桥式吊车的控制器设计与稳定性控制与PID算法

1、桥式吊车的稳定性控制与PID算法完成人：宋慧新2017年I*平面吊车系统I*平面吊车系统Question VII/ 8- g 血 +。cos 9 0设计线性控制器，能满足Lyapunov渐进稳定。解题：从实际出发，尽可能考虑实用性，利用现有网络资源，推导出合适的 控制算法。台车m 1 /轨道LA四球）、负载:| mg图1桥式吊车示意图（一）实际应用分析对于桥式吊车系统而言，其主要控制目标为对负载的快速、准确“点对点”搬运。然而，由于吊车的欠驱动特性Underactuativity，欠驱动特性是指系统 的独立控制变量个数小于系统自由度个数的一类非线性系统，在节约能量、 降低造价、减轻重量、增强系

2、统灵活度等方面都较完全驱动系统优越，简单 的说就是输入比要控制的量少的系统），加之系统易受到各种外界干扰的影响, 在搬运过程中负载极易发生大幅摆动,严重影响了负载的定位精度，在降低系 统工作效率的同时，带来了诸多的不安全因素.在一些特殊场合，对防摆控制 有着非常高的要求，如在钢包吊运的过程中，大幅摆动会引起高温钢水的侧漏, 造成安全事故。因此，如何保证台车的快速、准确定位，并充分抑制货物的摆 动，是吊车控制所面临的首要问题。从控制的角度出发,对于二维桥式吊车系统,其待控变量为台车位移与 负载摆角，控制量为作用在台车上的驱动力,对于负载摆动，只能通过合理地 控制台车运动来加以抑制与消除，吊车的控

3、制方式可分为开环控制和闭环控 制两类.开环控制的代表性方法包括输入整形、离线轨迹规划笔 这些方法的 核心思想是将台车的加速度作为输入信号，通过分析台车运动与负载摆动之 间的耦合关系，来合理规划台车的运动，从而实现定位、防摆双重目标，在 室内无风力等干扰的情况下，能取得良好的控制效果。然而，该类方法的控 制精度依赖于吊车的自然频率（与吊绳长度相关），且事先规划，无法应对外界 随机干扰，故鲁棒性差。为此，许多学者又提出了一系列闭环控制方法，包 括最优控制、基于切换的控制策略、有限时间控制、部分状态反馈控制、基 于能量的控制方法、输出反馈控制、滑模控制及模糊控制等，由于它们充分 利用即时的信号反馈，

4、能提高系统的鲁棒性。（二）系统数学建模分析通过动力学原理对吊车的运动过程进行分析，取吊车的质点为原点，对 该系统建立坐标系，如图1所示。M和m分别为吊车、重物的质量，l为缆绳 的长度，x表示吊车水平方向上的位移，。表示重物的偏角，F为吊车的电机 驱动力，f为吊车在水平轨道上运行时所受的摩擦力。设绳的张力为T，取x、。为广义坐标，应用牛顿第二定俸，对吊车建立运动微分方程有:M F - f + T sin 9(1) 根据达朗伯原理，对重物m进行受力分析：它受重力mg,绳子张力T,法向 惯性力F = ml收，切向惯性力F= ml做 水平惯性力F1 = m箴如图所示。在水 平方向上建立平衡方程，有：T

5、 sin9 + F + F cos9 一 Fn sin9 = 0即：Tsin9= ml92sin9 -ml9Cos9 -m敝（2）将（2）式代入（1）式，得：（M + m）X+ ml9Cos9 -ml9%sin9 = F 一 f（3）在重物运动的切向方向上建立平衡方程，有mXcos9 + mg sin9 + Ft = 0g（4）将Ft= ml（4）XCos 9 + g sin 9 +19= 0由式（3）、（4）可知系统的微分方程为:(M + m)X+ ml9feos 9 - ml9%sin 9 = F - f/Scos9 + g sin9 +19= 0(5)(M + m - m cos2 9

