高等数学教案

1、高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是运算机科学与技术；信息治理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也是该专业的核心|精. 课程；要使同学获得“ 向量代数” 与“ 空间解析几何”,“ 微积分”,|品. |可. |编. |辑. |学. “ 常微分方程与无穷级数” 等方面的基本概论、基本理论与基本运 算；同时要通过各个教学环节逐步培训同学的抽象概括才能、规律|习. |资. |料. * | 推理才能、空间想象才能和自学才能；在传授学问的同时,要着眼 于提高同学的数学素养,培育同学用数学的方法去解决实际问题的 * | * 意识、爱好和才能； | * | |欢. |迎. |下

2、. |载. 第一章：函数与极限教学目的与要求18 学时1.解函数的概念, 把握函数的表示方法,关系式；并会建立简洁应用问题中的函数2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；3.懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数及隐函数的概念；4.把握基本初等函数的性质及其图形；5.懂得极限的概念, 懂得函数左极限与右极限的概念,右极限之间的关系；6.把握极限的性质及四就运算法就；以及极限存在与左、7.明白极限存在的两个准就,并会利用它们求极限,把握利用两个重要极限求极限的方法；8.懂得无穷小、 无穷大的概念, 把握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限；9.懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续）型；

3、,会判别函数间断点的类10.明白连续函数的性质和初等函数的连续性,明白闭区间上连续函数的第 1 页,共 33 页性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念,并会应用这些性质；具有某种特定性质的事物的总体叫做集合；组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ,B,C,D 表示集合；用a,b,c,d 表示集合中的元素|品. |可. 1 A a 1 , a 2 , a 3 , |精. |编. |辑. |学. |习. |资. 2 A x x 的性质 P |料. * | * | 元素与集合的关系：a A a A * | * | 一个集合,如它只含有有限个元

4、素,就称为 |欢. |迎. |下. |载. 称为 无限集 ；常见的数集： N,Z,Q,R,N+有限集 ；不是有限集的集合元素与集合的关系：A 、B 是两个集合,假如集合 A 的元素都是集合B 的元素,就称 A 是 B 的子集 ,记作 A B；假如集合 A 与集合 B 互为子集,就称 A 与 B 相等 ,记作 A B如作 A B 且 A B 就称 A 是 B 的真子集 ；空集：A2、 集合的运算并集AB：ABx|xA或xB 交集AB：且ABx|xAxB 第 2 页,共 33 页差集AB：ABCx|xA 且xB 全集 I 、E 补集A：集合的并、交、余运算满意以下法就：交换律、ABBAABBAA

5、cBc结合律、ABCABCCABCABCB安排律ABCAC|精. ABCACBC|品. |可. |编. |辑. B c|学. |习. |资. 对偶律 |料. ABcAcBcA * B | * 笛卡儿积 A Bx,y|xA 且y | * | a ,b * | |欢. |迎. 3、 区间和邻域|下. |载. 开区间a,b 闭区间a,b半开半闭区间a ,b有限、无限区间邻域：UaUa ,xaxaa 邻域的中心a,邻域的半径去心邻域U左、右邻域二、映射1. 映射概念第 3 页,共 33 页定义 设 X,Y 是两个非空集合,假如存在一个法就 f ,使得对 X 中的每一个元素 x ,按法就 f ,在 Y

6、中有唯独确定的元素 y 与之对应,就称 f 为从 X 到 Y 的映射 ,记作f：XYyfxD 上其中 y称为元素 x 的像,并记作f x ,即留意： 1）集合 X；集合 Y；对应法就f2）每个 X 有唯独的像；每个Y 的原像不唯独|精. f :DR为定义在|品. |可. |编. 3 单射、满射、双射|辑. |学. |习. |资. |料. 2、 映射、复合映射 * | * | 三、函数 * | * | |欢. 1、 函数的概念：|迎. |下. 定义：设数集DR,就称映射|载. 的函数记为yfxxD自变量、因变量、定义域、值域、函数值用 f 、 g 、函数相等：定义域、对应法就相等自然定义函数；单

