福建省新2021-2022学年数学高二下期末统考模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。1设集合，若，则（ ）A1BCD-12已知，且满足，对于，四个数的判断，给出下列四个命题：至少有一个数大于1；至多有一个数大于1；至少有一个数小于0；至多有一个数小于0.其中真命题的是（ ）ABCD3已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则（ ）A函数的周期为B函数图象关于点对称C函数图象关于直线对称D函数在上单调4在等差数列中，且，则的最大值等于( ）A3B4C6D95已知向量，其中，若，则的最大值为（ ）A1B2CD6已知两个随机变量X，Y满足X+2Y=4，且XN1，A32，2B12，1C32，1D7已知函数f(x)=xex2+

3、axeA1B-1CaD-a8若，则的值是（）A-2B-3C125D-1319函数的定义城是（ ）ABCD10从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ）A B C D11下列判断错误的是A若随机变量服从正态分布，则B“R，”的否定是“R，”C若随机变量服从二项分布：，则D“”是“ab”的必要不充分条件12在三棱锥中，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13方程的正整数解的个数_.14甲、乙两地都位于北纬45，它们的经度相差90，设地球半径为，则甲、乙两地的球面距离为_.15平

4、面上画条直线，且满足任何条直线都相交，任何条直线不共点，则这条直线将平面分成_个部分16对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，仿此，若的“分裂数”中有一个是49，则n的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门.（1）小李同学共有多少种不同的选科方案？（2）若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率.18（12分）某学校为调查高三年级

5、学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2）.已知图（1）中身高在的男生有16名.（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？身高身高总计男生女生总计参考公式：，其中参考数据：0.400.250.100.0100.0010.7081.3232.7066.63510.82819（12分）设命题幂函数在上单调递减。命题在上有解；若为假，为真，求的取值范围.20（12分）如图，在矩形中，为CD的中点，将沿AE折起到的

6、位置，使得平面平面（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.21（12分）已知函数（1）当时，解不等式；（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围。22（10分）设函数.（1）化简：；（2）已知：，求的表达式；（3），请用数学归纳法证明不等式.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由得且，把代入二次方程求得，最后对的值进行检验.【详解】因为，所以且，所以，解得.当时，显然，所以成立，故选A.【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数的值后要记得检验.2、A【解析】根据对，取特殊值，可得，不对，

7、以及使用反证法，可得结果.【详解】当，时，满足条件，故，为假命题；假设，由，得，则，由，所以矛盾，故为真命题，同理为真命题故选：A【点睛】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.3、D【解析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。根据解析式判断各选项是否正确。【详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为所以周期 ，则 所以函数函数的图象向左平移单位，得到的解析式为因为图象关于y轴对称，所以，即，k Z因为所以即所以周期，所以A错误对称中心满足，解得，所以B错误对称轴满足，解得，所以C错误单

8、调增区间满足，解得，而在内，所以D正确所以选D【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。4、B【解析】先由等差数列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列中，所以，即，又，所以，当且仅当时，的最大值为4.故选B。【点睛】本题主要考查基本不等式求积的最大值，熟记等差数列的求和公式以及基本不等式即可，属于常考题型.5、D【解析】已知向量， 根据，得到，即，再利用基本不等式求解.【详解】已知向量， 因为，所以，即， 又因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为 .故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式

9、的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6、C【解析】先由XN1，22，得E(X)=1，D(X)=4，然后由【详解】由题意XN1，22因为X+2Y=4，所以Y=2-1所以E(Y)=2-12E(X)=故选C.【点睛】该题考查的正态分布的期望与方差，以及两个线性关系的变量的期望与方差之间的关系，属于简单题目.7、A【解析】令xex=t，构造g(x)=xex，要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,x【详解】令xex=t，构造g(x)=xex，求导得g(x)=故g(x)在-,1上单调递增，在1,+上单调递减，且x0时，g(x)0时，g(x)0，g(x)max=g(1)

10、=1e，可画出函数g(x)的图象（见下图），要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a0，即t1+t2=-a0t1故1-x若a4t1故选A. 【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.8、C【解析】试题分析：由题意可知，令得，令得所以考点：二项式系数9、C【解析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于的不等式，解出可得出函数的定义域【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为，故选C【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为”，考查计算能力，属于基础题10、A【解析】按性别分层抽样男生 女生各抽4人和2人