6、)cos9密(pX- F - (M + m - m cos2 9 )cos9密(pX- F - ml92 sin9 )cos9 - (M + m)g sin 9(6)（M + m - m cos2 9 ）l通常吊车在安全操作条件下，9在9= 0附近只有很小的变化，不会发生较大的摆动，因此可以假定9% = 0，sin9.9，cos9.1，近似认为摩擦力f与小车速度 成成线性关系，摩擦系数为p，则f = p&故系统微分方程可简化为.(M + m)到 ml- pj& F fM 邮 mgB = F(7)到 g0+1建 0A Ml= (M + m) glQ- F -(7)系统稳定性分析为分析系统的稳定性

7、，建立系统的状态方程，令x1=x，七=& x3 =0 ,x4 =0将系统的微分方程组（6）改写成状态空间的形式：半=X2&一上 x+ mg 0+_L F 2 M M M（8）& = x 3 4&一上 x+ （M + m） g 0- F4 m M Ml设状态量矩阵X = x,烟,眄，控制量u = F, Y = x,0 t0100001000P mg0A =MM00010(M + m) g 0MlMl1000 1因此方程组，可以写为f 池=AX + BuY = CX李亚普诺夫第一稳定性定理：若线性化后系统特征方程的所有根均为负 实数、或实部为负的复数，则原系统的运动不但是稳定的，而且是渐进稳定 的

8、。线性化过程中被忽略的高于一阶的项也不会使运动变成不稳定。李亚普诺夫第二定理：若线性化后系统特征方程的诸根中，只要有一个 为正实数或实部为正的实数，则原系统的运动就是不稳定的。被忽略的高于 一阶的项也不会使运动变成稳定运动。若线性化后系统特征方程诸根中，有一些是实部为零的，而其余均具有 负实部，则实际系统运动的稳定与否与被忽略掉的高阶项有关。这种情况下 不可能按照线性化后的方程来判断原系统的运动稳定性。若要研究原系统的 运动稳定性必须分析原始的非线性数学模型。所建模系统一个典型的单输入多输出(SIMO)定常连续系统，即单输入 双输出，输入量为驱动力F，输出量为x , e , A，B，C矩阵均为

9、常数。基于实 际样机比例缩小系统参数值，取M = 1kg，m = 0.8kg，u =0.2，l = 0.3m，g取9.8m / s2,将参数值代入系统状态矩阵中，得0100-0 -0 - 0.2 7.85 011 0 0 0A =B =C =000100 0 100 0.67 - 58.8 0-3.33在matlab中应用eig(A) (eig()是用于求矩阵特征值和特征向量的函数)命令求 出矩阵A的特征值为：0.0000 + 0.0000i-0.1106 + 0.0000i-0.0447 + 7.6673i-0.0447 - 7.6673i可见存在一个特征值为零，而其余均具有负实部，简化后的

10、系统存在一 个振荡环节，这是与实际相符的。因为在模型简化过程中忽略了空气阻力和 高阶项。实际由于空气阻力的存在，由能量守恒定律知，系统总会达到新的 稳定状态。系统的能控性和能观测性分析下面进一步分析系统的可控性。系统的能控性和能观测性可以阐明系统 的固有性质，揭示系统的运行规律，从而成为系统分析和设计的理论基础。 能控性表达控制作用对状态变量的支配能力，能观测性表达系统输出量对状态变量的反映程度。系统的可控性矩阵为T =B AB A 2 B A3 B 在matlab中输入Tc=B A*B A八2*B A八3*B可计算出系统的可控性矩阵: Tc=B A*B A八2*B A八3*BTc =01.0

