高等数学第七章向量

1、专业班级第七章姓名学号成果时间86 空间解析几何与向量代数7.2 7.1 空间直角坐标系向量及其加减法、向量与数的乘法一、判定题；1 点（ -1, -2,-3）是在第八卦限；同向；就（ （）2 任何向量都有确定的方向；（）3 任二向量a,b,如ab.就 a =b 同向； 4 如二向量a,b中意关系ab= a + b , 就a,bb反向；（b）5 如二向量a,b中意关系ab= a + b,就a,c6 如abac, 7 向量a,b满足a=b,就a,b同向；ab（）二、填空题；1 点（ 2,1,-3）关于坐标原点对称的点是2 点（ 4,3,-5）在 坐标面上的投影点是 M （0,3,-5）3 点（

2、5,-3,2）关于 的对称点是 M（5, -3,-2）；4 设向量 a 与 b 有共同的始点,就与 a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为5 已知向量 a 与 b 方向相反,且 | b | 2 | a |,就 b 由 a 表示为 b = ；6设 a, b 有共同的始点,就以 a, b 为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为；三、选择题；1点（ 4,-3,5）到 oy 轴的距离为（A ）423 2521（B）3 252（C）4232（D）42522已知梯形OABC 、 CB / OA 且 CB =OA 设 OA = a , OC = b ,就 AB2= （ A）1aba,（ B）a

3、1b（C）1ba（D）b1a22223设有非零向量b,如 ab,就必有专业 班级 姓名 学号 成果 时间 87 （A ）a b = a + b（B）a b = a b（C）a b a b（D）a b a b三、试证明以三点 A （4,1,9）、B（10, -1,6）、C（2,4,3）为顶点的三角形为等腰直角三角形；四、在 yoz平面上求与三个已知点 点 D；A （3, 1,2）、 B（ 4,-2,-2）、C（0,5,1）等距离的六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边,且长度为第三边的一半；专业班级姓名学号成果时间88 7.3 向量的坐标一、判定题1如一向量在另一向量上的投影为零,

4、就此二向量共线； ）2零向量在任一轴上投影为零；（）3设向量 a 的方向角=0,就 a 必垂直于 yoz面；（）4如、是向量 a 的方向角,就 cos,cos,cos 是单位向量；（）ax ,ay ,a z ；（|a |）5如 a =ax,ay,az ,就平行于向量a 的单位向量为 | a| a|二、填空题1设 a =4, a 与轴 l 的夹角为6,就prjla= 2.已知向量 a =4 ,-4,7 的终点坐标为（2,-1,7）,就 a 的始点坐标为3设三角形的三个顶点 A（ 2,-1,4）、B（3,2,-6）、 C（ -5, 0,2）,就 AB 边的中点坐标为,ABC 的重心坐标为；4已知平

5、行四边形 ABCD 的两个顶点 A（2,-3, -5）、B（-1,3,2）； 以及它的对角线交点 E（ 4,-1,7）,就顶点 C 的坐标为,就顶点 D 的坐标为；5设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、,且已知 = 60 ,=120 ；就 = 6设 a 的方向角为、,中意 cos =1 时, a 垂直于 坐标面；三、设 A（4,2 ,1）、 B（3,0,2）,求 AB 的方向余弦及与 AB 反向的单位向量；五、已知 OA =2 ,-3,6 , OB =-1 ,2,-2 ；OD 为 AOB的平分线,在 OD 上求一长度为 342 的向量；F 2=-5 ,1,3F 3=1 ,-2,4 ；这三个力作用

6、于点P（ 1,1,1）,五、设F =2 ,3,-5它们的合力为 F = PQ ,求：（1）点 Q 的坐标；（2） PQ 的大小；（3） PQ的方向余弦；专业班级姓名数量积学号成果时间89 7.4 向量积混合积一、判定题1ab 2a2b2c；b、c两两垂直；（）2 a（ab）=a2b（）（）3如 ab =ac且a0,就b4如ab=1,就ab=1 a,就a、（）5ab2=a22 abb2（）6abba（）7abc=bca（）8当 a =3 b 时, abc=0 （）9如a、b、c中意abc,bc（）10设非零向量a,b的方向角分别为1,1,1和22,2,2就（）cos a,b=cos1cos2co