11、；从8名女生中抽4人的方法为种；，4名男生中抽2人的方法为种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为故选A11、D【解析】根据题目可知，利用正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质逐项分析，得出答案【详解】（1）随机变量服从正态分布，故选项正确（2）已知原命题是全称命题，故其否定为特称命题，将换为，条件不变，结论否定即可，故B选项正确（3）若随机变量服从二项分布：，则，故C选项正确（4）当时，“ab”不能推出“”，故D选项错误综上所述，故答案选D【点睛】本题是一个跨章节综合题，考查了正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量

12、的期望值公式以及不等式的基本性质四个知识点12、D【解析】取的中点为，由二面角平面角的定义可知；根据球的性质可知若和中心分别为，则平面，平面，根据已知的长度关系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可得结果.【详解】取的中点为由和都是正三角形，得，则是二面角的平面角，即设球心为，和中心分别为由球的性质可知：平面，平面又， ，外接球半径：外接球的表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】本题转化为把1

13、0个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.【详解】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内共有种故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.14、【解析】根据两地的经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定理求出球心角，利用弧长公式求解.【详解】由已知得 ，所以，所以，所以在中，所以，所以甲、乙两地的球面距离为.故得解.【点睛

14、】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题.15、【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。详解：1条直线将平面分成2个部分，即 2条直线将平面分成4个部分，即3条直线将平面分为7个部分，即4条直线将平面分为11个部分，即，所以 .根据累加法得所以 点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。在解题过程中，应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分析具体项，找到一般规律，再分析解决问题，属于中档题。16、7【解析】n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到.

15、【详解】从到共用去奇数个数为，而是从3开始的第24个奇数，当时，从到共用去奇数个数为个，当时，从到共用去奇数个数为个，所以.故答案为：7【点睛】本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）小李同学共有7种不同的选科方案（2）【解析】(1)运用排除法求解； (2)列出两位同学相同的选科方案，求比值可求解.【详解】解：（1）在化学、生物、政治、历史、地理任意选两门的方法数为，在化学、政治、历史任意选两门的方法数为，因此，小李同学共有7种不同的选科方案；（2）小吴同学有4种不同的选科

16、方案，小吴同学与小李同学两人选科的方案共有种，其中两人选科相同的方案只有1种，因此，小吴同学与小李同学选科方案相同的概率为.【点睛】本题考查有条件的组合问题，属于基础题.18、（1）男生40名，女生40名；（2）列联表见解析，【解析】（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，由算出即可（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.【详解】解：（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，则，解得.所以女生有（名）.（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），所以可得下

17、列列表：身高身高总计男生301040女生43640总计344680由列联表中数据得的观测值为，所以能有的把握认为身高与性别有关.【点睛】本题考查的是统计的相关知识，注意根据观察值与临界值的大小关系得出结论，本题较简单.19、.【解析】试题分析：由真可得，由真可得，为假，为真等价于一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.试题解析：若正确，则， 若正确，为假，为真，一真一假 即的取值范围为.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题可得，即，由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，从而证明平面平面；（2）结合（1），如图建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由

18、二面角的余弦公式求出余弦值，从而可得到平面与平面所成二面角的正弦值【详解】（1）证明：设，在矩形中，由为的中点，易求得：，所以所以又因为平面平面，平面平面，所以平面又平面，所以平面平面.（2）设，取中点，连接由，得，所以又平面平面，平面平面，故平面如图，以 为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，依题意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即不妨取，得，设平面与平面所成二面角为，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空间向量解决问题的能力，属于中档题21、 (1) ;(2) 的取值范围为.【解析】分析：（1）进行分类讨论，分别解出种情况下不等式的解集，最后取并集可得不等式的解集；（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，可得，从而可得结果.详解：（1）当时， 即不等式的解集为（2）由已知在上恒成立，由，不等式等价于在上恒成立，由，得即：在上恒成立， 的取值范围为点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想22、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）利用组合