正定二次型与正定矩阵课件

1、正定二次型与正定矩阵课件正定二次型与正定矩阵课件， ， 正定二次型;相应的实对称矩阵A称为正定矩阵. 应该指出,正定矩阵只对实对称矩阵定义,不是实对称的矩阵不谈论是否正定. 根据上述定义，正定二次型f(x1,xn)在看作n元实函数时在非零点的函数值总大于零.易见,秩为n且正惯性指数也为n的n元规范形是正定的.因为不论x1,x2,xn取什么实数,只要它们不全为零,就一定大于零;反之亦， ， 正定二次型;相应的实对称矩阵A称为正定矩阵. ， ， 然.但如果二次型不是规范形,就不是很容易观察出来了.此时我们可以用非退化线性替换将其化为规范形.然而这样做的时候,正定性是否保持不变? 由惯性定理可知,实

2、二次型经过非退化线性替换其正惯性指数不变,因而实二次型经过非退化线性替换保持正定性不变. 确切地说,设二次型f(x1,x2,xn)=XTAX经非退化线性替换X=CY化为g(y1,y2,yn)= YTBY,此处B=CTAC,若f(x1,xn)是正定的,则g(y1,yn)也是正定的;反之亦然.， ， 然.但如果二次型不是规范形,就不是很容易观察出， ， 事实上,设f(x1,xn)是正定的,则g(y1,yn)也是正定的.任给y1,y2,yn一组不完全为零的实数值 将它代入X = CY得到x1,x2,xn的一组对应值它们的关系为， ， 事实上,设f(x1,xn)是正定的,则g(， ， 若b1,b2,b

3、n全为零,由于C是可逆阵,应有 ， ， 若b1,b2,bn全为零,由于C是， ， 此与c1,c2,cn不全为零矛盾,故b1,b2,bn必不全为零.由f (x1,xn)的正定性,有从而， ， 此与c1,c2,cn不全为零矛盾,故b1,故g(y1,y2,yn)是正定二次型.故g(y1,y2,yn)是正定二次型. 由于g(y1,y2,yn)经过非退化线性替换Y=C-1X可化为 f (x1,x2,xn),故g正定时 f 也必正定. 关于n元实二次型 f=XTAX为正定二次型,有如下的等价条件: 性质1 n元实二次型f(x1,xn)正定的充分必要条件是其正惯性指数等于n. 性质2 n阶实对称矩阵A为正定

4、矩阵的充分必要条件是它合同于单位阵E. 由于g(y1,y2,yn)经过非退化线性替换Y= 性质3 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆阵C使A=CTC. 证 由性质2,A正定的充分必要条件是A合同于单位阵E.即存在可逆阵C,使A=CTEC=CTC. 证毕. 性质4 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于零,从而正定矩阵的行列式大于零. 证 设A为实对称阵,A必正交合同于对角形矩阵 性质3 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在， ， 其中i(i=1,2,n)是A的全部特征值.A正定的充要条件是B正定.B对应的二次型显见它正定的充要条件是i0,(i=1,2,n).,

5、 由于B=QTAQ=Q-1AQ,故A与B还是相似的.相似的矩阵有相同的行列式,故当i0时(i=1, 2, n),有， ， 其中i(i=1,2,n)是A的全部特征值， ， 即正定矩阵的行列式大于零. 证毕., 注 行列式大于零的实对称矩阵并不一定是正定的. 如矩阵的行列式都是大于零的,但A的二次型为若取x1=1,x2=0则f(x1,x2)=-10，故A非正定.， ， 即正定矩阵的行列式大于零. 证毕., ， ， B的二次型为取x1=1,x2=1,x3=1,则g(x1,x2,x3)=-10,故B不是正定的. 下面介绍判定实对称矩阵A为正定的另一个充分必要条件,为此,先给出A的顺序主子式的概念. 定

6、义6.4.2 设A为n阶矩阵， ， B的二次型为取x1=1,x2=1,x3=1,则， ， 则A的左上角kk阶子矩阵的行列式称为A的k阶顺序主子式.， ， 则A的左上角kk阶子矩阵的行列式称为A的k阶， ， 例6.4.1 设则A的全部顺序主子式有四个:， ， 例6.4.1 设则A的全部顺序主子式此处J1,J2,J3,J4,分别是A的一阶、二阶、三阶和四阶顺序主子式. 需要指出,尽管本例中的A是对称阵,但顺序主子式的定义是对任意n阶方阵的. 性质5 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式全大于零.此处J1,J2,J3,J4,分别是A的一阶、二阶、三阶和四阶 证 必要性. 设A为正