7、值函数；多值函数、单值分枝. 例： 2 x1x03 符号函数y0 x01x0第 4 页,共 33 页4 取整函数yxx（阶梯曲线）5 分段函数0 x12y1xx12、 函数的几种特性1） 函数的有界性上界、下界；有界、无界 有界的充要条件：既有上界又有下界；注：不同函数、不同定义域,有界性变化；2 函数的单调性（单增、单减）在 x 1、x2 点比较函数值|精. |品. |可. |编. f 1x 与 f x 2 的大小（注：与区间有关）|辑. |学. |习. |料. 3 函数的奇偶性 定义域对称、f x 与 f x 关系打算 |资. * | * | * 图形特点 关于原点、 Y 轴对称 | *

8、| |欢. |迎. 4函数的周期性 定义域中成立：f x l f x |下. |载. 3、反函数与复合函数反函数 ：函数 f : D f D 是单射, 就有逆映射 f 1 y x,称此映射 f 1为 f 函数的反函数函数与反函数的图像关 y x 于对称复合函数 ：函数 u g y 定义域为 D 1,函数 y f x 在 D 上有定义、且 f D D 1；就 u g f x g f x 为复合函数；留意：构成条件 4、函数的运算注：只有定义域相同的函数才能运算 5、和、差、积、商初等函数：第 5 页,共 33 页1 幂函数：yyxax2指数函数：yax3 对数函数loga4三角函数ysinx,y

9、cosx,ytanx ,ycotx5 反三角函数yarcsin x,yxarccosx yarctan x yarccotx|精. |品. |可. 以上五种函数为基本初等函数exex|编. |辑. |学. |习. |资. 6 双曲函数|料. * | shxx e2exchx * | * 2 | * | |欢. thxshxexe|迎. |下. |载. chxexex注：双曲函数的单调性、奇偶性；双曲函数公式sh xyshxchychxshysh xyshxchychxshych xychxchyshxshych xychxchyshxshy反双曲函数：yarshxyarchxyarthx作业

10、： 同步练习册练习一第 6 页,共 33 页其次节：数列的极限 一、数列数列就是由数组成的序列；1）这个序列中的每个数都编了号；2）序列中有无限多个成员；|精. 一般写成：a 1a 2a3a4an0,记为缩写为u n|品. 例 1 数列1是这样一个数列x n,其中|可. |编. |辑. |学. |习. n|资. |料. * x n1,n,12 ,34 ,5 | * | * n | * | 也可写为：|欢. |迎. |下. 11111|载. 2345可发觉：这个数列有个趋势,数值越来越小,无限接近lim n10n第 7 页,共 33 页1、极限的N 定义 ：naNx na就称数列x n的极限0N

11、为 a,记成nlimxn也可等价表述：1）0 N n N x n a 2）0 N n N x n O a |精. |品. 极限是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没 |可. |编. |辑. 有关系；|学. |习. |资. |料. * | * | * | * 二、 收敛数列的性质 | |欢. |迎. |下. |载. 定理 1：假如数列 x n 收敛,那么它的极限是唯独定理 2 假如数列 x n 收敛,那么数列 x n 肯定有界定理 3：假如 xlim xn a 且 a0a0,当 nN 时,x n 0 x n 0 定理 4、假如数列 x n 收敛于 a 那么它的任一子 数列也收敛

12、,且收敛于 a；第 8 页,共 33 页第三节：函数的极限一、极限的定义1、在 x 点的极限1）x 可在函数的定义域内,也可不在, 不涉及 f 在 x 有没有定义,以 及 函 数 值 f x 0 的 大 小 ； 只 要 满 足 ： 存 在 某 个 0 使 ： x 0 , x 0 x 0 , x 0 D；|精. |品. |可. 2）假如自变量 x 趋于 x 时,相应的函数值 f x 有一个总趋势 -|编. |辑. |习. |资. 以某个实数 A 为极限,就记为：x lim x 0 f x A；|学. |料. * | * | 形式定义为： * | * | |欢. 0 x 0 x x 0 f x A

13、|迎. |下. |载. 注：左、右极限；单侧极限、极限的关系2、 x 的极限设：y f x x , 假如当时函数值 有一个总趋势- 该曲线有一条水平渐近线 y A- 就称函数在无限远点 有极限；记为：lim f x Ax在无穷远点 的左右极限：f lim f x xf x lim f x 关系为：第 9 页,共 33 页lim xfxAlim xfxAlim xfx二、函数极限的性质1、 极限的唯独性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系|精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. * | * | * | * | |欢. |

