专题09 二次函数背景下的动点问题探究（教师版）

1、 PAGE PAGE 38备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题09 二次函数背景下的动点问题探究 【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。【典例示范】类型一 常规单动点问题例1：（广东省深圳市）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B点D为二次函数图象的顶点（1）如图所示，求此二次函数的关系式：（2）如图所示，在x轴上取一动点P（m，0），且

2、1m3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP；（3）在图中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则1010BR+AR的最小值_【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）见解析；（3）6【解析】解：（1）将A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0a-b+3=0 ，解得：a=-1b=2此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3（2）证明：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，点D的坐标为（1，4）设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c（k0），将A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：3k+c=0c=

3、3，解得：k=-1线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y=-2x+6点P的坐标为（m，0），点E的坐标为（m，-m+3），点F的坐标为（m，-2m+6），EP=-m+3，EF=-m+3，EF=EP（3）如图，连接BC，过点R作RQBC，垂足为QOC=1，OB=3，BC=10(勾股定理)CBO=CBO，BOC=BQR=90，BQRAOB，BRBC=QROCRQ=1010BRAR+1010BR=AR+RQ当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+1010BR=AQACQ=BCO，BOC=AQC，CQACOB，AQBO=ACAQ=6101010BR+CR

4、的最小值为6故答案为：610例2：（2019年广西）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连接CP，过点P作PECP交x轴于点E（1）求抛物线的顶点M的坐标；（2）当点E与原点O的重合时，求点P的坐标；（3）求动点E到抛物线对称轴的最大距离是多少？【答案】（1）（1，-4）（2）当点E与原点O的重合时，点P的坐标为（1，-3-52）或（1，5-32）（3）点【解析】解：（1）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）（2）当x=0时，y=x2-2x-3=-3，点

5、C的坐标为（0，-3）过点C作CF直线MN，垂足为点F，如图1所示PON+OPN=90，OPN+CPF=180-CPO=90，PON=CPF又PNO=CFP=90，PONCPF，CFPN=PFON，即1PNPN=35当点E与原点O的重合时，点P的坐标为（1，-3-52）或（1，（3）过点C作CF直线MN，垂足为点F，设PN=m，分三种情况考虑，如图2所示当0m3时，由（2）可知：PENCPF，ENPF=PNCF，即ENEN=-m2+3m=-（m-32）2+9-10，当m=32时，EN取得最大值，最大值为9当m=0或3时，点E和点N重合，此时EN=0；当3m4时，PCF+CPF=90，CPF+E

6、PN=90，PCF=EPN又CFP=PNE=90，PCFEPN，ENPF=PNCF，即ENmEN=m2-3m10，当3m4时，EN的值随m值的增大而增大，当m=4时，EN取得最大值，最大值为4综上所述：点E到抛物线对称轴的最大距离是4针对训练1（山东省济南市历下区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c，经过点A(1,3)、B( (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)如图，点M是第一象限中BC上方抛物线上的一个动点，过点作MHBC于点H，作MEx轴于点E，交BC于点F，在点M运动的过程中，MFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)

7、如图，连接AB，在y轴上取一点P，使ABP和ABC相似，请求出符合要求的点P坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=-12x2+52x+1，顶点坐标为(52,【解析】（1）将A(1,3)，B(0,1)，代入解得b=52抛物线的解析式为y=-1顶点坐标为(52（2）由B(0,1)，C(4,3)得直线BC解析式为：设M(m,-则MF=-1MF有最大值，当m=2时，MF最大值为将直线AC与y轴交点记作D，易得BD因为ME/y轴，又CDB=MHP=90FHCMHF所以CMHF的最大值为6（3） ADBD=BDABDABD=1当PAB=ABC BC= AB=(0-1) PB= P1(0,2当PAB=BAC