7、定矩阵,则二次型为正定二次型.对于每个k,1kn,令则二次型fk的矩阵的行列式就是A的k阶顺序主子式Jk.只要证明了fk是k元正定二次型,则由性质4即知Jk大于零. 证 必要性. 设A为正定矩阵,则二次型为正定二次型， ， 任给(x1,x2,xn)一组不全为零的实数(c1, c2, ,ck),有由于(c1,c2,ck)不全为零,故(c1,c2,ck, 0,0)也不全为零,由f的正定性，有即得， ， 任给(x1,x2,xn)一组不全为零的实数， ， 充分性.我们对A的阶数n作数学归纳法来证明.这就证明了 fk 是正定的,从而Jk0, k=1, 2, n. 当n=1时,若a110,则显然f(x1)

8、是正定的., 现设对n-1阶实对称矩阵结论成立,考虑n阶实对称矩阵， ， 充分性.我们对A的阶数n作数学归纳法来记则A可写成分块形式,记则A可写成分块形式, 由假设,A的顺序主子式全大于零,从而A1的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定知A1是正定矩阵,存在n-1阶可逆矩阵G使, 此处En-1是n-1阶单位阵.作,按分块矩阵乘法可得： 由假设,A的顺序主子式全大于零,从而A1的顺序主子式再作,得到再作,得到记 ,得 记 ,得 ， 对其两边取行列式得由假设条件A的顺序主子式全大于零,则|A|0,从而必有a0. 这样在A的顺序主子式全大于零的假定下,证明了A合同于对角阵B,而A与B有相同的正定性或非

9、正定性.显见B对应的二次型是正定的(正惯性指数为n),故A也是正定的. 由归纳法原理,性质5的充分性得证. 证毕.， 对其两边取行列式得由假设条件A的顺序主子式全大于零,则， 性质5给出了一个实用的直接判断二次型正定性或实对称阵正定性的方法.在阶数n不是很大的情况下,这一方法是比较简便的. 例6.4.2 求使实二次型为正定二次型的的取值范围. 解 f 对应的实对称矩阵为， 性质5给出了一个实用的直接判断二次型正定性或实由性质5,要使 f 正定,必须且只须, 由性质5,要使 f 正定,必须且只须, 解不等式组得其公共解为4 . 所以,要使f为正定二次型,必须且只须4. 与正定性有关的概念还有二次

10、型的半正定、负定、半负定及不定性.解不等式组得其公共解为4 . 所以,要使f为正定二 定义6.4.3 设f(x1,x2,xn)=XTAX为n元实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数(c1,c2,cn)都有 f(c1,c2,cn)0,称 f 为半正定二次型,对应的实对称矩阵A称为半正定矩阵; f(c1,c2,cn)0,称 f 为负定二次型,对应的实对称矩阵A称为负定矩阵； f(c1,c2,cn)0,称 f 为半负定二次型,对应的实对称矩阵A称为半负定矩阵. 若 f 非半正定,也非半负定,称 f 为不定的二次型,相应的矩阵A称为不定矩阵. 定义6.4.3 设f(x1,x2,xn)=XT 易见半正

11、定矩阵包括了正定矩阵在内,半负定矩阵包括了负定矩阵在内.此外,A为负定矩阵的充分必要条件是A为正定矩阵,A为半负定矩阵的充分必要条件是A为半正定矩阵.而A为不定矩阵则意味着既存在某些X=(x1,xn)的值使f =XTAX0,又存在另一些X的值使f =XTAX0 . 由性质5可得出负定矩阵(负定二次型)的判断条件:实对称矩阵A为负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式小于零;所有偶数阶的顺序主子式大于零. 易见半正定矩阵包括了正定矩阵在内,半负定矩阵包括了负 例6.4.3求实数使例6.4.2中的二次型为负定二次型. 解 f 对应的实对称矩阵A的各阶顺序主子式已在例6.4.2中求出:为使A负定,必须且只须 例6.4.3求实数使例6.4.2中的二次型为负定前两个不等式的公共解为-2,第三个不等式的解为及前两个不等式的公共解为-2,第三个不等式的解为及 设f (x1,xn)=XTAX是n元实二次型,A是相应的实对称矩阵,对于半正定二次型及半正定矩阵的判定,有：这样,当时,f 为负定二次型. (1) f 或A的正惯性指数p与秩r相等(未必等于n); (2) 有实可逆矩阵C使从而不等式组(6.4.1)的公共解为 . 设f (x1,xn)=XTAX是n元实二次型,A为对角形,且di0,i=1, 2, n ； (3) 有实矩阵C (不一定可逆