14、迎. |下. |载. 第 10 页,共 33 页第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列 x n,假如成立如下的命题：0 N n N x n 就 称 它 为 无 穷 小 量 , 即lim x n 0 x注：1、的意义；2、x n 可写成 x n 0； 0 , x n |精. |品. |可. 3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数,存在一个号码 |编. |辑. |学. |习. |资. N,使在这个号码以后的全部的号码 n,相应的 x 与极限 0 的距离比这 |料. * | * | 个给定的 仍小；它是我们在直观上对于一个数列趋于 0 的熟悉； * | * | |欢. 定理 1 在自变

15、量的同一变化过程 x x 0（或 x 中,函数 f x|迎. |下. |载. 具有极限 A 的充分必要条件是 f x A,其中 是无穷小；二、无穷大定义一个数列nx,假如成立：nG那么称它为无穷大量；记成：G0NnNx nlim xxn；G0NnNx nG,就称为正无穷大,记特殊地,假如成lim xxnG0NNxnG,就称为负无穷大,特殊地, 假如第 11 页,共 33 页记成lim xxn注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量；三、无穷小和无穷大的关系定理 2 在自变量的同一变化过程中,假如f x为无穷大,就f1x为无穷小；反之,假如fx为无穷小,且fx0就f1为无穷大x即：非零的无

16、穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有|精. lim x0lim x1|品. |可. |编. x n|辑. |学. |习. |资. |料. lim xlim x10 * | * xn | * | * | |欢. |迎. 留意是在自变量的同一个变化过程中|下. |载. 第五节：极限运算法就1、无穷小的性质设xn和y n是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：lim x n 0 lim y n 0 lim x n y n 0 x x x（2）对于任意常数 C,数列 c x n 也是无穷小量：limx x n 0 limx c x n 0（ 3）xn y n 也是无穷小量,两个无穷

17、小量的积是一个无穷小量；第 12 页,共 33 页lim xxn00lim xyn0nlim xxnyn0（ 4）x n也是无穷小量：x0lim x xxn0lim x x 0（ 5）无穷小与有界函数的积为无穷小；2、函数极限的四就运算|精. 1、 如函数 f 和 g 在点0 x 有极限,就gx0,lim x x 0fx gxx lim x0fx x lim x 02、 函数 f 在点x 有极限,就对任何常数a 成立|品. |可. |编. |辑. x lim x 0afxax lim x 0fxx |学. |习. |资. |料. * | 3、如函数f 和 g 在点x 有极限,就 * | * |

18、 * lim x x 0fxgx lim x x0fxlim x x 0g | |欢. |迎. |下. |载. 3、 如函数 f 和g在点0 x 有极限,并且x lim x 0gx就lim x x 0fxlim x x 0fx f 和 g 在点x 有极限lim x x 0gx gx极限的四就运算成立的条件是如函数例：求下述极限lim x 3 x x23lim x 1x22xx3495lim x3x34x22lim x3x22x17x35 x2323 xx25第 13 页,共 33 页3 lim x 2 3 x x 22 x5lim xsinx4、复2 x1x合函数的极限运算法就定理 6 设函数

19、 y f g x 是由函数 y f u 与 u g x 复合而成,f g x 在点 x 的 某去心邻域内有定义,如 lim x x 0 g x u 0,0u lim u 0 f u A,且存在 0 0,当 x u x 0 , 0 时,有g x u 0,就|精. |品. |可. |辑. |学. lim f g x lim f u A |编. |习. |资. x x 0 u u 0|料. * | * | * 第六节：极限存在准就 两个重要极限 | * | |欢. |迎. 定理 1 夹逼定理：三数列 x n、y n 和 z n,假如从某个号码起成|下. |载. 立： 1）x n y n z n,并且

20、已知 x n 和 z n 收敛,2）lim x x n a lim x z n,就有结论：xlim yn a定理 2 单调有界数列肯定收敛；单调增加有上界的数列肯定收敛；单调削减有下界的数列肯定收敛；例：证明：lim x 0sinx1x第 14 页,共 33 页例： 1lim x 0tanxlim x 01cosxxx2证明：lim xlim x 0arcsinxlim x 11x的极限x1 xx有界；求x|精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载. 第 15 页,共 33 页第七节：无穷小的比较定义：如

