2021-2022学年湖北省普通高中联考协作体高三第一次调研测试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中

2、有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（

3、）ABCD2下列不等式正确的是（ ）ABCD3框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框中应填入（ ）A，BC，D，4给出个数 ，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的处和执行框中的处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A；B；C；D；5在中所对的边分别是，若，则（ ）A37B13CD6我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研

4、究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）ABCD7已知函数，给出下列四个结论：函数的值域是；函数为奇函数；函数在区间单调递减；若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）ABCD8已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）ABCD9已知平面向量，满足：，则的最小值为( )A5B6C7D810已知复数z满足iz2+i，则z的共轭复数是（）A12iB1+2iC12iD1+2i11复数的实部与

5、虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )A3BCD12已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为_14在中，角，的对边长分别为，满足，则的面积为_15在ABC中，BAC，AD为BAC的角平分线，且，若AB2，则BC_.16从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）交通部门调查在高速公路上的

6、平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.63

7、57.87910.82818（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，其中栈道，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.19（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，且正实数满足.证明：.20（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有两个实根，且，求证：.21（12分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另

8、一点为等腰直角三角形，且.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.22（10分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为其中，为参数，为常数（1）写出与的直角坐标方程；（2）在什么范围内取值时，与有交点参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种

9、：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为.故选：A.【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.2D【解析】根据，利用排除法，即可求解【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以故选D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3A【解析】依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思

10、想，属于基础题.4A【解析】要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句，根据累加最的变化规律可以确定语句.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句为，故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.5D【解析】直接根据余弦定理求解即可【详解】解：，故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题6B【解析】先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，

11、利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.7C【解析】化的解析式为可判断，求出的解析式可判断，由得，结合正弦函数得图象即可判断，由得可判断.【详解】由题意，所以，故正确；为偶函数，故错误；当时，单调递减，故正确；若对任意，都有成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为，故正确.故

12、选：C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.8C【解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得. 当a1时，所以函数f（x）在单调递减， 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 故a1，与a1矛盾，故a1矛盾. 当1ae时，函数f(x)在0,lna单调递增，在(lna,1单调递减. 所以 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 即 令， 所以 所以函数g(a)在（1，e）上单调递减， 所以

13、， 所以当1ae时，满足题意. 当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增, 因为对区间内的任意实数，都有， 所以, 故1+1， 所以 故综上所述，a.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.9B【解析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设，且，

14、由于，所以.所以，即.当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，解得.所以当且仅当时有最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.10D【解析】两边同乘-i，化简即可得出答案【详解】iz2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为11B【解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.12C【解析】求出导函数，由有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理

15、可及余弦函数性质可得结论【详解】，.若存在极值，则，又.又故选：C【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理掌握极值存在的条件是解题关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，根据正四棱锥的侧面积求出的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.【详解】如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.14【解析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理

16、可求，代入，计算可得所求【详解】解：把看成关于的二次方程，则，即，即为，化为，而，则，由于，可得，可得，即，代入方程可得，由余弦定理可得，解得：（负的舍去），故答案为【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题15【解析】由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定理，即可求解.【详解】,，.故答案为:.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.160.35【解析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是

17、一等品的对立事件是抽到一等品，抽到不是一等品的概率是，故答案为：【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析【解析】（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】（1）平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员301040女性驾驶员51520合计352560因为，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）服从，即，.所以的

18、分布列如下0123的期望【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.18，；当时，栈道总长度最短.【解析】连，由切线长定理知：，即，则，进而确定的取值范围；根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.【详解】解：连，由切线长定理知：，又，故，则劣弧的长为，因此，优弧的长为，又，故，即，所以，则；，其中，-0+单调递减极小值单调递增故时，所以当时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.19（1）或；（2）见解析【解析】（1）根据，利用零点分段法解不等式，或作出函数的图像，利用函数的图像解不等式；（2）由（1）作出的函数图像求出的

19、最小值为，可知，代入中，然后给等式两边同乘以，再将写成后，化简变形，再用均值不等式可证明.【详解】（1）解法一：1时，即，解得；2时，即，解得；3时，即，解得.综上可得，不等式的解集为或.解法二：由作出图象如下：由图象可得不等式的解集为或.（2）由所以在上单调递减，在上单调递增，所以，正实数满足，则，即，（当且仅当即时取等号）故，得证.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.20（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，在上单调递减，求导得，分类讨论的单调性，结合题意，得出的解析式；（2）由为方程的两个实根，得出，两式相减，分别算出和，利用换元法令和构造函数，根据导数研究单调性，求出，即可