11、000-0.2000-26.10051.0000-0.2000-26.100510.47960-3.33000.6700195.6700-3.33000.6700195.6700-56.8833计算系统可控性矩阵Tc的秩r1=rank(Tc)(rank()是求矩阵轶的函数)，r1=4O系统的可观性矩阵为T = C CA CA 2 CA 3t在matlab中输入To=C; C*A; C*A八2; C*A八3,可计算出系统的可观性矩阵:To =1.0000000001.0000001.0000000001.00000-0.20007.8500000.6700-58.8000000.0400-1.5

12、7007.85000-0.13405.2595-58.8000计算系统可控性矩阵To的秩r2=rank（To）, r2 = 4。由于系统的可观性矩阵和可控制矩阵都是满秩的，所以系统是完全能观 能控的。即在有限的时间内，控制作用能使系统从初始状态转移到要求的状 态；同时在有限的时间内，通过对系统输出的测量来估计出系统的内部状态。（五）系统Matlab建模与特性分析建模仿真根据系统的运动方程，在matlab下的simulink中进行建模仿真。为了能够在simulink环境下进行仿真计算，需要对前述系统运动方程组 进行整理。在整理方程组过程中必须使方程的最高次微分项只能出现在方程 的一边，并且系数为

13、1，而且每个变量的最高次微分项在方程组中只能出现一 次。由式微分方程组（5）可将系统的数学模型整理为:F - pS+ ml02 sin 0 + mg sin0 cos2 0 AX(6)(M + m - m cos2 0 )cos 0(6)0_ (|UjS F -ml0%sin0)cos0 - (M + m)g sin0利用Matlab 2016b软件建立利用Matlab 2016b软件建立simulink模型如下。图2吊车系统的数学模型在simulink建模过程中用到Fcn模块，x、_&、0、做F、m、l、M、 p 分别作为输入 u(1),u(2),u(3),u(4),u(5),u(6),u(

14、7),u(8),u(9)。根据系统的数学模型 可知Fcn、Fcnl模块中参数分别为：Fcn：u(1),u(2),u(3),u(4),u(5),u(6),u(7),u(8),u(9)。(u(5)-u(9)*u(2)+u(6)*u(7)*u(4)*u(4)*sin(u(3)+9.8*u(6)*sin(u(3)*cos(u(3)*cos(u( 3)/(u (8)+u(6)-u(6)*cos(u(3)*cos(u(3)*cos(u(3)Fcn1：(u(9)*u(2)-u(5)-u(6)*u(7)*u(4)*u(4)*sin(u(3)*cos(u(3)-(u(8)+u(6)*9.8*sin(u(3) )

15、/(u(8)+u(6)-u(6)*cos(u(3)*cos(u(3)*u(7)Fcn输出量为般经过一个积分器变为&再经过一个积分器变为x，所 以输出1表示吊车位置，输出3表示吊车速度。Fcn1输出量为o&经过一个 积分器变为0&再经过一个积分器变为0，所以输出2表示重物的摆角，输出 4表示重物摆动的角速度。图3吊车系统的数学模型吊车系统封装后的模型如图3,参数如图所示。输入阶跃信号1N的力（如图4）之后，得到系统的响应如图5。时间t 5时间t 5H .-4恒IntegralV=Error+pp-IntegralV;计算误差之和，即为积分值if (pp-IntegralVpp-PositiveP

16、IDlimit) /如果积分大于上限 pp-IntegralV=pp-PositivePIDlimit; /则设积分等于上限if (pp-IntegralVNegativePIDlimit) /如果积分小于下限pp-IntegralV=pp-NegativePIDlimit; 则设积分等于下限dError=Error-pp-InputErrorV;计算两次相邻误差的差值pp-InputErrorV=Error;将当前误差值存入输入误差值便于下一次计算/计算PID算法输出的控制量ControlValue=pp-Pgain*Error+pp-Igain*pp-IntegralV+pp-Dgain*dError;if (ControlValuepp-MaxPIDControlValue) 如果计算的控制量大于最大值ControlValue=ppMaxPIDControlValue;/则 认为它等于最大值if (ControlValueMinPIDControlValue) 如果计算的控制量小