2021-2022学年黑龙江省鸡西市第十九高三最后一模数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1如图，在三棱锥中，平面，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（ ）ABCD2已知全集，集合，则=（ ）ABCD3已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）ABC3D44设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ）ABCD5已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）ABCD6由曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为()A1BCD7设

3、全集U=R，集合，则（ ）Ax|-1 x4Bx|-4xb0的左焦点F，交椭圆于A,B两点，交y轴于C点，若FC=2CA，则该椭圆的离心率是（）A3-1B3-12C22-2D2-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和_.14如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点求证：15在的二项展开式中，x的系数为_（用数值作答）16在边长为2的正三角形中，则的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录

4、，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望18（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称

5、为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值： 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）如图，三棱锥中，（1）证明：面面；（2）求二面角的余弦值.20（12分）设函数.（1）求的值；（2）若，

6、求函数的单调递减区间.21（12分）如图1，在等腰中，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值22（10分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率【详

7、解】由已知平面，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为故选：A【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数2D【解析】先计算集合，再计算，最后计算【详解】解：，故选：【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题3A【解析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得，解可得，由离心率公式计算可得答案【详解】根据题意，抛物线的焦点为，则双曲线的焦点也为，即，则有，解可得，双曲线的离心率.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键

8、是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平4D【解析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,，即，数列是以为公比的等比数列，而，所以，当时，故选：D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识

9、，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.5A【解析】根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.【详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，此为球的半径，.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题6B【解析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，结合定积分的几何意义可知曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，

10、属于中等题.7C【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得或.因为或，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.8B【解析】方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B9D【解析】写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.

11、10B【解析】根据题意计算，解不等式得到答案.【详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，.是以1为首项，2为公比的等比数列，.，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.11D【解析】如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为

12、，故.因为，故平面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.12A【解析】由直线x-3y+3=0过椭圆的左焦点F，得到左焦点为F(-3,0)，且a2-b2=3，再由FC=2CA，求得A32,32，代入椭圆的方程，求得a2=33+62，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线x-3y+

13、3=0经过椭圆的左焦点F，令y=0，解得x=3，所以c=3，即椭圆的左焦点为F(-3,0)，且a2-b2=3 直线交y轴于C(0,1)，所以，OF=3,OC=1,FC=2，因为FC=2CA，所以FA=3，所以A32,32，又由点A在椭圆上，得3a2+9b2=4 由，可得4a2-24a2+9=0，解得a2=33+62，所以e2=c2a2=633+6=4-23=3-12，所以椭圆的离心率为e=3-1.故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，

14、然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案.【详解】因为为偶函数，在上有唯一零点，所以，为首项为2，公比为2的等比数列.所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.14证明见解析【解析】试题分析：四点共圆，所以，又，所以，即，得证试题解析：A连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以又，所以，即，15-40【解析】由题意，可先由

15、公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.16【解析】建立直角坐标系，依题意可求得，而，故可得，且，由此构造函数，利用二次函数的性质即可求得取值范围【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，根据，即，则，即，则，所以，且，故，设，易知二次函数的对称轴为，故函数在，上的最大值为，最小值为，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数

16、与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）43，47；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数；（2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为，故，写出分布列即可得解.【详解】（1）中位数为，众数为（2）被调查的名工人中优秀员工的数量，任取一名优秀员工的概率为，故，的分布列如下： 故【点睛】此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事

17、半功倍的作用.18（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析， .【解析】（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方

18、向”的概率为.依题意知，所以（），所以的分布列为0123P所以期望，方差.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.19（1）证明见解析（2）【解析】（1）取中点，连结，证明平面得到答案.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，为平面的一个法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）取中点，连结，为直角，平面，平面，面面.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，可取为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为.则，其中，不妨取，则.为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20（1）（2）的递减区间为和【解析】（1）化简函数，代入，计算即可；（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.【详解】（1），从而.（2）令.解得.即函数的所有减区间为，考虑到，取，可得，故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.21（1）证明见解析（2）【解析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连接.，为的中点.又为的中点