用一条直线将一个三角形分成两个等腰三角形的条件的探究高品质版

1、用一条直线将一个三角形分红两个等腰三角形的条件的研究三新学校马艳玲研究目标1、研究把特别的三角形切割成两个等腰三角形，从而研究能被一条直线切割成两个等腰三角形的三角形所具备的条件；2、进一步领会数形联合、分类议论及由特别到一般的数学思想方法；3、培育自主研究、分工合作的意识，提升剖析问题、解决问题的能力。研究的要点、难点研究能被一条直线切割成两个等腰三角形的三角形所具备的条件。预备知识等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质问题提出上海市九年义务教育七年级第二学期数学课本A第110页上有这样一道题目：已知ABC的三个内角度数分别为100A=100，B=60，C=20，试画一条直线MN，

2、将这个三角形分红两个等腰三角形。6020C研究过程B三角形是平面几何最简单的直线型关闭图形，三角形的知识是进一步研究学习其余图形性质和特点的基础；所以我们用了近两周的时间去研究三角形的相关知识，那么今日我们将进一步深入的研究有对于三角形的知识。用一条直线把一个三角形切割成两个等腰三角形。一、直角三角形的切割例题1如图1-1，已知RtABC，C=90，CA=CB试画一条直线MN，将这个三角形切割成两个等腰三角形。解：过直角极点C作ACD=45，交AB于点D，则CD所在的直线就是所要画的直线(图1-2)。AADC图1-1BC图1-2B例题2如图2-1，已知RtABC，C=90，A=60，试画一条直

3、线MN，将这个三角形切割成两个等腰三角形。解：过点A作ACE=60，交AB于点E,CE所在的直线就是所要画的直线(图2-2)。AAE606030603030C图2-1BC图2-2B追问：随意的直角三角形都能够被一条直线切割成两个等腰三角形吗？议论小结：随意的直角三角形都能够用一条直线把它切割成两个等腰三角形；所做直线必过直角极点，且与直角极点所对的边订交。二、已知角度的一般三角形的切割例题3如图3-1，已知ABC的三个内角度数分别为A=100，B=60，C=20，试画一条直线MN，将这个三角形分红两个等腰三角形。解：在ABC内作ABD=40，BD和AC订交于点D.由DBC=20,得DBC=C，

4、从而BDC为等腰三角形。又由ADB=DBC+C=40,得ADB=ABD,从而ABD为等腰三角形。所以，BD所在的直线就是要画的直线（图3-2）。AA10010040D6020402020B图3-1CB图3-2C问题1、此三角形还有其余切割方法吗？问题2、从以上三个例子思虑，要想用一条直线将三角形切割为两个三角形，这条直线应拥有什么特点？小结：要想用一条直线将三角形切割为两个三角形，那么该直线一定经过三角形的某个极点，并与该极点所对的边订交。那么是否是全部的三角形都能够被一条直线切割为两个等腰三角形呢？适合改变例3的条件，得下例：例题4已知ABC的三个内角度数分别为A=110，B=50，C=20

5、，试说明可否用一条直线将此三角形切割为两个等腰三角形。A剖析：为了列举全部可能的切割，应以三角形的不一样极点作为议论的依照。1101过极点C的直线50C最小，A最大，且为钝角，所以对于边AB20上的随意一点P，APC都不行能为等腰三角形，这BC是因为A不行能是等腰三角形的底角，又因为在ABC中，C最小，APC是BCP的外角，所以APCBC,所以A不行能是等腰三角形的顶角，这就是说过点C的直线不行能将三角形切割为两个等腰三角形。2过极点B的直线对于边AC上的随意一点Q，因为A为钝角，所以A只可能是等腰三角形的顶角，相同因为BQCA，所以BQC也只好作为等腰三角形的顶角。所以过点B的直线能将ABC

6、切割为两个等腰三角形，只需考虑两种情况，其一是先知足ABQAQB图4-2C等于AQB，而后看QBC可否等于QCB,其二是先知足QBC等于QCB，而后看ABQ可否等于AQB。（图4-2）（1）假如在ABC内作ABD，使点D在AC上，且使ABD=35,则可得ADB=35,从而ABD为等腰三角形，但此时DBC=5035A110D35351520CB=15，明显BDC不为等腰三角形。（2）假如在ABC内作ABE，使点E在AC上，且使EBC=20,则可得EBC为等腰三角形，但此时ABE=5020=30，AEB=40，明显ABE不为等腰三角形。3过点A的直线可先考虑点R为等腰三角形的极点，分两种情况，其一

7、先知足RAB等于RBA，看RAC可否为等腰三角形，其二知足RAC等于RCA，看RAB可否为等腰三角形。其次可假定点B（或C）为等腰三角形的极点，知足BAR=BRA,看RAC可否为等腰三角形，（或知足CAR=CRA,看ABR可否为等腰三角形），再次可假定点A为极点，先知足ABR=ARB，看ACR可否为等腰三角形。1）假如在BAC内作BAG=50,且使G在BC上，则BAG为等腰三角形，但此时CAG=60,AGC=100，故ACG不为等腰三角形。2）假如在BAC内作CAF=20,且使点F在BC上，则ACF为等腰三角形，但此时BAF=110-20=90,AFB=40，故ABF不为等腰三角形。假如在BA

