高等数学-函数的极限与连续习题及答案

1、第一章 函数与极限一、是非题：1、函数 错误3f x x 2x 1 与函数 g x xx 1 1相同当两个函数的定义域和函数关系相同时,就这两个函数是相同的；fxx2xxx1与gxx31函数关系相同, 但定义域不同, 所x12、假如 错误以f与g是不同的函数；fxM（ M 为一个常数） ,就fx为无穷大依据无穷大的定义,此题是错误的；3、假如数列有界,就极限存在错误如：数列xn1n是有界数列,但极限不存在n不存在；4、nlimana,nlimana错误如：数列an1n,lim n1 n1,但lim n1 5、假如xlimfxA,就fxA（当 x时,为无穷小）的高阶无穷小量；212正确依据函数、

2、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的；6、假如,就o正确lim1,是limlim10,即是7、当x0时,1cosx与2 x 是同阶无穷小正确lim x 01cosxlim x 02sin2xlim x 021sinx22x2x24x28、lim x 0 xsin1lim x 0 xlim x 0sin10 xx错误lim x 0sin1 x不存在,不行利用两个函数乘积求极限的法就运算；9、lim x 011xex错误lim x11xe）；0）x10、点x0是函数yx的无穷间断点x错误x lim 00 xx lim 00 x1,x lim 00 xx lim 00 x1xxxx点x0是函数yx的

3、第一类间断点x11、函数fx1必在闭区间a,b内取得最大值、最小值x错误依据连续函数在闭区间上的性质,fx1在x0处不连续x函数fx1在闭区间a,b内不肯定取得最大值、最小值x二、填空题：1、设yfx的定义域是1,0,就（）fx e的定义域是（,0）；（）f1sin2x的定义域是（x xk,xk2kZ（）f lgx的定义域是（1,10）答案：（1）0ex 1sin 2 xx 11（2）（3）0 01 lg）x22x02、函数fx0 x0的定义域是（2 , 4）x230 x43、设fxsin x2,xx21,就fx（2 sin x124、lim nnsinx（x）nlim nnsinxlim n

4、sinxlim nsinxxxnnn1xx（nn1xx15、设fxcosx1x1,就xlim 1 0fx（2 ）,x lim 10f2x1x1x lim 1 0 f x x lim 1 1 0 x 2,x lim 1 0 f x x lim 1 0 x 1 06、设 f x 1x cosa 2 xxx 00,假如 f x 在 x 0 处连续,就 a（12）limx 0 1x cos2 x 12,假如 f x 在 x 0 处连续,就 limx 0 1x cos2 x 12 f 0 a7、设 x 是初等函数 f x 定义区间内的点,就x lim x 0 f x（f 0 x）初等函数 f x 在定义

5、区间内连续,lim x x 0 f x f x 018、函数 y 2 当 x（1）时为无穷大,当 x（）时为无穷小x 1lim x 1 x 11 2,lim x x 11 2 09、如x lim x 2 x 1 ax b 0,就 a（1）, b（12）2lim x x 1 ax bxx lim x 2 x 1x ax2 x b1 x 2ax xb 1 ax bx lim x 2x 2 xx 11 axax bb 2x lim 1 a 2xx 22 1x 21 abax xb 1 b 2欲使上式成立,令 1 a 2 0,a 1,上式化简为alim x,122ab x1b2lim x112ab1b

6、2lim x12abxxx1axb11ab1ax2112ab0,b1xx210、函数fx111的间断点是（x0 x1）2x1,1 3,3）11、fxx2x2的连续区间是（x24x312、如lim xax2sinx2,就 a（2）xa02alim xax2sinxlim xa2sinxlim xa0 xx13、lim xsinx（0）,lim xxsin1（1）,xxlim x 01x1（e1）,lim x11kx（k e）xxlim xxsin1lim xsin11lim xsinxlim x1sinx0 xxxx1xxlim x 01x1lim x 01x 11e1xxlim x11kxli

7、m x11xkk e）,lim sinarc cot xxx14、lim sinarctan xx（不存在（0 ）三、挑选填空：1、假如nlimx na,就数列x 是（b）ax121a.单调递增数列b有界数列c发散数列2、函数fxlogaxx21是（a）a奇函数b偶函数c非奇非偶函数fxlogaxx 21logx3、当x0时,elogaxx21fxx1是 x 的（c）a高阶无穷小b低阶无穷小c等价无穷小4、假如函数fx在x 点的某个邻域内恒有fxM（ M 是正数）,就函数fx在该邻域内（c）a极限存在b连续c有界5、函数fx111x在（c）条件下趋于. x10abx10cx6、设函数fxsin

8、x,就lim x 0fx（c ）xabc不存在x lim 00sinxx lim 00sinxxlim 00sinx1xxxxlim 00sinxx lim 00sinx1xx依据极限存在定理知：lim x 0fx不存在；7、假如函数fx当x0 x时极限存在,就函数fx在x 点（c）a有定义b无定义c不肯定有定义fx当x0 x时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系；8、数列,1 ,21 , ,31 ,n, 当 n n时为（c）a无穷大b无穷小c发散但不是无穷大9、函数fx在0 x 点有极限是函数fx在x 点连续的（b）a充分条件b必要条件c充分必要条件10、点x0是函数arctan1的（b

9、）xa连续点b第一类间断点c其次类间断点lim arctan x 0 012lim arctan x 0 012xx依据左右极限存在的点为第一类间断点；11、点x0是函数sin1的（c）xa连续点b第一类间断点c其次类间断点四、运算以下极限：1、lim nn3n1n解lim nn3 n1nlim n111n133n32、lim x 0tan3xsin 2x解lim x 0tan3xxlim x 03x3（x0 ,sin2x 2 ,tan3x 3x）xsin 2x2x23、xlimxxxxxxxxxxxlimxxxxlimx4、2xxxxxlim xxxx1x12lim x1111xxlim n

10、2 nn1n2n解lim nn2xn1nn2nlim nn2n1n2nnn2n2n1n2nn21nlim nn22 n1n2nlim n1121111n115、x lim 00nn2n3x2xsinxlim x 00 xx3x2lim x 00 x1xlim x 0011x1211sinxxsinxsinx26、lim x 0 xsinx1x1x2lim x 0 1x 21x211lim x 0 x212xlim x 0 xsinx11x2x 21 1x2xlim x 01x2127、lim x 0 x1x1lim x 0 x1x1lim x 0 x11lim x 0 x1x1x18、lim

11、x 1xxxlim x 1xxx1111lim x 1xx xsinxtan1 x9、lim x 0lim x 0sinx31cosxlim x 0 x1x21xx3lim x 0tanxx3sinx2 3 xxcosxcos2x0,1cosx1x2, sinx 210、xlim 001xx1lim x 00 xx21cos2xlim x 0解01cos2x1 222x01,1 x 22cosx11、lim xx x1xx1xe111x1lim xxlim x解x111xe2 e12、lim xxln11 xx解lim xxln1x1xlim xln11xxlnlim x11x1xxxcos13、lim xxxcosxcoslim x1cos1x解lim xx cosxcosx1x14、lim x 1x221x1x1解lim x 1x21x11lim x 11xlim x 111212x21x2