高一数学函数值域方法汇总

1、高一数学函数值域方法汇总第1页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四上课第2页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。第3页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例1 求函数如图，y-3/4,3/2.分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。ox

2、y-113/2-3/41/2第4页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例2 求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2.当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.第5页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。

3、原函数的值域为y3/10,12）第6页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例3 求函数 的反函数的定义域.分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解。解：变形可得反函数的定义域为(-1,1)。第7页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0 x3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0 x0

4、,故y=log1/2u的定义域为（0，2上的减函数，即原函数值域的为y -1,+)。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。解法1：不难看出y0,且可得定义域为3x5,原函数变形为：例7 求下列函数的值域：（1）y=x-3+5-x; (2)y=x-3-5-x.第14页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四由x3,5知，-x2+8x-15 0,1,即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时，ymin=2,故原函数的值域为2，2。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2(x-3)(5-x),再平

5、方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-20,y看成常数,方程有实根的条件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) 0,注意到y0得y2-40即0y4而y2-20即有2y2, y2,2.第15页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四(2)解：由y=x-3-5-x得定义域为x3,5.y=x-3在3，5上是单调增函数，y=-5-x在3,5上也是单调增函数。 y=x-3-5-x在3，5上是增函数，当x=3时，ymin=-2,当x=5时，ymax=2,故原函数的值域为y-2, 2.第16页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例8 已知

6、圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求 的最大值与最小值。分析： 即求圆上的点P(x,y)到原点(0,0)的斜率的最值，可利用数形结合法求解。xyoPC解：圆C方程为 (x-2)2+y2=3 ， 的最值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。设y=kx,如图，显然，当直线y=kx与圆C相切时k有最值，容易得出其最大与最小值分别为3，-3. 第17页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例9 已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划

7、。 解法1：条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2把此圆化为参数方程(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1第18页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四解法2（线性规划）x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值。(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1xyoC(2,-3)y=-x第19页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例10 求函数 的值域

8、。分析：利用三角函数的有界性较数形结合为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。解：将原函数化为sinx+ycosx=2y第20页，共22页，2022年，5月20日，6点33分，星期四例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)