8、C内作BAH=65,且使H在BC上，则AHB=65,ABH为等腰三角形，但此时CAH=45,AHC=115,故ABF不为等腰三角形。（4）假如在BAC内作CAI=80,且使点I在BC上，则AIC=80,AIC为等腰三角形，但此时BAI=30,AIB=100,故ABI不为等腰三角形。5）假如在BAC内作BAJ=80,且使点J在BC上，则AJB=50,ABJ为等腰三角形，但此时CAJ=30,AJC=130,故ACJ不为等腰三角形A110E403020BABA605050100BAG90205040BFA45655065115BHA8030B5080AI8030505013020CCR20CCCCB

9、JC依据以上议论，能够说明在本例中不行能用一条直线将三角形切割成两个等腰三角形。利用以上例题可得出结论：一个三角形不必定能被一条直线切割成两个等腰三角形。A三、一个三角形能被一条直线切割成两个等腰三角形的条件的研究。12下边我们先假定一个随意三角形被一条直线分割成两个等腰三角形，不失一般性，我们可进一步假定这条直线过点A，为了表达方便，设BAD=3561，DAC=2，B=3，C=4，BDA=BD5，CDA=6如图。1假定：在ABD中，AD=BD.A(1)如图，ABD中，AD=BD,在ADC中，AD=DC,则有1=3，2=4，此时，1+3+122+4=180，即1+2=90.所以若三角形中有一个

10、角为90，这个三角形即可被切割为两个等腰三角形。356(2)如图，ABD中，AD=BD,在ADC中，BDAD=AC,则有1=3，4=64，故得矛盾，此状况舍去。3）如图，ABD中，AB=AD，ADC中，AC=DC,此状况同问题二（1），略。综上所述，其实不是随意三角形都能切割成两个等腰三角形，能切割成两个等腰三角形的三角形应当知足以下条件中的随意一条：三个内角中有一个锐角等于另一个内角的2倍；三个内角中有一个角等于另一个内角的3倍；三个内角中有一个内角等于90。课后研究已知，一个等腰三角形能够被一条直线切割成两个等腰三角形，求这个三角形的三个内角的度数。对爸爸的印象，从记事的时候，就有了，他留

11、给我的印象就是缄默少言的，但是脸上却一直有浅笑，不论家里碰到了什么样的困难，只需有爸爸在，全部都能够雨过天晴的，小时候，家里很穷，但是作为孩子的我们（我和哥哥），却很幸福。爸爸素来不会因为缺钱，而让我们感感觉些许的窘迫和紧张，哪怕的低三下气的问人借款，爸爸都会准时给我们交了学费，素来都不会给我们兄妹俩拖欠学费。爸爸闲下来的时候，就会给我和哥哥讲他们生活的那个年月，很苦很累，还经历过自然灾祸，穷的时候，连饭都吃不饱。在我的印象里，最深的一件事情就是过年的时候，不论这一年钱赚的多仍是少，爸爸总会让妈妈带着我和哥哥去买新衣服，自然了，妈妈也一定买新的，惟有爸爸，他是家里面独一一个能够穿旧衣服过新年的

12、人，这就是我对于爸爸的儿时的印象，他爱家人，素来不肯委屈自己的老婆和孩子。成长光阴里的爸爸在我们逐渐成长的的光阴里，作为孩子，我们都有了自己的认知和想法，青春期的反叛，我们也给爸爸惹了许多祸，但是，不论我们闯的祸有多大，最后都是爸爸出头，来摆平解决全部。在这个逐渐懂事的过程中，爸爸饰演着一位良师的角色，事情事后，爸爸也会趁便好好的教育我们，让我们懂得，我们做的是对的，值得鼓舞的，还是不对的，此后需要去更正的。爸爸在社会上经历的多了，懂得的道理也比我们多好多。我们是在趔趔趄趄的认知中去研究这个社会，而爸爸就是这条研究道路的指明灯！在我们长大的青春光阴里，我们在爸爸身上看到了责任、懂得了担当的重要

13、性！爸爸，在我们的生活中，必不行少，他让我们（大哥和我）拥有了正确的人生观和价值观，他教会了我们怎样对待这个世界，怎样去更好的创建自己想要的生活！逐渐上了年龄的爸爸：我只想用“逐渐上了年龄”来形容此刻的爸爸，不想要用已经“老去”来形容爸爸。没错，光阴是真的很无情的，不知不觉间，爸爸的眼角多了些许的皱纹，额头的皱纹也不自觉的来向他报到了，爸爸再伟大，也终归抵可是光阴的蹉跎。两角鬓白的爸爸，让我们看着多了好多的疼爱，一直雷厉流行、无所不可以的爸爸，逐渐地，变得老了，特别是当我们都成家此后，爸爸也算是把他一世最重要的任务也都达成了，上了年龄的爸爸，更多的心思，留在了妈妈的身上，一路走来，是妈妈的陪同