7、s1coscos1cos2二、填空题1设ab=3,a,5 b,8就ab= P；5b与Q3 ab；2如a13 ,b19,ab24；就ab= ；3如ab2,且a,1 b2；就ab= 34已知a,3b26 ,ab72,就ab= ；5三向量a,b,c的混合积a,b,c的几何意义是6设a4,3 ,4 ,b2,21,就 Prja b = ；共线；7设a2,3 ,2 ,b4 ,64 ,就 ab= ；8设a,b为不共线向量,就当= 时；a三、选择题1设空间三点的坐标分别为M （1,-3,4）、N（-2,1,-1）、P（-3,-1,1）；就MNP = 专业班级3姓名（ C）、学号成果时间90 （A ）、（B）、

8、2（D）、442以下结论正确选项（A ）、aaa2（B）、如ab0就必a0或b0（C）、abcabac（D）、如a0,且a ba c就bc3设ax,3 2, ,b,14 ,4 .如a /b,就B、x=-0.5 y=-6 （A）、 x=0.5 y=6 C、x=1 y=-7 D 、x=-1 y=-3 四、设a2 ,1,1 ,b11 3, ,1,求与a、b均垂直的单位向量；五、设向量a2 3, ,1、b,12 3, 、c2,1,2 , 向量 d 与a,b均垂直,且在向量c上的投影是14,求向量d.a3时,a 12a22a32b 12b22b 32a1 b 1a2 b2a3b 32六、应用向量证明：当

9、、a1a2b 1b 2b3七、设 AD 为ABC 中 BC 边上的高,记BAc. BCa.证明：SABDacac2a2专业班级姓名学号成果时间91 7.5 曲面及其方程一、填空题1设点 P（1,-1,a）在曲面 x2+y2+z2-2x+4y=0 上,就 a= . 2以原点为球心,且过点（,）的球面方程是；设球面的方程为 x2+y 2+z 2-2x-4y+2z=0 ,就该球面的球心坐标是,球面的半径 为；将 zox 面上的抛物线 z2=5x,绕 ox 轴旋转而成的曲面方程是；圆锥为 x2+y2=3z2的半顶角；方程 y2=z 表示的曲面是曲线平行与 轴的 柱面；方程 y=x+1 在平面解析几何中

10、表示；而在空间解析几何中表示；二、选择题设球面的方程是 x2+y 2+z 2+x+Ey+Fz+G=0, 如该球面与三个坐标系都相切,就方程的系数应中意条件；（）、（）、 + + （）、 + + +（） XOZ 坐标面上的直线 x=z-1 绕 oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是；（） x 2+y 2 z-1 （）z x 22+y 2+ ）z 1 2 = x 2+y 2 D x 1 2 =y 2+z 23方程 x=2 在空间表示；（）、坐标面；（）、一个点；（）、一条直线；（）、与面平行的平面；4以下方程中 表示母线平行与 oy 轴的双曲柱面；（）x2y 2（）x2 +z2（）x2+z=1 D xz

11、=1 二、已知两点（,）、（,） ；点中意条件 PA PB,求点的轨迹方程；四、说明以下旋转曲面是怎样形成的；（x2+y2）2. 4x2+9y2+9z2=36 五画出以下各曲面的图形；Y2=2px p0 2由x+y=1 x2+y2=1 和 z=0 所围立体的表面；专业班级姓名学号成果时间92 .空间曲线及其方程一、填空题方程组 y5x1在平面解析几何中表示,在空间解析几何表示；,y2x3曲面 x2+y2-z2=0 与平面 z=3 的交线圆的方程是,其圆心坐标是9圆的半径为；,；曲线 2 x2 xy211 2z1 21在面上的投影曲线为y螺旋线x=acos,y=asin,z=b在面上的投影曲线为

