初一数学秋季讲义 第10讲 直线、射线和线段

1、知识互联网 知识互联网题型一：多种情况求线段长度问题题型一：多种情况求线段长度问题思路导航思路导航平面几何是训练人们思维能力的最好方法之一，早在公元前四世纪，古希腊哲学家柏拉图曾在他设立的哲学科学院的大门上写着：“不懂几何的人不准入内”；二十世纪最伟大的科学家爱因斯坦说：如果几何不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学家”在平面图形中我们接触最多的基本元素就是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，他们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方也就是点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界线在线中，最简单常见的就是直线、射线、

2、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由直线所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形）的基础相关问题常涉及以下知识与方法：1. 直线、射线与线段的区别与联系2. 线段中点概念3. 枚举法，分类讨论法注意：有关直线、射线、线段的基础知识为暑期班讲解内容这里不再重复讲解，教师根据班级情况补充讲解，建议先练习学案1复习暑期班知识后再讲解例题.例题精讲例题精讲如图，在直线PQ上要找一点C，且使，则点C应在（ ）APQ之间找 B在点P左边找 C在点Q右边找 D在PQ之间或在点Q的右边找D典题精练典题精练 如图，已知点在线段上，线段，点、分别是线段、 的中点，求线段的长 对于题，如果我们

3、这样叙述它：已知点在直线上，线段，点、分别是线段、的中点，求线段的长，结果如何？请画出示意图，并直接写出的长（丰台区期末） 由点、分别是线段、的中点，得，所以； 有两种情况符合题意：点在线段上，与题相同，； 点在线段延长线上，正确画出示意图（略），阅读：在用尺规作线段等于线段时，小明的具体做法如下：已知：如图，线段 求作：线段，使得线段作法： 作射线； 在射线上截取线段为所求解决下列问题：已知：如图，线段 请你仿照小明的作法，在上图中的射线上作线段，使得；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹） 在的条件下，取的中点.若，求线段的长.（要求：第问重新画图解答）（海淀区期末） ； 为线段的中点，.

4、如图，点在线段的延长线上， .如图，点在线段上， 综上所述，的长为1或 已知，三点在同一直线上，线段，是线段的中点，且， 则线段的长等于 . 已知，四点共线，若，画出图形，求的长 或； 情况：如图情况：如图情况：如图情况：如图 【备选题】【备选1】若点A、B、C在一条直线上，线段AB=8cm，AC=4cm，则线段BC的长为（ ）A12cm B4cm C12cm或4cm D从4cm到12cm中任意数（昌平区期末）C【备选2】已知线段，是直线上一点，且 ，、分别是、的中 点，则线段的长为 （西城区期末）或【备选3】线段上有两点、，求的长情况1，如图，；情况2，如图，【备选4】如图，点C、D在线段A

5、B上，点C为AB中点，若，则_（朝阳区期末）如图，已知，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点，若，那么的长度为 3； 11cm【拓展】若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示） 在中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果 【解析】 线段MN的长度会变化 当点C在线段AB上时，由知 当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC=aBC=bAC=a，点M是AC的中点 CM= BC=b，点N是BC的中点 CN= MN=CMCN= 当点

6、C在线段BA的延长线时，如图： 则AC=aBC=b 同理可求：CM= CN= MN=CNCM= 综上所述，线段MN的长度会变化， 题型二题型二：计数问题思路导航思路导航 从简单情形入手，由简入繁，归纳发现规律，是解决计数问题的关键典题精练典题精练当一条直线上有个点时，图中共有射线_条，线段_条；当一条直线上有个点时，图中共有射线_条，线段_条；当一条直线上有个点时，图中共有射线_条，线段_条；当一条直线上有个点时，图中共有射线_条，线段_条；当一条直线上有个点时，图中共有射线_条，线段_条，；，；，；，；，平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？条直线两两相交最多有多少

7、个交点？6条直线两两相交最少的交点个数是1个；最多有15个交点对于条直线两两相交交点最多的情况，我们不妨从简单情况入手，画图探索规律，从中发现规律，平面内条直线两两相交最多有：个交点.条直线最多可将平面分成 部分；条直线最多可将平面分成 部分；条直线最多可将平面分成 部分；条直线最多可将平面分成 部分；条直线最多可将平面分成几部分？ 说明理由！我们仍可以从简单情况入手，画图探索规律：条直线最多可将平面分成部分；条直线最多可将平面分成部分；条直线最多可将平面分成部分；条直线最多可将平面分成部分；发现规律，条直线最多可将平面分成：部分【拓展】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所

8、有线段的长度之和为23，求线段AC的长度题型三题型三：图解应用题思路导航思路导航通过简单的连线或画图可以轻松的解决一些实际问题.典题精练典题精练图解下列应用题 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有 种不同的票价（来回票价一样、站与站之间距离不相等），需准备 种车票 、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出、五队已分别比赛了、场球则下列正确的是 （多选）A还有一个队没和队进行比赛B队与队进行了一样多的比赛C队、队、队这三队之间已经进行了两场比赛D后面还剩下六场比赛需要进行 不同票价其实就是有多少条线段即为种；来回票价一样，但票的起始站是不一样的，所以需种票 图解，如右图【备选