21、,为无穷小0limlim且limc0sinxxlimKc0lim1|精. |品. |可. |编. |辑. |学. 高阶、低阶、同阶、k 阶、等价|习. |资. |料. 1、如,为等价无穷小就 * | * | 2、如1 、1 且lim1 1存在, * | * | lim x 0 x|欢. |迎. |下. 就：limlim1|载. 1例：lim x 0tan2xsin5x331lim x 0 1x2311cosx第 16 页,共 33 页第八节：函数的连续性与间断点一、函数在一点的连续性、左极限；函数 f 在点x 连续,当且仅当该点的函数值fx0f0 x0 与右极限fx00 三者相等：fx 00

22、fx0fx00 或者：当且仅当函数f 在点0 x 有极限且此极限等于该点的函数值lim x x 0fx fx 0其形式定义如下：|精. 0 xxx0fxfx 0|品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. 函数在区间（ a,b）连续指：区间中每一点都连续； * | * | 函数在区间 a,b连续时装意端点； * | * | 注：左右连续,在区间上连续 |欢. 留意端点 |迎. |下. |载. 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点如：fx 00 fx 0fx00 中有某一个等式不成立, 就间断,分为：1、 第一类间断点：fx00 fx 00即函数在点的左右极限皆存在

23、但不相等,曲线段上显现一个跳动；2 、其次类间断点0 x ：左极限fx 00 与右极限fx 00 两者第 17 页,共 33 页之中至少有一个不存在例：见教材第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四就运算1. x lim x 0 f x f x 0 且x limx 0 g x g x 0 ,x lim x 0 f x g x f x 0 g x 0 2x limx 0 f x f x 0 且 limx x 0 g x g x 0 ,|精. |品. |可. x limx 0 f x g x f x 0 g x 0 |编. |辑. |学. |习. |资. 3. x lim x 0

24、f x f x 0 且x limx 0 g x g x 0 0,|料. * | * | * | * limx x 0 g f x x g f x x0 0 | |欢. |下. 反函数连续定理：假如函数 f : y f x x D f 是严格单调增加|迎. |载. 1 1（削减） 并且连续的, 就存在它的反函数 f：x f y y D f 并且 f 1也是严格单调增加（削减）并且连续的；注：1）反函数的定义域就是原先的值域；2）通常惯用 X 表示自变量, Y 表示因变量；反函数也可表成1y f x x D f 1复合函数的连续性定理：g x 0设函数 f 和 g 满意复合条件gDf,如函数 g

25、在点 x0 连续；u0,又如 f 函数在点u 连续,就复合函数fg在点x 连续；注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：第 18 页,共 33 页lim x x 0fgxflim x x 0gx 从这些基本初等函数出,通过如干次四就运算以及复合,得到的种种函数统称为初等函数,并且：初等函数在其定义区间内连续；第十节：闭区间上连续函数的性质一、最大、最小值设函数：y f x , x D 在上有界,现在问在值域|精. |品. D 1 y y f x , x D|可. |编. |学. |习. 中是否有一个最大的实数？假如存在,譬如说它是某个点 x0 D 的函数 |辑. |资. |料. |

26、 * 值 y 0 f x 0 ,就记 y 0 max x D f x 叫做函数在 D 上的最大值； * | * | * | 类似地,假如 D f 中有一个最小实数, 譬如说它是某个点 x2 D f 的|欢. |迎. |载. 函数值 y 2 f x 2 ,就记 y 2 min x D f f x 称为函数在上的最小 |下. 值 ；二、有界性有界性定理： 假如函数f 在闭区间a,b上连续, 就它在a,b上有界；三、零点、介值定理a,最大值和最小值定理：假如函数f 在闭区间a,b上连续就它在b上有最大值和最小值,也就是说存在两个点和,使得ffx f,xa ,b第 19 页,共 33 页亦即fx 0m

27、inx a , bfx fmaxx a , bfx 如 x 0使f0,就称 x 0 为函数的零点零点定理：假如函数f 在闭区间a,b上连续,且f 在区间a,b的两个端点异号：fa*fb0就至少有一个零点a,b,使f0|精. |品. |可. 中值定理：f 在a,b上能取到它的最大|编. |辑. 假如函数f 在闭区间a,b上连续,就|学. |习. |资. |料. * | 值 和最小值 之间的任何一个中间值； * | * | * | 作业：见课后各章节练习；|欢. |迎. |下. |载. 第 20 页,共 33 页其次章 导数与微分教学目的与要求 22 学时1、懂得导数和微分的概念与微分的关系和导数