12、上半锥面x2y2（z1）在面上的投影为；在面上的投影为,在面上的投影为6曲线xt21的一般式方程为；ytz2 t1二、选择题方程 x 2 y4 921在空间解析几何中表示；（）、两条平行直线；yz（）、椭圆柱面（）、椭圆曲线（）、两个平行平面已知曲线 x x2y2 y2 z2在坐标面上的投影曲线为y2yz2 z1,就 a zx0a（）、（）、（）、（）、参数方程x yacos的一般方程是；asinzb（）、x2+y2=a 2B、x=acoszC、y=asinzD 、xaz cos b z sin bbbya三、化曲线 x2xy22 z9为参数方程；y五画出以下曲线在第一卦限内的图形； x1；

13、x2y22 a2 ay2x22 z专业班级姓名学号成果时间93 .平面及其方程一、填空题过点 （, ,）且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程；三平面 x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3 的交点坐标是；过点（,）且平行与平面的平面方程是；过点 （,）和 （,）且平行于轴的平面方程是；点（,）到平面 x+2y+2z-10=0 的距离是；当 l = ,及 m= 时,二平面 2x+my+3z-5=0 与 l x-6y-6z+2=0 相互平行；二、选择题平面 x -2z = 0 的位置是；（）、平行坐标面；（）、平行轴（）、垂直于轴（）、通过轴以下平面中通过坐标原点

14、的平面是；（）、x=1 、x+2z+3y+4=0 C、3x-1-y+y+3=0 D 、x+y+z=1 3已知二平面 ：mx+y-3z+1=0 与 ： x-2y-z=0 当 m ；（）、（）、（）、（）、二平面 ：x + y - 11=0, 2: 3x +8=0 的夹角；（）、（）、2三、求通过三点（,）（）、（）、（,）和（,）的平面方程；四、求通过点（,）、（,）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0 平面方程；五、求通过轴且与平面2x+y-5 z-7=0 的夹角为的平面方程；六、证明：二平行平面x+By+Cz+D 1=0 , Ax+By+Cz+D2=0 之间的距离公式：d AD2BD 1C2

15、22专业班级姓名学号成果时间94 .空间直线及其方程一、填空题过点（, ）且平行于直线x322yz51的直线方程为；过点 （,）且与直线 x2y4z71垂直的平面方程为3x5y2z过点 （0,2,4）且与二平面x + 2z = 1 和 y - 3z = 2 平行的直线方程是4当 m= 时,直线x41y32z与平面 mx+3y-5z+1=0 平行；15直线 xy3z0与 x-y-z+1=0 的夹角为；xyz0二、选择题1以下直线中平行与XOY 坐标面的是；（A）x11y32z23（C）x01y01z1（B）4xzy440（D）x1t2 tx0y3z42直线 L1：x22yyz77与 L2：3x6

16、yz3z8的关系是；xz2xy0（A ）、L 1L 2 （B）、 L1/L 2 （C）、 L 1 与 L 2 相交但不垂直； （D）、L1 与 L 2 为异面直线；3直线 L：x3 2y4z与平面：4x-2y-2z=3 的关系是；73（A ）、平行（B）、垂直相交（C）、L 在上（ D）、相交但不垂直4设在直线L 1：x1152yz18与L：XY6就 L 1 与 L 2 的夹角为；2 YZ3（A ）、/6 B、/4 （C）、/3 （D）、/2 5两平行线xt,1y2t1 ,zt与x12y21z11之间的距离是（）、（）、（）、（）、233三、设直线L 通过（,）且与L1：6x3y2z相交,又与

17、L ：x21y12z43垂直,求直线L 的方程；专业班级姓名z8学号y成果2时间95 四、证明直线 x22yyz77与直线 3x6y3xz2xyz0相互平行；z的平面方程；x1五、求通过点（,）且又通过直线213六、求通过点（,）且与直线x35yz25垂直相交的直线；22七、求点（,）关于直线xxyy4z120的对称点坐标22z30八、设直线：xy11z21与平面：xyz301（） . 求证与 相交,并求交点坐标（） . 求与 交角；（） . 通过与 交点且与垂直的平面方程；（） . 通过且与 垂直的平面方程；（） .在 上的投影直线方程；专业班级姓名.学号成果时间96 二 次 曲 面一、填空