8、 PB2 PB= P2(0,综上所述满足条件的P点有(0,52)2（四川省简阳市2019届九年级）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x-ax-4a0)与x轴相交于A(1)求该抛物线的表达式；(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点，当点M在曲线BA之间(含端点)【答案】(1)抛物线解析式为；y36x2233；(2)当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，M的坐标为(3，36)或(3，36)【解析】（1）如图，令y0代入yax24a，0ax24a，a0，x240，x2，A（2，0），B（2，0），AB4，过点P作PCx轴于点C，PBC180PBA60，PBAB4，cosPBCBCPB

9、BC2，由勾股定理可求得：PC23，OCOB+BC4，P（4，23），把P（4，23）代入yax24a，2316a4a，a36抛物线解析式为：y36x22（2）当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，2m2，n0，当2m0时，|m|+|n|mn36m2m+23336（m+3当m3时，|m|+|n|可取得最大值，最大值为73此时，M的坐标为（3，36当0m2时，|m|+|n|mn36m2+m+23636（m3当m3时，|m|+|n|可取得最大值，最大值为73此时，M的坐标为（3，36综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（3，36）或（3，36）时，|m|+|n|的最大值为类型

10、二 双动点问题例3（重庆市大渡口区2019届九年级第二次诊断考试）如图，抛物线y=-35（x-2）2+n与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC（1）求m、n的值；（2）如图，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN求NBC面积的最大值；（3）如图，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使PCM为等腰三角形，PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【来源】【区级联考】数学试题【答案】（1）m=1；n=-9；（2）最大值为758；（3）存在，P点坐标为（

11、334-95，0）或（【解析】（1）抛物线的解析式为y=-35 （x-2）2+n=- 35（x-2）2-3抛物线的对称轴为直线x=2，点A和点B为对称点，2-（m-2）=2m+3-2，解得m=1，A（-1，0），B（5，0），把A（-1，0）代入y=-35 （x-2）2+n得9+n=0，解得n=-9（2）作NDy轴交BC于D，如图2，抛物线解析式为y=-35 （x-2）2-9=-35x2+12当x=0时，y=3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（5，0），C（0，3）代入得5k+b直线BC的解析式为y=-35x+3设N（x，-35x2+125x+3），则D（x，-3ND=

12、-35x2+125x+3-（-35x+3）=-SNBC=SNDC+SNDB=125ND=-32x2+152x=-32（x-5当x=52时，NBC面积最大，最大值为758（3）存在B（5，0），C（0，3），BC=32当PMB=90，则PMC=90，PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=34-t，MBP=OBC，BMPBOC，PMOC=BMOB=BPBC，即 tOP=OB-BP=5-174=3此时P点坐标为（34，0当MPB=90，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=34-t，MBP=CBO，BMPBCO，MPOC=BMBC=BPBO，即tOP=OB-BP=5

13、-34-3345=此时P点坐标为（334-95综上所述，P点坐标为（334-95，0）或（3针对训练1（河北省2019届九年级毕业生升学文化课考试模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P，点Q的运动时间为t(s).（1）当t=1s时，按要求回答下列问题tanQPC=_求经过O，P，A三点的抛物线G的解析式，若将抛物线G在x轴上方的部分图象记为G1，已知直线y=12x+b与（2）连接CQ，点P，Q在运动过程中，记CQP

14、与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数解析式.【答案】（1）3；y=-34x2+3x； 0b2512；（2）当0t2时，S=3t；当2t4时，S=24-24t-3t；当t4时，【解析】解：（1）过Q作QMBC，tanQPC=MQMP=3；A（4,0）O（0,0）P（2,3）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把A（4,0）O（0,0）P（2,3）代入y=ax2+bx+c得16a解得a=-34b=3联立直线 y=12x+b与 y=-34x2+3x,得 y=12x+直线12x+b 与 G1 有 两 个 不 同 交 方程-34x2+3x=12x+b有0即254b2512又由直线与G1交

