、数学归纳法证明等式1+3+5+（2n1）=n2（nN*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A 1+3+5+（2k+1）=k2 B 1+3+5+（2k+1）=（k+1）2C 1+3+5+（2k+1）=（k+2）2 D 1+3+5+（2k+1）=（k+3）2参考答案：考点： 数学归纳法专题： 阅读型分析： 首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+（2k1）=k2当n=k+1时等式左边=1+3+5+（2k1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果解答： 因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+（2k1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+（2k1）

3、+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2故选B点评： 此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目需要同学们对概念理解记忆4. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）(A) 15,20(B) 12,25 (C) 10,30(D) 20,30参考答案：C5. 已知向量 （ ） A-3 B3 C D参考答案：A略6. 直线：与圆M：相切，则的值为 ()A.1或6B.1或7 C.1或7 D.1或 参考答案：B7. 已知1a2，实数x，y满足且的最大值为，则aA. B. C. D.参考

4、答案：D8. 函数y=f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是参考答案：D试题分析：原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内，因此选D.【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为x0，且图象在x0两侧附近连续分布于x轴上下方，则x0为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数y=f (x)的正负，得出原函数y=f(x)的单调区间9. 已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.参考答案：B略10. 若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的（ ） A必要而不充分的条件

5、 B充分而不必要的条件 C充要条件 D即不充分也不必要的条件参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）不等式|x1|+|x+2|5的解集为参考答案：（，32，+）【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由于|x1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和2 的距离之和，而3和 2对应点到1和2 的距离之和正好等于5，由此求得所求不等式的解集解：由于|x1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和2 的距离之和，而3和 2对应点到1和2 的距离之和正好等于5，故不等式|x1|+|x+2|5的解集为 （，32，+），故答案为 （，32

6、，+）【点评】： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题12. )已知，那么 的最小值为 ；参考答案：13. 若函数在上可导，则 .参考答案：【知识点】导数与定积分B13【答案解析】-4 解析：解：由题意可知，【思路点拨】由题意可求出函数的原函数，再利用积分的概念求出结果.14. 过椭圆的左顶点作斜率为的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为。若，则该椭圆的离心率为 。参考答案：答案： 15. 已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_.参考答案：(2,+) 【分析】将问题转变为与的图象且只有一个交点，画出的图象，通过平移直线找到符合题意的情况，从而确定参数范

7、围.【详解】由得：函数有且只有一个零点等价于：与的图象且只有一个交点画出函数的图象如下图：的图象经过点时有个交点，平移，由图可知，直线与轴的交点在点的上方时，两图象只有个交点，在点下方时，两图象有个交点，即本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.16. 椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则的值为_; 参考答案：817. 若实数满足，则的最大值为_参考答案：5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的

8、中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。参考答案：解析：（）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为 （）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故 由点P在椭圆C上得 代入式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.19. 在四棱锥PABCD中，ADBC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC面ABCD（）证明：ED面PAB；（）若PC=2，PA=，求二面角A

9、PCD的余弦值参考答案：【分析】（）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形得到DEAF，再由线面平行的判定可得ED面PAB；（）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得ABAC，找出二面角APCD的平面角求解三角形可得二面角APCD的余弦值法二、由题意证得ABAC又面PAC平面ABCD，可得AB面PAC以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系求出P的坐标，再求出平面PDC的一个法向量，由图可得为面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APCD的余弦值【解答】（）证明：取PB的中点F，

10、连接AF，EFEF是PBC的中位线，EFBC，且EF=又AD=BC，且AD=，ADEF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形DEAF，又DE?面ABP，AF?面ABP，ED面PAB；（）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则ADMC且AD=MC，四边形ADCM是平行四边形，AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上ABAC，可得过D作DGAC于G，平面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCD=AC，DG平面PAC，则DGPC过G作GHPC于H，则PC面GHD，连接DH，则PCDH，GHD是二面角APCD的平面角在ADC中，连接AE，在RtGDH中，即二面角APCD的余弦值法二、取BC的

11、中点M，连接AM，则ADMC，且AD=MC四边形ADCM是平行四边形，AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，ABAC面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCD=AC，AB面PAC如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系可得，设P（x，0，z），（z0），依题意有，解得则，设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得为面PAC的一个法向量，且，设二面角APCD的大小为，则有，即二面角APCD的余弦值20. 某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有

12、两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。（）求员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望； （）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？参考答案：（）甲抽奖一次，基本事件总数为=120,奖金的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(=240)=三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;8,9,10共8种，所以P(=60)= 仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；8，9各有6种。得奖金30的概率为P（=30）=奖金

13、为0的概率为P（=0）= 的分布列为：03060240P 6分（） 由（）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P= 10分四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数B（4，）故.12分略21. （本小题满分12分）已知三点的坐标分别是，其中，且.（）求角的值；（）当 时，求函数 的最大值和最小值 参考答案：解：() =(cos-3,sin)， =(cos，sin-3) 2分 化简得：sin=cos 5分 = 7分（）当0 x时，10分 12分略22. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c（）求B；（）若a=2c，SABC=2，求b参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由正弦定理化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（）根据条件和三角形的面积公式求出c、a，再由余弦定理求出b【解答】解：（）由题意得， asinB+bcosA=c，由正弦定理得sinAsinB+sinBc