多元多项式精品课件

1、多元多项式第1页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二一、定义在前面我们讨论了一元多项式的基本性质.但是除去一元多项式外，还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如 x2 - y2 , x3 + y3 + z3 -3xyz 等.现在就来简单地介绍一下有关多元多项式的一些概念.第2页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二定义11 设 P 是一个数域，x1 , x2 , , xn 是 n个文字.形式为的式子，其中 a 属于 P，k1 , k2 , , kn 是非负整数,称为一个单项式.如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项.一些单项式的和第3页，

2、共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二就称为 n 元多项式，或者简称多项式.和一元多项式一样，n 元多项式也可以定义相等、相加、相减、相乘.第4页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二定义 12 所有系数在数域 P 中的 n 元多项式的全体，称为数域 P 上的 n 元多项式环，记为P x1 , x2 , , xn .k1 + k2 + + kn 称为单项式的次数.当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后 , 其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.第5页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二二、多元多项式的排列法虽然多元多项

3、式也有次数，但是与一元多项式的情况不同，我们并不能对多元多项式中的单项式按次数给出一个自然排列的顺序，因为不同类的单项式可能有相同的次数.我们看到，一元多项式的降幂排列法(或者升幂排列法)对于许多第6页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二问题的讨论是方便的.同样地，为了便于以后的讨论，我们对于多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法.每一个单项式都对应于一个n 元数组(k1 , k2 , , kn ) ,其中 ki 为非负整数.这个对应是一一对应.第7页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二为了给出单项式之

4、间一个排列顺序的方法，我们只要对于 n 元数组 (k1 , k2 , , kn ) 定义一个先后顺序就行了.如果数k1 - l1, k2 - l2 , , kn - ln中第一个不为零的数是正的，也就是说，有 i n使k1 - l1 = 0 , , ki-1 - li-1 = 0 , ki - li 0 ,第8页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二那么，我们就称 n 元数组(k1 , k2 , , kn )先于 n 元数组 (l1 , l2 , , ln ) , 并记为 (k1 , k2 , , kn ) (l1 , l2 , , ln ) .例如(1 , 3 , 2) (

5、1 , 2 , 4) .由定义立即看出，对于任意两个n 元数组(k1 , k2 , , kn ) 和 (l1 , l2 , , ln ) ，关系第9页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二(k1 , k2 , , kn ) (l1 , l2 , , ln ) ，(k1 , k2 , , kn ) = (l1 , l2 , , ln ) ，(k1 , k2 , , kn ) ”具有传递性，即，如果(k1 , k2 , , kn ) (l1 , l2 , , ln ) ，(l1 , l2 , , ln ) (m1 , m2 , , mn ) ，那么 (k1 , k2 , , kn

6、 ) (m1 , m2 , , mn ) . 第10页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二事实上，由 ki - mi = (ki - li) - (li - mi) 即得上面的结论.因之，这样的确给出了 n 元数组之间的一个顺序.相应地，单项式之间也就有了一个先后顺序.例如多项式2x1x22x32 + x12x2 + x13 按字典排列法写出来就是x13 + x12x2 + 2x1x22x32 .按字典排列法写出来的第一个系数不为零的第11页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二单项式称为多项式的首项.例如多项式x13 + x12x2 + 2x1x22x3

7、2的首项为 x13 .注意首项不一定具有最大的次数.当 n = 1 时，字典排列法就归结为以前的降幂排列法.对于字典排列法，我们有第12页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二定理 14 当多项式f (x1 , x2 , , xn) 0 , g (x1 , x2 , , xn) 0 时，乘积 f (x1 , x2 , , xn) g (x1 , x2 , , xn) 的首项等于f (x1 , x2 , , xn) 的首项与 g(x1 , x2 , , xn) 的首项的乘积.证明设 f (x1 , x2 , , xn) 的首项为g (x1 , x2 , , xn) 的首项为第1

8、3页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二为了证明它们的积为 f g 的首项，(p1 + q1 , p2 + q2 , , pn + qn)先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了.事实上，f (x1 , x2 , , xn) g (x1 , x2 , , xn)只要证明第14页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二中其他单项式所对应的有序数组是(p1 + k1 , p2 + k2 , , pn + kn),或者(l1 + q1 , l2 + q2 , , ln + qn),或者(l1 + k1 , l2 + k2 , , ln + kn),其中(p1 ,

9、 p2 , , pn ) (l1 , l2 , , ln ) ，(q1 , q2 , , qn ) (k1 , k2 , , kn ).第15页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二而(p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(p1+k1 , p2+k2 , , pn+kn)与(p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(l1+q1 , l2+q2 , , ln+qn)是显然的.同样有(l1+q1 , l2+q2 , , ln+qn)(l1+k1 , l2+k2 , , ln+kn).由传递性即得第16页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二(

10、p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(l1+k1 , l2+k2 , , ln+kn).这就证明了，不可能与乘积中其他的项同类而相消，且先于其他所有的项，因而它是首项.证毕用数学归纳法立即得出推论 1 如果 fi 0 , i = 1 , 2 , , m , 那么f1 , f2 , , fm 的首项等于每个 fi 的首项的乘积.第17页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二的结论显然包含着推论 2 如果f (x1 , x2 , , xn) 0 , g (x1 , x2 , , xn) 0 ,那么f (x1 , x2 , , xn) g (x1 , x2 , , xn

11、) 0 .第18页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二三、齐次多项式多项式称为 m 次齐次多项式，如果其中每个单项式全是 m 次的.例如是一个 4 次齐次多项式.第19页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二显然，两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,它的次数就等于这两个多项式的次数之和.任何一个 m 次多项式 f (x1 , x2 , , xn) 都可以唯一地表示成其中 fi (x1 , x2 , , xn) 是 i 次齐次多项式.fi (x1 , x2 , , xn) 称为 f (x1 , x2 , , xn)的 i 次齐次成分.第20页，共24页，20

12、22年，5月20日，13点35分，星期二如果是一个 l 次多项式，h(x1 , x2 , , xn) = f (x1 , x2 , , xn)g(x1 , x2 , , xn)的 k 次齐次成分 hk (x1 , x2 , , xn) 为那么乘积第21页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二特别地， h(x1 , x2 , , xn) 的最高次齐次成分为hm+l (x1 , x2 , , xn)= fm (x1 , x2 , , xn) gl (x1 , x2 , , xn) .由此可知，对于多元多项式，也有乘积的次数等于因子次数的和.最后我们指出，与一元多项式一样，多元多项式也可以看作函数的表达式.设第22页，共24页，2022年，5月20日，13点35分，星期二并设 c1 , c2 , , cn 是数域 P 中的数，我们称为 f (x1 , x2 , , xn) 在 x1 = c1 , x2 = c2 , , xn = cn处的值.显然，当f (x1 , x2 , xn) + g(x1 , x2 , xn) = h(x1 , x2 , xn),f (x1 , x2 , xn) g(x1 ,