15、于x轴上方，b0，b的范围为0b（2）当0t2时，S=3t；当2t4时，S=24-24t-3t；当t4时，当0t2时，如图1，由题意可知CP=2t，S=SPCQ=122t3=3t当2t4时，如图2：过Q作QHCP于H，BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3,BMHQ，PBMPHQ，BMHQ即BM3BM=32AM=3- BM=12-3tS=43-=24当P在CB延长线上，Q在OA延长线上时，即t4时，如图3，CQ与AB交于M点，过Q做QN则MBCQNC, BMNQ=CB面积为： S=12CB2（重庆一中2019届九年级（上)期中数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx8的图象与x轴

16、交于A、B两点，与y轴交于点C，直线ykx+53（k0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC2OA，OB3OA（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PHAR于点H，过点P做PQx轴交抛物线于点Q，过点P做PHx轴于点H，K为直线PH上一点，且PK23PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l132PH-14PQ，mIP+IQ+IK，当l（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MNx轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将MDN沿直线MD翻折为MDN（点M、N、D、N在同

17、一平面内），连接AN、AN、NN，当ANN为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标【答案】（1）y16x243x8，y512x+53；（2）P（5，-212），m的最小值为219；（3）D1（31-5132，0），D2（4，0），D3（343【解析】解（1）yax2+bx8与y轴的交点为C，令x0，y8，点C（0，8），OC8，OC2OA，OB3OA，OA4，OB12，A（4，0）B（12，0），将点A代入直线解析式可得04k+53解得k512y512x+5将点A和点B代入抛物线中， 0=16a解得a16，b4y16x243x（2）设点P的坐标为（p，16p243p8），2a抛物线的对称轴为直线x

18、4，点Q（8p，16p243pPQ2p8，PK23PQ，PK43p163，如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，512P+5 PM512P+53（16p243p8）16p2PHMMHA，HMPAMH，HPMMAH，直线解析式为y512x+53，令x0，yOE53OA4，根据勾股定理得AE133cosEAOOAAE12cosHPMPHPMPH1PH213p2+2113p+I132PHI132（213p2+2113p+11613）14（2p8）（p当p5时，I取最大值此时点P（5，212PQ2，PK43，如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，使PI

19、D60，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ， IPPF，PQPD，IPQFPD，IPQFPD（SAS），DFIQ，IP+IQ+IKIF+FD+IKDK，此时m最小，过点D作DN垂直于KP，KPDKPQ+QPD150，PDN30，DPPQ2，DN1，根据勾股定理得PN3，在KDN中，KN53，DN1，根据勾股定理得KD219，m的最小值为219；（3）设NM与x轴交于点J，AM13，cosMAJ1213AJ12，根据勾股定理得MJ5，OA4，OJ8，M（8，5），当x8时，代入抛物线中，可得y8，N（8，8），MN13，在AJN中，根据勾股定理得AN413，点D为x轴上的动点，根据翻折，MN

20、13，所以点N在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示， 当N落在AN的垂直平分线上时，tanMNA1283tanMGJ32MJ5，JG103，根据勾股定理得MG5MD1为GMJ的角平分线，MGMJD1J513D1（31-5132，MD4也为角平分线，D1MD490，根据射影定理得MJ2JD1JD4，JD4513D4（31+5132，当ANAN时，D2与点A重合，D2（4，0），MD3为角平分线，MJMNJD3103D3（343，0综上所述D1（31-5132，0），D2（4，0），D3（343，0），D4（31+53（江苏省扬州市宝应县2019届九年级上学期期末）已知，如图1

21、，二次函数yax2+2ax3a（a0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：ykx+3对称（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BDAC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值【答案】(1) 点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0），直线l的表达式为：y33x+3;(2) 二次函数解析式为：y32x23x+3【解析】解：（1）yax2+2ax3a，令y0，则x1或3，即点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0），点A坐标代入ykx+

22、3得：03k+3，解得：k=即直线l的表达式为：y=3同理可得直线AC的表达式为： y直线BD的表达式为：y=3联立并解得：x3，在点D的坐标为（3，23）；（2）设点C的坐标为（1，m），点C、B关于过点A的直线l：ykx+3对称得AC2AB2，即：（3+1）2+m216，解得：m=23（舍去负值），点C（1，2将点C的坐标代入二次函数并解得：a=-故二次函数解析式为： y=-（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值MB+MD的最小值BQ，D

