甘肃省重点中学2022年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为，体积为，则球的表面积为（ ）ABCD2设，若是的

2、最小值，则的取值范围是（）ABCD3下列表格可以作为的分布列的是（）A BCD4已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判断正确的是（ ）A在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系B在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量没有关系C有的把握说变量有关系D有的把握说变量没有关系5将偶函数的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ）ABCD6已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ）A图象的一个对称中心B在上是减函数C的图象过点D

3、的最大值是7曲线与轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A2BCD48已知函数，若存在区间D，使得该函数在区间D上为增函数，则的取值范围为（ ）ABCD9若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）ABCD10已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（ ）ABCD11定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）A14个B13个C15个D12个12执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0

4、,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为_.14设，则a，b，c的大小关系用“”连接为_15展开式中含项的系数_16定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知一个口袋中有个红球和个白球（，），这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个摸出（不放回），直到红球全部被摸出为止（1）当，时，试求“摸球次数为5”的概率；（2）随机变量表示摸球次数，是的数学期望写出的概率分布列，并求18（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）已知，且恒成立，求的

5、最大值；19（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.20（12分）已知正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，高为，为线段的中点，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求四棱锥的侧面积.22（10分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的

6、频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为，设正三棱柱的高为，由，得，外接球的半径为，外接球的表面积为：故选

7、C【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题2、B【解析】当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果.【详解】当时，（当且仅当时取等号）当时，当时，在上的最小值为，不合题意当时，在上单调递减 是在上的最小值 且 本题正确选项：【点睛】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.3、C【解析】根据分布列的性质以及各概率之和等于1，能求出正确结果【

8、详解】根据分布列的性质以及各概率之和等于1，在中，各概率之和为，故错误；在中，故错误；在中，满足分布列的性质以及各概率之和等于1，故正确；在中，故错误故选：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的判断，考查分布列的性质以及各概率之和等于1等基础知识，考查运用求解能力，是基础题4、A【解析】分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论详解：观测值，而在观测值表中对应于3.841的是0.05，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系故选：A点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题5、D【解析】根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可.

9、【详解】为偶函数，令，得故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.6、A【解析】利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可【详解】是图象的一条对称轴的方程，又，.图象的对称中心为，故A正确；由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；，故C错误.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质7、D【解析】曲线与轴所围成图形的面积，根据正弦函数的对称性，就是求正弦函数在上的定积分的两倍【详解】解：曲线与轴所围成图形的面积为：故选：【点睛】本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，求解定积分问题，关键是找出被积函数

10、的原函数，属于基础题8、B【解析】求出导函数，由题意说明不等式有解。【详解】由题意有解.当时，一定有解；当时，也一定有解.当时，需要，即,综上所述，故选：B。【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性。函数有单调增区间，则有解，这样可结合二次函数或一次函数的性质得出结论。9、C【解析】试题分析：若复数为纯虚数，则必有解得：，所以答案为C考点：1纯虚数的定义；2解方程10、C【解析】根据切线方程计算，再计算的导数，将2代入得到答案.【详解】函数的图像在点处的切线方程是 故答案选C【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.11、A【解析】分析：由新定义可得，“规范01数列”有偶

11、数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案详解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，

12、1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故答案为：A.点睛：本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏.12、D【解析】执行循环，根据判断条件确定结束循环，输出结果.【详解】第1步：a7-2n5，a0成立，SSa5，n2；第2步：a7-2n3，a0成立，SSa8，n3；第3步：a7-2n1，a0成立，SSa1，n4；第4步：a7-2n1，a0不成立，退出循环，输出S1选D.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、13、【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果.详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角，该四面体的体积，故答案为.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题.14、【解析】分别判断出，从而得到三者大小关系.【详解】，则的大小关系用“”连接为本题正确结果：【点睛】本题考查指对数比较大小类的问题，解决此类问题的方法主要有两种：1.构造合适的函数模型，利用单调性判断；2.利用临界值进行区分.15、15【解析】利用组合的知识，根据所求项的次数，可得结果.【详解】展开式中含项的系数为【点睛

14、】本题考查二项式定理，难点在于展开式中的每一项是用组合的知识计算得到，属基础题.16、【解析】利用函数的奇偶性和单调性,可得 对 恒成立,通过参变分离即得 且对 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到 的取值范围.【详解】解: 定义在R上的函数满足 为偶函数 对任意的不相等的实数，有成立在 上单调递减,在 上单调递增由在上恒成立得在上恒成立在上恒成立,即对恒成立此时 且对 恒成立设,则令,解得 , 随 的变化如下表 0 当时, 设,则当时, 在 上单调递减,即当 时,则.综上所述, 故答案为: .【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的

15、方法. 若对任意的不相等的实数,有成立,说明 在区间 上为减函数; 若对任意的不相等的实数,有成立,说明 在区间 上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见详解；.【解析】（1）根据题意，先得出红球全部摸出所包含的情况，再求出摸球5次所包含的基本事件个数，进而可求出概率；（2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布

16、列，再由期望的计算公式，以及组合数的性质，即可求出结果.【详解】（1）当，时，由题意，红球全部摸出，共有种情况；若摸球次数为5，则第5次摸到红球，此时所包含的基本事件个数为个；因此，“摸球次数为5”的概率为；（2）由题意，的可能取值为：，从袋中个红球和个白球中，将红球全部摸出，共有种情况；则，所以的分布列为：因此其数学期望为：因为所以.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，古典概型的概率问题，以及组合数的性质，难度较大.18、（1）函数在区间上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）函数求导，根据导函数的正负判断函数的单调性.（2）设，求导，根据函数的单调性求函数的最值，得到

17、，再设函数根据函数的最值计算的最大值.【详解】（1）由已知得，令，则由得，由，得所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.（2）若恒成立，即恒成立当时，恒成立，则；当时，为增函数，由得，故，.当时，取最小值.依题意有，即，令，则，所以当，取最大值，故当时，取最大值.综上，若，则的最大值为.【点睛】本题考查了函数的单调性，函数最值，恒成立问题，构造函数，综合性大，技巧强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.19、（1）（2）【解析】分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y

18、，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而. 当AB斜率不存在时，求得，所以 当直线的斜率为时，求得，所以即可判断详解：（1）将代入，得，所以.因为的周长为，所以，将代入，可得，所以椭圆的方程为.（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，则直线的方程为.由消去得.由韦达定理得，所以， .同理可得. .（ii）当直线的斜率不存在时，.（iii）当直线的斜率为时，.综上，.点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题20、（1）见证明；（2）【解析】（1）要证明平面，利用中位线可先证明即可；（2）找出直线与平面所成角为，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在四棱锥中，连结交于点，连结，因为在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，得， 又因为平面，平面，所以平面 （2）设，由题意得，因为为的中点，所以，故平面 所以直线在平面内的射影为直线，为直线与平面所成的角， 又因为，所以由条件可得，所以在中，所以所以，故直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题