湖南省长沙雅礼中学2021-2022学年数学高二第二学期期末统考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知 则a，b，c的大小关系是（ ）AabcBbacCacbDcba2某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在内的概率为（ ）ABCD3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a7+a921，则S13（ ）A36B72C91D1824设，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD5设实数满足约束条件，则的最大值为( )AB1C6D96已知二次函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（ ）ABC

3、D7已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为 （ ）ABCD8复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）ABCD9空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值10中，是的中点，若，则（ ）.

4、ABCD11下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）ABCD12函数f(x)=|x|-ln|x|，若f(x)2-mf(x)+3=0有A(23,4)B(2,4)C(2,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13中，角 的对边分別是，已知，则 _.14己知幂函数在上单调递减，则_.15如图，正方形的边长为20米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点分别在线段上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以1.5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约为_秒（精确到0.

5、1）16设为的展开式中含项的系数，为的展开式中二项式系数的和，则能使成立的的最大值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算18（12分）已知件产品中有件是次品.(1)任意取出件产品作检验，求其中至少有件是次品的概率；(2)为了保证使件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取几件产品作检验？19（12分）7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻（

6、4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习20（12分）已知数列，其前项和为；（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.21（12分）设函数.（1）求在处的切线方程；（2）当时，求的取值范围.22（10分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为23（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望EX参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】对于看成幂函数，对于与的大小和1比较即可【详解】

7、因为在上为增函数，所以，由因为，所以，所以选择D【点睛】本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较2、和0、1比较2、B【解析】由题，分析茎叶图，找出质量在499,501的个数，再求其概率即可.【详解】这个数据中位于的个数为，故所求概率为故选B【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.3、C【解析】根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.【详解】因为an为等差数列,所以,所以,所以.故选C.【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和.属于基础题.4、C【解析】分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围

8、.【详解】， 本题正确选项：【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.5、D【解析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图像求得结果【详解】解：画出实数满足约束条件表示的可行域，由得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，作出目标函数对应的直线由图可知将直线向上平移，经过点时，直线的截距最大，由，得点的坐标为所以的最大值为故选：D【点睛】此题考查画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值.6、A【解析】先求出二次函数在区间内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出的取值范围.【详解】因为二次函数在区间内有两个

9、零点，所以有：，对应的平面区域为下图所示：则令，则的取值范围为，故本题选A.【点睛】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键.7、D【解析】根据且判断出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.8、C【解析】分析：求出复数，得到，即可得到答案.详解： 故的共轭复数的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基

10、础题.9、C【解析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确故选C【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.10、D【解析】作出图象，设出未知量，在中，由正弦定理可得，进而可得，在中，还可得，建立等式后可得，

11、再由勾股定理可得，即可得出结论【详解】解：如图，设，在中，由正弦定理可得，代入数据解得，故，而在中，故可得，化简可得，解之可得，再由勾股定理可得，联立可得，故在中，故选：D【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属于中档题11、B【解析】两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，两个变量具有线性相关关系的图是和，故选B考点：变量间的相关关系12、A【解析】方程有8个不相等的实数根指存在8个不同x的值；根据函数f(x)的图象，可知方程f(x)2-mf(x)+3=0必存在2个大于1【详解】f(x)=f(-x)=f(x)，函数f(x)为偶函数

12、，利用导数可画出其函数图象（如图所示），若f(x)2-mf(x)+3=0有8个不相等的实数根关于=【点睛】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于f(x)的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求m的范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】化简已知等式可得sinC1，又ab，由余弦定理可得：cosCsinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin（C）0，结合范围C（，），可求C的值【详解】c22b2（1sinC），可得：sinC1，又ab，由余弦定理可得：cosC1sinC，sinCcosC0，可得：sin（C）0，C（0，）

13、，可得：C（，），C0，可得：C故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题14、2【解析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为为幂函数，所以或，又在上单调递减，由幂函数的性质，可得：，解得：，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由幂函数单调性求参数，熟记幂函数的定义，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.15、1.1【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求得，的坐标和直线的方程，圆方程，运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的

14、条件，解不等式即可得到所求时长【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可设，可得直线的方程为，圆的方程为，由直线与圆有交点，可得，化为，解得，即有点在点的盲区中的时长约为1.1秒故答案为1.1【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线和圆的位置关系，考查坐标法和二次不等式的解法，属于中档题16、4【解析】由题意可得，An，若使得AnBn，即n（n+1）2n，可求.【详解】（1+x）n+1的展开式的通项为Tr+1，由题意可得，An，又为的展开式中二项式系数的和，AnBn，即n（n+1）2n当n1时，122，满足题意；当n2时，2322，满足题意；当n3时，3423，满足题意；当n4时

15、，4524，满足题意；当n5时，5625，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，故当n5时，n（n+1）2n，4.故答案为4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)证明见解析.(2) .【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得 ，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1当时，左边，右边，所

16、以命题成立2假设当时，命题成立，即，则当时， 所以，当时，命题也成立综上所述，（为正整数）成立（2） 由（1）结论得 点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.18、任意取出件产品作检验，至少有件是次品的概率是；为了保证使件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取9件产品作检验。【解析】（1）先求出任取3件的方法数，再求出任取的3件中没有次品的方法数，相减即得至少有一件次品的方法数，由此可得所求概率；（

17、2）即抽取的产品中至少有3件次品的概率超过0.6，列式求解【详解】（1）从1件产品中任取3件的方法数为，而3件产品中没有次品的方法数是，从而至少有1件次品的方法数是1203585，所求概率为（2）设应抽取件产品，则，即，或1至少抽取9件才能满足题意任意取出件产品作检验，至少有件是次品的概率是，为了保证使件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取9件产品作检验【点睛】本题考查古典概型概率，解题的关键是求出基本事件的总数和所求概率事件含有的基本事件的个数在处理含有“至少”、“至多”等词语的事件时可从反面入手解决较方便19、 (1)3600种；(2)720种；(3)1440种；(4)840种；(5)63

18、0种【解析】先特殊后一般【详解】(1)； (2)(3) ；(4)(5)【点睛】本题考查排列组合，思想先特殊后一般属于简单题20、（1）；（2），证明见解析【解析】（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.【详解】（1）计算， ， （2）猜想. 证明：当时，左边，右边，猜想成立. 假设猜想成立. 即成立，那么当时， ， 而， 故当时，猜想也成立. 由可知，对于，猜想都成立.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.21、（1）；（2）【解析】（1）求出的导数，把代入导数得斜率，把代入即可得时的坐标。根据点斜式即可得切线方程。（2）转化成，令，当时的最大值为0，求的取值范围即可。【详解】（1）当时在处的切线方程为：（2）由题意得令则再令，则由，所以在上为减函数。且【点睛】本题主要考查了求函数在某一点的切线方程以及利用导数解决函数恒成立求参数范围的问题。属于中等题。22、（1）827【解析】（1）设Ai（i=1，1，3）表示第i次投篮命中，Ai表示第i次投篮不中，设投篮连续命中1次为事