江西省高中数学青年教师业务能力竞赛

1、江西省高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题 命题：张园和本试卷分第 = 1 * ROMAN I卷（选择题）和第 = 2 * ROMAN II（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟考试结束，将本试卷和答题纸一并交回第 = 1 * ROMAN I卷 (选择题共60分)注意事项：1答第 = 1 * ROMAN I卷前，参赛选手务必在试卷及答题纸上将自己的单位、姓名、准考证号填在指定的位置2所有试题的答案均应填入答题纸上的相应位置, 不能答在试卷上。未填入答题纸的部分一律按零分计一、本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合,则实数a的

2、取值范围是ABC(1,+) D(,1)2若都是实数，i是虚数单位，则=A1+2iB12 i C2+ i D2i3已知的值应是ABCD4若函数的反函数为,则满足的x的集合是A(0,+)B(1,+)C(1,1)D(0, 1)5已知变量满足约束条件,则的取值范围是ABCD6设随机变量服从标准正态分布，已知，则=A0.025B0.050C0.950D0.9757已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且,则使得为整数的正整数n的个数是A2 B3C4D58已知椭圆有相同的准线,则动点P (n, m)的轨迹为A椭圆的一部分B双曲线的一部分C抛物线的一部分D直线的一部分9半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点

3、,则与两点间的球面距离为 A. B. C. D. 10如图,设P为ABC内一点,且则A B C D11将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b则使不等式a2b+100成立的事件发生的概率等于A. B. C. D. 12已知定义域为R上的函数单调递增，如果的值A可能为0B恒大于0 C恒小于0 D可正可负第 = 2 * ROMAN II卷 (共90分)注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在

4、答题纸中的相应位置上13在的展开式中，x5的系数为.14当时,不等式恒成立,则的取值范围是15若函数=.16对于函数, 存在一个正数,使得的定义域和值域相同, 则非零实数的值为_.三、解答题：本大题共6小题,共74分. 解答应写出必要的文字说明, 演算步骤或证明过程2,4,617(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数是奇函数2,4,6(1) 求的值；(2)若对任意的, 不等式恒成立, 求k的取值范围. 18(本题满分12分) 在九江市教研室组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可

5、获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、(1) 记先回答问题A的奖金为随机变量, 则的取值分别是多少？(2) 你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由19(本小题满分12分) 已知函数(R,且)的部分图象如图所示(1) 求的值；(2) 若方程在内有两个不同的解,求实数m的取值范围20(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面，, 是的中点(1)证明；(2)证明平面；(3)求二面角的大小.21(本小题满分12分) 设不等式组表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距

6、离之积为2, 记点的轨迹为曲线. 是否存在过点的直线l, 使之与曲线交于相异两点、,且以线段为直径的圆与y轴相切？若存在,求出直线l的斜率;若不存在, 说明理由22(本小题满分14分) 已知函数及正整数数列. 若,且当时,有; 又,且对任意恒成立. 数列满足:.(1) 求数列及的通项公式;(2) 求数列的前项和；(3) 证明存在，使得对任意均成立参考答案命题：张园和题号123456789101112答案BCBAACDACADC题号13141516备注答案11 解: 画出数轴,由图可知,选B.2 解: 由得,所以.3 解: ,故选B.4 解: 因为, 所以,于是原不等式为,解得.5 解: 画出可

7、行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为.表示可行域内的点与原点连线的斜率,当时取最大值6,当时取最小值.故选A.6 解: 服从标准正态分布，7 解: 由等差数列的前项和及等差中项，可得，故时，为整数。故选D8 解:由已知得: , 化简为,轨迹为椭圆的一部分. 故选A.9 解:半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=a，由解得，由余弦定理得AOB=arcos()，与两点间的球面距离为，选C。10 解: 设. 则. 所以,解得.于是.11解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个. 由不等式a

8、2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、9中每一个值，使不等式成立，则共有95=45种；当b=6时，a可取3、4、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种. 于是，所求事件的概率为.12 解: 由题设知,的图象关于点对称. 又由已知,且, 由在时单调递增知,.故选C.13 解: .14 解: 由题设得,故只需求.由单调性知,在时, ,所以.15 解: 易知为奇函数, 所以.16 解: 若，对于正数，的定义域为，但的值域，故，不合要求.若

9、，对于正数，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.17、解：(1)因为是奇函数, 所以=0, 即又由知(2) 解法一：由(1)知, 易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于.因为减函数,由上式推得:即对一切有：, 从而判别式解法二：由(1)知又由题设条件得：即：整理得: .上式对一切均成立, 从而判别式18、解：(1) 题意，的取值可以为0元，1000元，3000元(2) 设先答A的奖金为元,先答B的奖金为元,则有，,所以.同理, ,.所以.故先答A,能使所获奖金期望较大.19、解：(1) 由图象易知函数的周期为()=，又, 且, 即, 解得: . 所以,. 也

10、可以按以下解释: 上述函数的图象可由的图象沿轴负方向平移个单位而得到，其解析式为 (2)，设，问题等价于方程在（0，1）仅有一根或有两个相等的根方法一：m = 3t2 t，t (0, 1). 作出曲线C：y = 3t2 t，t (0, 1)与直线l：y = m的图象t =时，y =；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2当m =或0m2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点m的取值范围是：或方法二：当仅有一根在(0, 1)时，令则得到; 或时，或时（舍去）当两个等根同在（0,1）内时得到，综上所述，m的取值范围是：或20、解：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，(2

11、) 证明：由，, 可得是的中点，由(1)知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面(3) 解法一：过点作，垂足为，连结则由(2)知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，所以二面角的大小是解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以二面角的大小是xyO21、解：由题意可知，平面区域如图阴影所示设动点为，则xyO，即由知，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)，即曲线的方程为 eq f(y2,4) eq f(x2,4)1(y0)

12、设，则以线段为直径的圆的圆心为. 因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，即因为直线AB过点F(2 eq r(2)，0)，当AB x轴时，不合题意所以设直线AB的方程为yk(x2 eq r(2)代入双曲线方程 eq f(y2,4) eq f(x2,4)1(y0)得:k2(x2 eq r(2)2x24，即(k21)x24 eq r(2)k2x(8k24)0因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k1于是x1x2 eq f(4 eq r(2)k2,k21)，x1x2 eq f(8k24,k21)故 |AB| eq r(x1x2)2(y1y2)2) eq r(1k2)(x1x2)24x1x2) eq r(1k2) eq bbc( eq f(4 eq r(2)k2,k21) eq sup10(2)4 eq f(8k24,k21)|x1x2| eq f(4 eq r(2)k2,k21)|，化简得：k42k210解得: k2 eq r(2)1 （k2 eq r(2)1不合题意，舍去）由(4 eq r(2)k2)24(k21)(8k24)3k210，又由于y0，所以1k eq f( eq r(3),3)所以, k eq r( eq r(2)1)2