初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

1、PAGE 14PAGE 13PAGE 1中考第一轮复习三角形1中考第一轮复习三角形1中考大纲中考大纲剖析 考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边

2、三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（）；知道角的三角函数值由某个角的一

3、个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构本讲结构知识导航知识导航一、等腰三角形等腰三角形的两大特性图形 特性“等腰三角形中的三线合一”“底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”构造等腰三角形“垂直平分线造等腰”“平行线加角平分线”“平行线截等腰三角形”“圆构造等腰”特殊等腰三角形图形三边之比二、直角三角形1直角三角形的边角关系直角三

4、角形的两锐角互余 三边满足勾股定理 边角间满足锐角三角函数2特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含和的直角三角形”边的比：边的比：3直角三角形中的特殊线“直角三角形斜边中线”“直角三角形斜边高”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标“万能法”其他方法等腰三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使为等腰三角形“两圆一垂”分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由AB=AP AB=BPBP=AP列方程解出坐标作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使为直角三角形“两垂一圆”分别表示出点A、B、P的坐标，再表示

5、出线段AB、BP、AP的长度，由列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的判定：SSS；SAS；ASA；AAS；HL在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.五.相似三角形相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形的判定： 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； 两角对应相等，两三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

6、三边对应成比例，两三角形相似相似三角形的基本模型： 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.模块一 模块一 特殊三角形夯实基础夯实基础（1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C

7、也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的 个数是（ ）A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，且 是直角三角形，则满足条件的点的坐标为 （2010顺义一模）（3）已知：如图，在中，点在边上，点 在边的延长线上，且，连接交于求证： （2012海淀期中）（4）如图所示，在ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分CBP，设BP=，PE=.当CQ=CE时，与之间的函数关系式是 . 【解析】（1）C，“两圆一垂”； （2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确

8、定四个点之后，用勾股求得； （3）证明：过D点作AC的平行线交BC于点G， 则B=ACB=BGD；BD=DG=CE； 易证DFGEFC；DF=EF. 注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由“平行线截等腰三角形”得新等腰三角形.（4）y= x+6； 提示：延长BQ与射线EF相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.能力提升能力提升（1）如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ）

9、（2010宣武一模）A. 2 B. 4 C. D. （2）如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）A B C D 6 （2010西城二模）以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，为等边三角形，边长AB=4，点A、C分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是_.【探究2】如图，在中，C=90，AC=4，BC=3，点A、C分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的

10、最小距离是_.【探究3】 如图，在Rt中，ACB=90，B=30，CB=，点D是平面上一点且CD=2，点P为线段AB上一动点，当ABC绕点C任意旋转时，在旋转过程中线段DP长度的最大值为_，最小值为_.【解析】（1）C，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一半，于是M的轨迹围成一个半径为1的圆； （2）A，如右图1，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大；探究1：，方法同上，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大；探究2：如右图2，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最小，

11、最小值为；探究3：“ABC绕点C旋转”等价于“CD绕点C旋转”，如下图1，连结CP，当PD=PC+CD时，PD最大，当PD =PC-CD时，PD最小. 如图2，当P与B重合，PD取最大值为，如图3，当CPAB时，PD取最小值为.【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值最大，“内共线”值最小（已知AB、BP为定值，求动线段AP的最大或最小值）；（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P是线段BC上的动点，求线段AP的最大或最小值）. 模模块二 全等三角形夯实基础夯实基础ABC与CDE

12、均为等边三角形，点C为公共顶点，连结AD、BE相交于点P，BE交AC于点M，AD交CE于点N，（1）如图1，当点B、C、D在同一直线上，请证明以下结论： AD=BE； 连结PC，则PC平分BPD； ； 连结MN，则MCN为等边三角形； PB=PA+PC，PD=PE+PC（ 连结AE，点P为ACE的费马点. 学生版上没有）（2）如图2，当CDE绕点C旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？【解析】（1）由可得；过点C分别作AD、BE边上的高，由“全等三角形面积相等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等，证得；由“八”字模型倒角证得；由或者得CN=CM，证得；由，在四边形AB

13、CP和EDCP中利用旋转可证得；由中的结论可知PA+PC+PE=BE，点P到ACE的三个顶点的距离和最小，即可证得.（2）结论均成立.能力提升能力提升在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD.（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值. （2013北京中考）【解析】（1）；（2）为等边三角形，连接、线段绕点逆时针旋转得到线段则，又 且为等边三角形.在与中 （SSS） 在与中 （AAS） 为等边三角形（3），又 为等腰

14、直角三角形 而 【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若 为等腰三角形（AB=AC）；为等腰三角形（AD=AE）； 以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证为等边三角形，已知为等边三角形，则需证即可.模模块三 相似三角形夯实基础夯实基础（1）已知在ABC中，BC=a.如图1，点B1 、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是_；如图2，点B1 、B2 ，C1 、C2分别是AB 、AC的三等分点，则线段B1C1 + B2C2的值是_；如图3, 点，分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1 + B2C2+ BnCn的值是 _. （2）如图，

15、在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）【解析】（1）, 提示：由“A”字相似模型来求BnCn 的长；（2）D 提示：“三垂”相似模型；能力提升能力提升如图1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，点E是BC边上一点，DEF=45且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y

16、与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点探究：在DEF运动过程中，AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由 (2012东城期末)【解析】（1） BAC=90，AB=AC=2， B=C，又, DEB=EQC. BPECEQ 设BP为x，CQ为y， 自变量x的取值范围是0 x1 （2）解： AEF=B=C,且AQEC, AQEAEF . AEAQ .当AE=EQ时，可证ABEECQ. CE=AB=2 . BE=BC-EC=.当AQ=EQ时，可知QAE=QEA=45.

17、 AEBC . 点E是BC的中点. BE=. 综上，在DEF运动过程中，AEQ能成等腰三角形，此时BE长为或. 【思维拓展训练】提高班如图，直角三角形纸片ABC中，ACB=90，AC=8，BC=6折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E. （1）DE的长为 ；（2）将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 【解析】4，4如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于 点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG； 若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点

18、H， 则EF、EG、H三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC， 连接CL，点E是CL上任一点， EFBD于点F，EGBC于点，猜想、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、 这样的线段，并满足或的结论，写出相关题设的条件和结论 （2010房山二模）【解析】（1）设对角线交点为O，连结OE，用面积法证明；（2）CH=EF-EG；（3）连结AC交BD于点O，由（1）的结论可知CO=EF+EG，于是；（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中构造.

19、 如图1，四边形是正方形，点是上任意一点，于点，于点 求证： 当点为边中点时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由 若点为延长线上一点，其余条件不变请你在图2中画出图形，写出此时、之间的数量关系（不需要证明）【解析】（1）由可得；（2）EF=2GF，易证，于是，所以AF=2BF， BF=2FG，所以EF=2FG； （3）DE+BF=EF.实战演练实战演练模块一 特殊三角形 课后演练如图，等腰中，线段的垂直平分线交于，交于E，连接BE，则等于（ ）A80 B 70 C60 D50 在等腰中，中线BD将这个三角形的周长分别为和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为_ 如图，等边三角形中，、分别为、