18、题曲线 y22 z2x0在面上的投影曲线方程为；z3Z=x2+y2 与平面 y+z=1 的交线在 XOY 面上的投影曲线方程是抛物面3当 k= 时,平面 x = k 与曲面x2y2z21的交线是一对相交直线；4944椭圆 2 x41z2y22 z1的长半轴为；95圆x22 y2 z25的圆心坐标为,半径为；x3二、选择题1方程 y 2+z 2-4x+8=0 表示；A 、单叶双曲面（B）、双叶双曲面（C）、锥面（D）、旋转抛物面2 2x y2二次曲面 Z = 2 2 与平面 y = h 相截其截痕是空间中的；a b（A）、抛物线（B）、双曲线（C）、椭圆（D）、直线3双曲抛物面 x2-y2=z

19、在 XOZ 坐标面上的截痕是；2 2 2 2y z x z x y 0（A）、 x 2=z B、（C）、（D）、x 0 y 0 z 04曲面 x 2 + y 2 + z 2 = a 与 x 2+y 2 = 2 a z a0 的交线是；（A ）、抛物线（B）、双曲线（C）、圆周（D）、椭圆2 2 25旋转双叶双曲面 x2 y2 z2 1 的旋转轴是；a b ay z（A ）、OX 轴（B）、OY 轴（C）、OZ 轴（D）、直线x 02 2 2三、证明：单叶双曲面 x y z 1 与平面 x 2 z 3 0 的交线在 XOY 坐标面上的16 4 5投影曲线是椭圆；并求出该椭圆的中心和长、短半轴的大

20、小；专业x2y班级2x2y14姓名学号成果时间97 四、求圆 2z22x2yz1的圆心和半径；五、画出以下方程的表示曲面；zx2y2. 16x24y2z26444六、画出以下各曲面所围成的立体的图形； x=0 z=0 x=1 y=z z=y/4 在第一卦限内的部分 2x=0 y=0 z=0 z=2x2+y2=R2 专业班级姓名学号成果时间98 第七章自测题一一、判定题如a0,且abac或abac,就bc；3,3,3；（）（）2与 ox,oy,oz 三个坐标轴之正向有相等夹角的向量,其方向角必为3平面zyz1与 6x+4y+3z+12=0 平行； ）234（）4向量aacbac与 c恒垂直；5直

21、线 L：x21y3z52是平面 4x+3y-z+3=0 上的直线；（）16直线xz0 不在曲面x2y2z21上；ac2223x2y2（）abcyb7 位于xoy坐标面之上的球面x2y2z24与锥面z的交线为x2y2z24 z3 x2y2二、选择题1以下命题,正确选项；（A ）、ijk是单位向量；（B）、j 非单位向量（C）、a2a2（D）、aaba2b2如直线x11y21z1和直线x11y11z相交,就= ；（A ）、1 （B）、3/2 （C）、-5/4 （D、5/4 3母线平行于x 轴且通过曲线2x2yy2zz216的柱面方程是；x2220（A）、 x2 +2y = 16 B、3y2 - z

22、2 = 16 C、3x2 + 2z2 = 16 D 、-y2 + 3z2 = 16 4.旋转曲面x2y2z20的旋转轴是；223（A ）、oz 轴；（ B）、oy 轴；C、ox 轴；D 、直线 x = y = z 5.两平面 A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0 与 A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0 重合的充分必要条件是（A ）、A 1B 1C1；（B）、A 1=A 2,B 1=B 2,C1=C2；A 2B2C2专业班级姓名学号成果时间；99 （ C）、A 1B 1C 1=D ；D 2（ D）、A 1=A 2,B1=B2,C1=C2； D1=D2；A 2B2C26设DABBCCA（

23、其中AB、BC、CA均为非零向量） ,就 D = （A）、向量 0（B）、常数 0；（ C）、ABBCCA；（D）、AB2BC2CA27.向量 a在 b 上的投影 Prja b = （A）、a b（B）、ab（C）、aab（D）、abbab8. 旋转曲面 x2-y2-z2是由；（）、坐标面上的双曲线x2-z2=1 绕轴旋转而成的；（）、坐标面上的双曲线x2-y2绕轴旋转而成的；（）、坐标面上的椭圆x2+y绕轴旋转而成的；D）x2cos（）、坐标面上的椭圆x2+y绕轴旋转而成的；9曲线 x12y2z2 1 4的参数方程是；z0（）x133cosBx12cosx3cosy2sin（ C）y3sin