23、QAC，ACBD，QDB90，作DFx轴交于点F，DFADsinDAF=43B、C关于直线l对称，即直线l是EAF的平分线，EDFD23，则QD43，BD4，BQ=4即CN+NM+MD的最小值为84（江苏省句容市第二中学）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y-13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒连接（1）填空

24、：b ，c ；（2）在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且AOM的面积与AOC的面积相等，求出点M的坐标。【答案】（1）13，4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(1+972,-4）或M(【解析】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x+3）（x4）将a13代入得：y13x2+1b13，c4（2）在点P、Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形理由如下：在点P、Q运动过程中，PAQ、PQA始终为锐角，当APQ是直角三角形时，则APQ90将x0代入抛物线的解析式得：y4，C（0，4）点A的坐标为（3，0），在RtAOC中，依据勾股定

25、理得：AC5，APOQt，AQ=3+t，OACPAQ，APQAOCAOCAPQAP:AO=AQ:ACt3=3+t5 由题意可知：0t4，t4.5不合题意，即APQ不可能是直角三角形(3 )设点M的坐标为（m，13m2+13AOM的面积与AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4） 13m2+13当13m2+13m+4=-4时，解得：m=1+97当13m2+13m+4=4时，解得：m=1当m=0时，与C重合，m=1+972或1 M(1,4)或M(1+972,-4）或M(1类型三 以动点驱动的图形运动例4：（浙江省金衢十二校2019届九年级下学期3月联合模拟）如图，抛物线y1=-43x2-43tx

26、-t+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），过y轴上的点C(0,4)，直线y2 图（1） 图（2）（1）求出t与k的值.（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使BDE与AOC相似，求出DE的长.（3）如图，过抛物线上动点G作GHx轴于点H，交直线y2=kx+3于点Q，若点Q是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q落在y轴上，若存在，请直接写出点G【答案】（1）t=-2，k=34；（2）12或8；（3）1-134【解析】（1）将点C（0，4）代入抛物线y1= -43x2-43tx-t+2，得，-t+2=4，t=-2，抛物线y1= -43x2+

27、83x+4，C（0，4），ON=OC，N（-4，0），将N（-4，0）代入直线y2=kx+3，得，-4k+3=0，k=34，直线y2=34x+3，t的值为-2，k的值为34；（2）如图1，连接BE，在y1= -43x2+83x+44中，当y=0时，x1=-1，x2=3，A（-1.0），B（3，0），对称轴为x= -b2a=1，D AOBD=OCDE，12=4DE，DE=8，当AOCEDB时，AOED=OCDB，1DE=42（3）如图2-1，点Q是点Q关于直线MG的对称点，且点Q在y轴上时，由轴对称的性质知，QM=QM，QG=QG，QMG=QMG，QGx轴，QGy轴，QMG=QGM，QMG=QG

28、M，QM=QG，QM=QM=QG=QG，四边形QMQG为菱形，设G（a，- 43a2+83a+4），则Q（a，34a+3），过点G作GHy轴于点H，GQQN，GQH=NMO，在RtNMO中，NM=NO2+MO2=5，sinNMO=NONM=45，sinGQH=HGGQ=45，当点G在直线MN下方时，QG=QG=43a2-23a-（43a2-2312a-1）=45 ，针对训练1（湖北省鄂州市梁子湖区2019届九年级下学期期中）如图，抛物线y=-13x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A(0，-1)，点B(9，-10)，ACx(1)求抛物线的解析式； (2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； (3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-13x2+2x-1；(2)P(92，54)；(3)存在这样的点Q，其坐标是【解析】(1)y=-(2)ACx轴，A(0，1)，-1解得x16，x20点C的坐标为(6，1)点A(0，1)，B(9，10)，直线AB的解析式为yx1设点P（E(m，m1)PE=(-ACEP，AC6，S四边形AECP 12AC 12AC -m2+9m 0m当