28、的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,明白导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,懂得函数的可导性与连续性之间的的关系；2、娴熟把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法就,娴熟把握基本初等函数的导数公式,明白微分的四就运算法就和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分；3、明白高阶导数的概念,会求某些简洁函数的 n 阶导数；4、会求分段函数的导数；5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数；|精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. 一、导数概念（0 ） * | 0 * | * | * 1、定义 f / x 0 lim x 0 yx

29、| |欢. |迎. lim fx 0 x fx 0 |下. |载. x 0 xfx fx 0 lim x x 0 x x 0f / x lim fx x fxx 0 x左导数f/-xlim-fx0 xfx0 xlimfx-fx0 xxx0 x0 x0右导数f/xf/limfx0f/-x0fx0 xlimfx-fx0 xxx0 x0 x0 x0Axf/x0A可以证明：可导连续；即可导是连续的充分条件；连续是可导的必要条件；第 21 页,共 33 页左右导数 注：与左右极限关系 2、导数的几何意义曲线yfx在点x0y0处切线：yy0f/x0 xx0例 1：争论fxxsin1x0在 x=0 处可导性

30、x0 x0解：lim x 0fxlim x0 xsin10f0 xfx 在 x = 0 连续|精. 0h-不存在fx 在|品. 0fx-f0lim x 0sin1|可. |编. |辑. |学. lim xx-0 x|习. |资. |料. x = 0 不行导 * 例 2：已知f/x0存在 | * | * | lim h 0fx02h-fx02f/x0 * | 就 |欢. h|迎. |下. lim h 0fx0-fx0f5/xfx05h|载. hlim h 0fx 03h hfx 0h=lim h 0fx03 h-fx0fx0hh4 f/x0例 3：设函数 fx 可微,就lim x 0f2xx-f

31、2x2fxf/xa、b x例 4：设fxx2bxx0axx0为使 fx 在 x = x 0 处可导,应如何选取常数第 22 页,共 33 页解：第一 fx 必需在 x 0 连续x limx 0-fxx limx 0-x 2 x 20lim fx lim ax b ax 0 bx x 0 x x 0ax b x 20 f-/ xx limx 0 fxx-x fx0 0 x limx 0 xx 2-x x0 20lim x x 0 2x 0|精. x x 0|品. |可. |编. / fx fx 0 ax b-x 20|辑. |学. |习. f xx limx 0 x-x 0 x limx 0 x

32、-x 0|资. |料. * | lim ax-ax 0 a * | x x 0 x-x 0 * | （由 得） * | |欢. |迎. f / x 0 存在|下. |载. a 2 x 0 从而 b x 0 2例 5： fx = x x-1x-2 x-9 , 就 f / 0 .9f / 0 lim fx-f0 x 0 x-0lim x 1x 2 x 9 9 .x 0例 6：设 fx 在 x = 0 领域内连续,lim fx2,x 0 1 x 1/就 f 0 1f0 lim fx 0（分母 0）x 0第 23 页,共 33 页f/0lim x 0fx-f0lim x 0fx211cx-0 xlim

33、 x01fx-11x1xx2afx-af0例 7：设函数f 1+x = a f x ,且f/0ba , b 0,问f/1存在否 . 解：f/1lim x0f1x-f1lim x0 xabx|精. lim x0afx-f0af/0 x|品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. 二、导数的求法 |料. * | * | * 1、显函数导数 求一个显函数的导数需解决： | 基本初等函数导数P64; * | 导数四就运算法就P 65; |欢. |迎. |下. 复合函数与反函数求导法就P66 ；|载. 定理：ux在 X 有导数du ,yfu在对应点 u 有导数dy ,dudx就复合函数yfx在

34、 X处也有导数,dydyduf/u/x；dxdudx例 1：yxsin2x21求/y解：y/sin2x21x4xcos2x21例 2：yln1x2求y/解：y1ln1x2y/112x21x222xx第 24 页,共 33 页例 3：yarctgxx求y/解：y /11求y/1x2aarctg1例 4：yx解：y/aarctg1lna11211lna2aarctg1axa1xx1x2xx例 5：yln32x1求y/|精. |品. 解：y/3ln22x1212x|可. |编. |辑. |学. |习. yxxx求y/|资. |料. 例 6： * | * | y/2x1xx12x1x121x * |

