2022-2023学年安徽省合肥市善厚中学高三数学理期末试题含解析

1、2022-2023学年安徽省合肥市善厚中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc若sin B?sin C=sin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得由sin B?sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c【解答】解：在ABC中，b2+c2

2、=a2+bc，cosA=，A（0，），sin B?sin C=sin2A，bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，（bc）2=0，解得b=cABC的形状是等边三角形故选：C【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2. 右图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84,4.84 B. 84,1.6C. 85,1.6 D. 85,4参考答案：C略3. 算筹是中国古代用于计算和运算的若干小棒，汉代（约）算筹数值如下表：用算筹表示数时，从右至左依

3、次先纵后横交错排列，若出现斜棒，则表示负数，如“”表示36，“”表示723，函数f（x）=3xlnxx3+83的极大值是（）ABCD参考答案：C【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】f（x）=3（lnx+1）3x2.令f（x）=0，方程f（x）=0的根，就是y=lnx与y=x21的交点，如图所示，方程f（x）=0的根为x1，x2且x2=1是极大值点，求出极值即可【解答】解：函数f（x）=3xlnxx3+83，f（x）=3（lnx+1）3x2令f（x）=0，方程f（x）=0的根，就是y=lnx与y=x21的交点，如图所示，方程f（x）=0的根为x1，x2且x2=1是极大值点，函数f（x）=

4、3xlnxx3+83的极大值是f（1）=82，故选：C【点评】本题考查了数学文化、利用导数求极值，解题关键是要找到极值点，属于中档题4. 函数的一个单调增区间是( )ABCD参考答案：A【考点】复合三角函数的单调性 【专题】计算题；压轴题；转化思想；换元法【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误【解答】解函数=cos2xcosx1，原函数看作g（t）=t2t1，t=cosx，对于g（t）=t2t1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选A【点评】本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问

5、题的能力，是中档题5. （6分）“a2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：由方程组得y=，得到a2且a1，从而求出a的范围解答：解：由有唯一解得：y=，a2且a1，a2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件，考查了二元一次方程组的解法，是一道基础题6. 已知双曲线（o，o)的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心率等于 （ ） A B 参考答案：C7. 储油30 m3

6、的油桶，每分钟流出 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为()A0，) B0，C(，40 D0,40参考答案：D8. 下列函数中既是偶函数又在（0，+）上是增函数的是（ ）A. B. C. D.参考答案：B函数为奇函数，排除A.当时，函数和为减函数，排除C,D,选B.9. 如图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A.203 B.243 C.204 D.244参考答案：A略10. “”是“曲线关于y轴对称”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每

7、小题4分,共28分11. 已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=参考答案：6【考点】二项式系数的性质【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6故答案：612. 设变量、满足约束条件 则目标函数的最大值为_参考答案：13. 在ABC中，则_参考答案：3【分析】通过余弦定理求出，然后利用向量的数量积求解即可【详解】解：在中，可得，则.故答案为：3【点睛】本题考查三

8、角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力14. 双曲线的渐近线与准线的夹角的正切值等于参考答案：略15. 菲特台风重创宁波，志愿者纷纷前往灾区救援现从四男三女共7名志愿者中任选2名（每名志愿者被选中的机会相等），则2名都是女志愿者的概率为 参考答案：略16. 等比数列中，前项和为，满足，则 参考答案：由可得，所以所以，故答案为17. （4分）设x0，则函数的最小值是_参考答案：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为,且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足,求数列的通项公式；（3） 令,

9、数列的前项和为.参考答案：（1）（2） （3） 令,则= 1 * GB3 -得： 19. 已知抛物线的焦点在直线上，且抛物线截直线所得的弦的长为（）求抛物线的方程和的值（）以弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为，求点坐标参考答案：见解析（）易知与轴的交点就是抛物线的焦点，令，可得，抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为联立方程组，可得，设交点为，；即：，解得（），到直线的距离为，直线的方程为，设坐标为，则有，解得或，坐标为或20. 已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x轴的动直线与椭圆C相交于A

10、，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）由题意知，解得，则椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线,联立，得，.假设轴上存在定点，使得为定值，.要使为定值，则的值与无关，解得，此时为定值，定点为.当直线的斜率不存在时，也满足条件.21. 如图，在四棱锥中，/，平面平面（）求证：平面平面；（）若直线与平面所成的角的正弦值为 ，求二面角的平面角的余弦值参考答案：法一（）取中点，连接，则，四边形是平行四边形，/直角和直角中，直角直角，易知 2分平面平面，平面平面 平面， 4分平面. 5分平面平面. 6分（）设交于，

11、连接，则是直线与平面所成的角.设由，知， 9分作于，由，知平面，是二面角的平面角. 10分，而，即二面角的平面角的余弦值为. 12分法二：（）平面平面，平面平面，平面又，故可如图建立空间直角坐标系 2分由已知，（），平面. 4分平面平面 6分（）由（），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，即 8分设平面的一个法向量为，由，令，则 10分， 11分显然二面角的平面角是锐角，二面角的平面角的余弦 12分略22. （本小题满分14分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.（）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义；（）设f(x)= x+10,g(x)=,甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？参考答案：（）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10万元宣