24、y2sinysinz0z0z0z0三、填空题1已知 a与 b 垂直,且a =5, b =12,就 a b,a b = ；一向量与 ox 轴和 oy 轴成等角,而与 oz 轴组成的角是它们的二倍,那么这个向量的方向角,；3 a b c c a b c b b c a = ；4如两平面 kx + y + z - k = 0 与 kx + y - 2z = 0 相互垂直,就 k = . 5通过两点（ 1,1,1）和（ 2,2,2）且与平面 x + y - z = 0 垂直的平面方程是；6已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点（-2,-2,1）,就该平面方程为；7设平面：x + ky - 2z - 9

25、 = 0, 如 过点（ 5,-4,-6）就 k= ；又如 与平面2x - 3y + z = 0 成 45o,就 k= . 8.一平面过点（ 6,-10,1）,它在 ox 轴上的截距为 -3,在 oz 轴上的截距为 2,就该平面的方程是；9如直线 x 3 y 1 z 3 与 x 1 y 5 z 2 垂直,就 k= . 2 k k 1 5 3 k 210已知 A（2,3,1）,B（-5,4,1,）, C（ 6,2,-3）,D（ 5,-2,1,）,就通过点 A 且专业 班级 姓名 学号 成果 时间 100 垂直于 B、C、D 所确定的平面的直线方程是；11点（ -1,2,0）在平面 x + 2y -

26、 z = 0 上的投影点的坐标为；12已知球面的一条直径的两个端点为（2,-3,5）和（4,1,-3）,就该球面方程是；2 y 3 z 113直线 L 在 YOZ 坐标面上的投影曲线为,在 XOZ 坐标面上的投影曲线为z 0 x y 2,就 L 在 XOY 坐标面上的投影曲线方程必为；y 014如动点到平面 x + y - z - 1=0 的距离为 d ,到平面 x + y + z + 1 = 0 的距离 d 2,且满2 2足 d 1 d 2 1 ,那么此动点的轨迹方程为；2 2 2x y 4 z 115母线平行于 oz 轴且通过曲线 2 2 2 的柱面方程是；x y z16两曲面 z x 与

27、 y = 0 的交线绕 0 x 轴和 oz 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程分别为 和；17动点 M （x,y,z）到定点 F（0,p/2,0）和定平面：y p 0 的距离之比为 1,就该2动点的轨迹方程为；它在空间中表示 曲面；18与 xoy 坐标面成 45o角,且过点（ 1,0,0）的全部直线所形成的曲面方程为；四、设单位向量 a , b , c 中意 a b c 0,试证：（1）a b b c c a 32（） a b a b b c b c c a c a 3 a b2五、求点 A （1,2, -4）的关于1 平面 3x - y - 2z = 0 的对称点；2 关于直线 x = y/2

28、= z 的对称点；六、求半径为3,且与平面x + 2y + 2z + 3 = 0 相切点 A（1, 1,-3）的球面方程；七、设直线L:x11y12z39,平面:x3y5z20,求31） 直线与平面的交点坐标；2） 直线与平面的夹角；3） 直线在平面上的投影直线方程；专业班级姓名学号成果时间101 第七章自测题二 一、判定题1. ab 2a2b2 ）2. ab 2ab 2a2b2 3.如ab,0ac0 那么bc0（直线xyz与平面 3x - 2y + 7z = 8 平行；（327点（,）是球面x2 + y2 + z2 - 2x - 6y + 4z = 0 的球心；（平面 z截曲面zx2y2所得截口曲面为一椭圆；（49二、选择题已知二向量a03, ,4 ,b21, ,2 ,就Prjba；（）、（）、（）、（）、2.在平行四边形中,三顶点的坐标分别为（,）、（,）和（,）,那么的对称点的坐标为（）、（