解析版天津市南开区2015届高三一模考试数学文试卷 word版含解析

1、天津市南开区2015届高三一模数学（文）试题【试卷综述】试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.【题文】第 卷 【题文】一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】（1）i是虚数单位，复数=（ ）（A）i （B）i （C）i （D）+i【知识点】复数代数形式的乘除运算B4【答案】【解析】A 解析：,故选A.

2、【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出【题文】（2）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值是（ ）（A）0 （B）6 （C）8 （D）12【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】D 解析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（4，4），化目标函数z=x2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于424=12故选：D【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【题文】（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x(AB)， 条件q：x(AB)，则p是q的（ ）（

3、A）充分不必要条件 （B）充要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】C 解析：当xA，且x（AB），满足x（AB），即充分性不成立，若x（AB，则x（AB），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题文】（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（ ）（A）8+4 （B）8+4 （C） （D）8+2+2【知识点】由三视图求面积、体积B4【答案】【解析

4、】A 解析：由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是边长为2的正方形，面积S=4，棱锥的高为2，故棱锥的侧面有两个是直角边长为2的等腰直角三角形，有两个是三边长为2，2，2的三角形，故棱锥的表面积为：4+2+2=8+4，故选：A【思路点拨】由已知的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案【题文】（5）已知双曲线ax2by2=1（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（ ） （A）4x212y2=1 （B）4x2y2=1（C）12x24y2=1 （D）x24y2=1【知识点

5、】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质H6【答案】【解析】B 解析：双曲线ax2by2=1（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线x=1上，c=1联立,解得此双曲线的方程为4x2y2=1故选B【思路点拨】利用双曲线的渐近线的方程可得，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出【题文】（6）函数y=log0.4(x2+3x+4)的值域是（ ）（A）(0，2 （B）2，+)（C）(，2 （D）2，+)【知识点】函数的值域B1【答案】【解析】B 解析：；有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=2；原函数的值域为2，+）故选B【思路点拨】

6、先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域【题文】（7）已知函数f(x)=sinxcosx（0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为（ ） （A）(，0) （B）(，) （C）(0，) （D）(，)【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换B4【答案】【解析】D 解析：函数f（x）=sinxcosx=2sin（x），又函数f（x）=sinxcosx（0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=，故函数的最小正周期T=，又0，=2，故f（x）=2sin

7、（2x），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin2（x+）=2sin2x的图象，令+2k2x+2k，即+kx+k，kZ，故函数y=g（x）的减区间为+k，+k，kZ，当k=0时，区间，为函数的一个单调递减区间，又（，），故选：D【思路点拨】由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论【题文】（8）已知函数f(x)=|mx|x1|（m0），若关于x的不等式f(x)0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（ ） （A）0m1 （B）m （C）1m （D）

8、m2【知识点】函数的零点与方程根的关系B4【答案】【解析】B 解析：f（x）0可化为|mx|x1|，作函数y=|mx|与函数y=|x1|的图象如下，结合图象可知，关于x的不等式f（x）0的解集中的3个整数解为0，1，2；故只需使，解得，m；故选：B【思路点拨】f（x）0可化为|mx|x1|，作函数y=|mx|与函数y=|x1|的图象，由数形结合求解即可【题文】第 卷【题文】二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上。【题文】（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为

9、【知识点】频率分布直方图I2【答案】【解析】60 解析：第2小组的频率为（10.037550.01255）=0.25；则抽取的学生人数为：=60故答案为：60【思路点拨】根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可【题文】（10）已知公差不为0的等差数列an中，a1，a2，a5依次成等比数列，则= 【知识点】等差数列与等比数列的综合B4【答案】【解析】9 解析：a1，a2，a5成等比数列，a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），由d0，解得：2a1=d，=9故答案为：9【思路点拨】先利用等差数列的通项公式，用a1和d分别表示出等差数列的a1，a2，a5，进而利用等比数列的性质

10、建立等式，求得a1和d的关系，进而再利用等差数列的通项公式化简，将求出的a1和d的关系代入，合并约分后即可求出所求式子的值【题文】（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= 【知识点】程序框图L1【答案】【解析】2500 解析：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i99，S=4，i=5不满足条件i99，S=9，i=7不满足条件i99，S=16，i=9不满足条件i99，S=1+3+5+7+99，i=101满足条件i99，退出循环，输出S=1+3+5+7+99=2500故答案为：2500 【思路点拨】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出结果【题文】（12

11、）过点(2，6)作圆x2+(y2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 【知识点】圆的切线方程B4【答案】【解析】x2y +6=0 解析：圆x2+（y2）2=4的圆心为C（0，2），半径为2，以（2，6）、C（0，2）为直径的圆的方程为（x+1）2+（y4）2=5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x2y+6=0，故答案为：x2y+6=0【思路点拨】求出以（2，6）、C（0，2）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程【题文】（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O已知PA=AB=2，PO=8则BD的长为 【知识点】切割线定理N1