9、1】在一次聚会开始时，6个客人都互相问了好，聚会结束时6个客人都互相握了手，那么，一共有多少次问好？有多少次握手？【解析】30，15【备选2】五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次到目前为止，e握了（）次A1 B2 C3 D4B已知线段的长为10cm，是直线上一动点，是线段的中点，是线段的中点.若点恰好为线段上一点,则= cm；猜想线段MN与线段AB长度的关系，即MN=_AB，并说明理由 (2011海淀区期末试题)如图所示，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，求绳子的原长5； 1分

10、； 2分证明：M是线段AC的中点，N是线段BC的中点， 3分以下分三种情况讨论（图略），当C在线段AB上时，；4分当C在线段AB的延长线上时， ； 5分当C在线段BA的延长线上时，； 6分综上：设，则 若是绳子的对折点，则最长一段为，解得 由，可得，绳子的原长为 若是绳子的对折点，则最长一段为，解得 由，可得，绳子的原长为 综上，绳子的原长为或.思维拓展训练（选讲）思维拓展训练（选讲）训练1. 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）A两点之间，射线最短 B两点确定一条直线C两点之间，线段最短 D两点之间，直线最短 如图，已知点是线段的中点，点是的中点，那么下列结论中错误的是（ ）

11、A B C. D（海淀期末） 如图，已知点C在线段AB的延长线上，点是AC的中点，求DB的长 C； C； ， 点D是AC的中点 训练2. 如图，已知线段上依次有三个点、把线段分成四个部分，、分别是，的中点，若，求的长度设，则，故，训练3. 如图，、依次是线段上三点，已知，则图中所有线段长度之和是多少？ 训练4. 同一直线上有、四点，已知，且，求的长（人大附中期末，西城期末）依题意画出示意图如下： 如图，由可知，由可知，又，故如图，由可知，由可知，又，故如图，由可知，由可知，又，故如图，由可知，由可知，又，故此题也可以把其中某个线段设为，其它线段都用表示出来列方程求解复习巩固复习巩固题型一 多种

12、情况求线段长度问题 巩固练习已知：如图，点为线段上一点，点、分别为线段、的中点，求线段的长（海淀区期末）由是的中点可知，同理可知，故，又，故如图所示，把一根绳子对折成线段，从处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为 . 40或80如图，线段，点是线段上一点，、分别是线段，的中点，小强据此很轻松地求得他在反思过程中突发奇想：若点运动到的延长线上时，原有的结论“”是否仍然成立？请你帮小强画出图形并说明理由原有结论仍然成立理由如下：当点在的延长线上时，如下图所示，题型二 计数问题 巩固练习过平面上的个点最多可画多少条直线？（） 方法一：经过平面内2个点最多可画1条直线；经

13、过平面内3个点最多可画条直线；经过平面内4个点最多可画条直线；经过平面内5个点最多可画条直线；经过平面内6个点最多可画条直线；经过平面内个点最多可画条直线方法二：每过一个点最多可画条直线，那么过个点可画条直线，但有重复，所以乘以. 综上：过平面上点最多可以画条直线题型三 图解应用题 巩固练习如图是六名舞蹈演员设计的一种舞台造型，从三种不同的角度看，都 有三名演员在同一条直线上，为了视觉更美观一些，设计人员只移动 了一名演员的位置，就使得从四种不同的角度看，都有三名演员在一条直线上请你联想所学过的知识解决这个问题，画出你的设计方案（海淀区期末）解决方案如下图 第十三种品格：第十三种品格：公平风雨

14、过后是彩虹有一天，一个小男孩在花园里玩，突然，他发现了一个蛹。小男孩非常兴奋，他把蛹带回了家。过了几天，小男孩发现蛹上出现了一些细小的裂缝，里面似乎有一个东西在动。又过了几天，裂缝更大了。小男孩仔细地观察这个蛹，发现里面竟然有一只蝴蝶！这个小蝴蝶在里面不断地挣扎躯体！整整好几个小时，小蝴蝶一直在努力挣扎。但是，它的身体似乎被什么东西卡住了，看上去非常痛苦。小男孩有点着急了，他不忍心蝴蝶被卡在里面。于是，他拿来一把剪刀，轻轻地把蛹壳剪开，蝴蝶脱蛹而出了。看着躯体臃肿的蝴蝶，小男孩轻轻地松了口气。但是，蝴蝶却躺在地上无法动弹。原来，它的翅膀需要经过不断挣扎才会强健。尽管小男孩的帮助让蝴蝶提前从蛹中出来了，但是，由于蝴蝶的翅膀还没有成熟，不久蝴蝶就死了。生物学家说，飞蛾在由蛹变成