专题4-13-导数大题（零点个数问题2）-高三数学一轮复习精讲精练

1、专题4.13导数大题（零点个数问题2）1设函数，（）证明：；（）设函数，若有两个零点，求的取值范围解：（）证明：，令，可得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以（1），所以（）由（）得，当时，若有两个零点，令是的根，则，所以，由得，代入得，所以，所以，所以，综上所述，所以的取值范围为2已知函数（1）若在上是减函数，求的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证：有三个零点（1）解：由，得，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，在上是减函数，则恒成立，所以，所以，故的取值范围是，（2）证明：因为有一个极小值点和一个极大值点，所以由（1）可知，设，则，当时，单调递减；当时，

2、单调递增，因为，所以，使，所以，即，单调递减，即，单调递减，即，单调递增，即，单调递减，因为，所以，又因为，由，得，所以由零点存在定理，得在和，各有一个零点，又，结合函数的单调性可知，有三个零点3已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数零点的个数解：（1）当时，则，设，则，当，时，所以，所以在，上单调递减；当时，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，综上可得，上单调递减；在上单调递增（2），当时，所以0是的一个零点，设，可得，因为，当时，在单调递增，则，在单调递增，所以在无零点，时，则，所以在，无零点当时，在单调递增，又，所以存在唯一实数，使得，当时，在单调递减，当

3、，时，在，单调递增，又，所以在有唯一零点，所以在有一个零点，综上，当时，函数有2个零点4已知函数，曲线在点，处的切线方程为（1）求实数的值，并证明：对，恒成立（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由解：（1）根据题意，曲线在点，处的切线方程为此时若要证明，对，恒成立，需证明，故需证明，则令，；函数在上单调递减；在上单调递增；故有当，即对，恒成立恒成立（2）根据题意可得，在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：假设当时，函数和的相交，时，单调递增；，时，单调递减；即得又综上可得，函数在，上无零点，在上只有一个零点即函数在上只有一个零点5已知函数，（1）求的单调区间；（2）证明：时，；

4、（3）设在区间，内有不相等的两个零点，求的范围解：（1）函数的定义域为，令，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的单调递增区间为，无单调递减区间（2）证明：，因为，所以，所以要证，只需证，令，则，所以，因为，所以，即，令，则，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，所以（3），令，得，即，所以在，内有两个零点，令，则与在，内有两个交点，因为，令，即，所以，单调递增，令，即，所以，单调递减，所以当时，当时，当时，又因为与有两个交点，则当时，有两个交点，当或时，有1个交点，所以的取值范围为，6已知函数（）讨论函数的极值；（）若，证明：函数有且仅有两个零点，且解：（）函数的定义域是且，若，则当时，故函数在上单调递增，函数无极值，若，则当时，当，时，故函数在递增，在，递减，故函数，无极小值，综上，当时，函数无极值，当时，函数有极大值为，无极小值；（）证明：，故，在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，又（1），（2），故存在唯一使得