12、【答案】【解析】 解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。【思路点拨】连接BO, 设圆的半径为，先由切割线定理解得，再利用余弦定理求出，则，再次利用余弦定理可得结果。【题文】（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=，= 若点F为线段BE的中点，点O为ADE的重心，则= 【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】0 解析：连AO并延长交DE于G，如图，O是ADE的重心，DG=GE，=，又=，=，=（），显然，又=（1），=（+）=（+）=（）=+，=（1）+，=，=（1），=+（

13、2），又正三角形ABC的边长为2，|2=|2=4，=（1）+（2）=（1）2+（1）（2）+（2）=0【思路点拨】如图，根据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用、表示、，再根据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可【题文】三、解答题：（本大题共6个小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】（15）（本小题满分13分）某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如右图所示（）请求出频率分布表中、位置相应的数据；（）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二

14、次测试？（）在（）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？【知识点】古典概型；分层抽样方法；频率分布直方图B4【答案】【解析】（）；（）3人，2人，1人；（） 解析：（）由题可知第2组的频数为人，第三组的频率为；（）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3,4,5组分别抽取3人，2人，1人。（）设第三组的3 位同学为,第4组的2位同学为，第5组的1位同学为,则从6为同学中抽取2位同学有：第4组至少有一位入选的有：所以第4组的2位同学为至少有一位

15、入选的概率为。【思路点拨】本题的关键是找到频率分布直方图每一组的频数，根据古典概型的计算公式求得概率【题文】（16）（本小题满分13分）在非等腰ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A（）求cosA及b的值； （）求cos(2A)的值【知识点】余弦定理；正弦定理B4【答案】【解析】（）（）解析：（）解：在ABC中，由正弦定理=，得=， 2分因为C=2A，所以=，即=，解得cosA= 4分在ABC中，由余弦定理a2=b2+c22bccosA， 得b2b+7=0，解得b=3，或b=因为a，b，c互不相等，所以b= 7分（）cosA=，sinA=，sin2A=2

16、sinAcosA=，cos2A=2cosA21=， 11分cos(2A)=cos2A+sin2A= 13分【思路点拨】（）在ABC中，利用正弦定理以及C=2A，求出cosA，然后利用余弦定理求出b即可（）利用二倍角公式求出sin2A，cos2A，然后利用两角差的余弦函数求解即可【题文】（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）求二面角P-AC-E的余弦值；（）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【知识点】二面角的平面角及求法；平面与平

17、面垂直的判定；直线与平面所成的角B4【答案】【解析】（）见解析；（）；（）解析：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面EAC，平面EAC平面PBC 4分（）由（）知AC平面PBC，ACCP，ACCE，PCE即为二面角P-AC-E的平面角 6分PC=AB=2AD=2CD=2，在PCB中，可得PE=CE=，cosPCE= 9分（）作PFCE，F为垂足由（）知平面EAC平面PBC，平面平面EAC平面PBC=CE，PF平面EAC，连接AF，则PAF就是直线PA与平面EAC所成角 11分

18、由（）知CE=，PF=，sinPAF =，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 13分【思路点拨】（）证明ACPCACBC通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC平面PBC（）判断PCE为二面角PACE的平面角，利用余弦定理即可求解（）作PFCE，F为垂足连接AF，说明PAF就是直线PA与平面EAC所成角然后解三角形即可求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值【题文】（18）（本小题满分13分）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=bnlog

19、3an，求数列cn的前n项和Tn【知识点】数列的求和B4【答案】【解析】（）an=3n1 ，bn=2n1（）Tn=(n2)2n+2 解析：（）an+1=3an，an是公比为3，首项a1=1的等比数列，通项公式为an=3n1 2分2bnb1=S1Sn，当n=1时，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=1 4分当n1时，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比为2，首项a1=1的等比数列，通项公式为bn=2n1 7分（）cn=bnlog3an=2n1log33n1=(n1)2n1， 8分Tn=020+121+222+(n2)2n2+(n1)2n1 2Tn= 021+1

20、22+223+(n2)2n1+(n1)2n 得：Tn=020+21+22+23+2n1(n1)2n =2n2(n1)2n =2(n2)2nTn=(n2)2n+2 13分【思路点拨】（）判断an是等比数列，求出通项公式，判断bn是等比数列，求出通项公式为bn（）化简cn的表达式，利用错位相减法求解Tn即可【题文】（19）（本小题满分14分）已知椭圆C：（ab0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b（）求椭圆C的离心率；（）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质H5 H8【答案】【解析】（）（）见解析 解析：（）设F的坐标为(c，0)，依题意有bc=ab，椭圆C的离心率e= 3分（）若b=2，由（）得a=2，椭圆方程为 5分联立方程组化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由=32(2k23)0，解得：k2由韦达定理得：xM+xN= ，xMxN= 7分设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=x2，NA方程为：y=x+2， 9分由解得：y= 1