35、* 解： | |欢. |迎. |下. yxsinx求y/|载. 例 7：解：ye sinxlnxy/xsinxsinxcosxlnxx例 8：yabxxabbxa求y/解：y/abxlnabxlnbabxab1bxalnb例 9：ylnee2x1求/y2x解：y1lne2xlne 2x1x1lne 2x122y/1-12e2x1112x2e2xe第 25 页,共 33 页高阶导数、二阶：d2yxx0lim x0f/x0 xxf/x0dydx2xfxlim x0f/xf/x0求例 10：yxx0lnxe 2x,f/dx解：dy dxdfe2xde2xde2xdxf/e2x2e2x|精. |品.

36、|编. |辑. lne 2x 2e 2x 4xe 2x |可. |学. |习. |资. |料. 先讲微分（后页） * | * | * 2、 隐函数导数参数方程导数 | * | 如方程 Fx,y=0 确定了 y=yx ,只需方程两边对|欢. |迎. |下. |载. 例 10：求以下隐函数的导数（1）设 ysinx cos x y 0 求 y /解： 方程两边对 x 求导,y / sinx ycosx sin x y 1 y / 0y/ ycosx sin x ysin x y sinxx 求导,留意 y=yx （2）设yyx是由方程exyxlnxy10所确定的隐函数,求y/01,x=0 ,y1代

37、 入 得 ：解： 由原方程知当x=0 时,ye方程两边对x 求导；exyyxy/y/110, 将ye第 26 页,共 33 页1 ey / 0 1 0y/ 0 1 1 1e e e3 y y x 是由方程 ey xy e 所确定的隐函数 , 试求 y/ 0 , y/ 0；解: 方程两边对 x 求导：e y y / y xy / 0 方程两边再对 x 求导：e y y / e y y / 2 2y / xy / 0 |精. |品. 由原方程知,当 x 0 时,y 1,代入得 y/ 0 1|可. |编. e|辑. |学. |习. 再将 x 0,y 1,y/ 0 1 代入式,|资. |料. e *

38、* | * | * 得 y / 0 e 12 | | |欢. |迎. |下. |载. 4 设 xy et 23 t1 1 求 dx dy, ddx 2 y2dy 解：dydx dx dt2 3e t2 2t 32 t 2 e 2 tdt2 d dy d dydx ddx y2 dx dx dx dt 32 2 te 2 t 2 t 2 e 2 t 2 e 12 tdt 5 设yy3t 1te4 tyxeyt22t130所确定的函数, 求：dy ；2 x 是由方程组sintdx解：第 27 页,共 33 页dx2t2tteysintdy0tdy1eycosttdtdyeycosdtdtdteys

39、indydy2eycostsindt dxdx1 1y edt3、分段函数的导数11 ,11设fx2 a xasinx,12,x0a0 ,aa|精. x0 x|品. |可. |编. 求：|辑. f/x|学. |习. |资. x0 ,f/x2lnaaxsinx|料. * | * | 解：当ax0 ,f/xxcosx2 * | * x2 | |欢. |迎. |下. |载. f/_0 xlimfxf0 xlim2axaax0 x00 xlim2 ax12lnaa1xa0sinxf/0 xlimf xxf0 xlimxx0010 xlimsinx2xxlimcosxx2 x00f/0 f/0 第 28

40、 页,共 33 页f/0 不存在,故f/x x0 x0高阶导数（ n 阶）略,例yx 2x1 2x3 30,对函y646.2 设fx在（,）上具有二阶连续导数,且f0 fxx0数gxx|精. ax0|品. |可. |编. |辑. |学. |习. 1 确定 a 的值,使gx在（,）上连续|资. |料. * 2 对（ 1）中确定的 a ,证明gx在（,）上 | * | * | * | |欢. |迎. 解：一阶导数连续|下. |载. alim x 0g x lim x 0fxlim x 0f xxf0 f/0 x即当af/0 ,yx在x0连续,也就是在（,）连续g/0lim x 0g xxg0lim x 0fxxf/0