14、和静静的奉献，才让爸爸能够在外工作的时候，毫无邪念！妈妈，就是爸爸最为坚毅的后援，而我们，是爸爸努力奋斗的最大动力，此刻，爸爸逐渐地老了，作为子女，我们没法让光阴倒流，能做的就是多陪同他们，让他们的暮年生活能够幸福！爸爸的一世，都在付出，为了家和家人而付出，此刻的我们，都已经成家，更为领会到了为人父亲母亲的心酸苦楚，我们能做的就是常回家看看！让父亲母亲不感觉孤单！我们都是母亲自上掉下来的一块肉，我们跟母亲之间的关系，血浓于水，相互间的那种爱，是神圣而又不行入侵的，是妈妈给了我们生命，也是妈妈无怨无悔的把我们抚育成人，在我们成长的过程中，不论是好还是不好，妈妈都一味的去包含，去引领着我们我和妈妈

15、的温情小生活，母爱，老是那么的伟大！都说慈母多败儿，其实啊，母亲在我们的生活着，饰演着不行或缺的角色，没有母亲的无私奉献，又怎会有我们的今日呢？更多的时候，是我们忽视了母亲的重要性，甚至是把母亲对我们的关怀和爱惜变为了理所自然！其实啊，也是因为我们从出生的时候，就拥有了母亲的爱，也就变得不那么的珍惜了！我感觉，我们生活在这个世上，更要好好地对待我们的母亲，在我的记忆深处，母亲老是很慈爱的，她也有属于她自己的小忧虑，但是，却素来都不会让我们知道，不论生活中，遇到了什么困难或许崎岖，她老是自己一个人想方法面对和解决！以致于以前的我向来感觉母亲是全能的，没有什么困难事情是母亲不可以解决的！儿时记忆中

16、，最深刻的一件事情就是那年的的大冬天，下了很厚很厚的雪，我跟哥哥上学的地方是需要骑着自行车去的，妈妈早早的叫醒了我和哥哥，而且告诉我们下大雪了，路上滑，要早点出发，路上慢一点走，当我们吃了早餐准备出发的时候，妈妈也随着一同出发了。大冬季的，天黑黑的，母亲拿着手电筒，给我和哥哥照明，因为下了雪，有的路段不好走，我们就推着自行车，一路上有说有笑的，时时时的哥哥还会俏皮一下，就这样，母亲拿着照明灯，一路护送我和哥哥到了学校，此刻回想起来以前的光阴，满满的回想，满满的暖和！不知不觉间，我们就都长大了，哥哥也成家了，有自己的孩子，妈妈看着我们生活幸福，她也就是高兴知足了，但是，光阴倒是那么的无情，不知不

17、觉间，妈妈的眼角就多了些许的皱纹，她在光阴的淘洗中，逐渐地老去了！她没有多么伟大的理想，独一的希望，就是我们都能够生活的健康，安全，快乐，幸福！母亲，素来都未曾奢望我们能够有多么大的功名盖世，最大的愿望就是我们安全快乐，她的一世心血，都在我们这些孩子身上，而对于她自己，仿佛老是少了很多的关怀，作为子女，长大后的繁忙，的确忽视了对母亲的爱，当我们真实的意识到母亲老去的时候，光阴一晃已经过去了几十年！母爱，固然平庸，但是却很伟大，我跟妈妈的温情小生活，那些记忆中的点滴，向来缭绕在脑海中，让我感觉到幸福，感觉到暖和！爱你，亲爱的妈妈，愿你生活幸福，健康安全！其实也就是平庸的一年，和平时对比较，也没有

18、太多的差别，独一的不一样就是自己就业了，不再是学生了，也不再是那个向父亲母亲伸手就要钱的小姑娘了！步入社会的自己，很高兴，同时也很紧张，毕竟社会才是一个真实的大染缸，才能让一个人真实的成长和坚毅！父亲母亲的爱，平庸中浸透着伟大，这一年，感恩父亲母亲！在初入社会的这一年里，是要感恩好多的朋友同事领导，但是，我最想要感恩的两个人，其实就是我的爸爸妈妈！或许，你会感觉很奇异，步入社会，经历的好多人或事，不该当都是单位或许工作吗？怎么会是要感恩父亲母亲呢？没错，我最最想要感恩的就是我们爸爸和妈妈！为何呢？且听我慢慢道来！每一年的母亲节和父亲节，都只有一天，我想先和大家分享一下父亲节发生的小故事，固然很平庸，很一般，但是我的心的确五味杂陈暖暖的！这一年的自己，已经参加了工作，也有了自己的收入，固然薪资不是很高，但事多多少少仍是有些结余的，父亲节到了，那一天清晨一醒来，我就给父亲微信上发了红包，金额不多，也就只有100元的红包，这天，我向来在等候着父亲领红包！但是，等啊等啊等啊，眼看着24小时就要过去了，