信号与线性系统分析系统函数市公开课获奖课件

1、/10/101本 章 要 求掌握由系统函数分析系统特性办法；会用信号流图求系统函数及用系统函数模拟系统。 返 回第1页第1页/10/102本章主要内容系统函数与系统特性系统因果性与稳定性信号流图系统结构返 回第2页第2页/10/103系统函数零极点与系统响应关系s 域中，系统函数主要作用 系统函数零、极点分布与冲激响应相应关系系统自由频率、零极点及零极点图零、极点与冲激响应第3页第3页/10/104 利用 在 s 平面零极点分布情况能够分析系统时域特性： s 域中系统函数主要作用 求系统冲激响应： 求给定激励 性零状态响应 ： 当系统初始条件给定期，可依据 极点求系统零输入响应 ，如知道极点

2、，则 形式为：（系数由初始条件决定） 单极点： r 重极点：则该部分为 第4页第4页/10/105s 域中系统函数主要作用 由 可直接写出系统微分方程（因 也可由微分方程得出），因而系统也就能够用含有微分方程特性网络来实现： 如： ，其微分方程为 可研究 零极点分布对 影响（后面讨论） 第5页第5页/10/106s 域中系统函数主要作用因此说，分析 性质也就是分析系统性质 可利用 零极点分布判断系统稳定性。 利用 零极点分布可以便地求系统频域响应（令 ），进而能够用几何作图法和（或）数学解析法求得系统幅频特性和相频特性，从而对系统频域特性进行分析。 第6页第6页/10/107系统自由频率、零极

3、点及零极点图由一个描述线性时不变系统特性微分方程很容易得到其 ，如： 并由微分特性： （设初值为零） 可见：它取决于系统结构、元件参数，而与激励、响应无关。 第7页第7页/10/108n n 阶极点； n n 阶零点。 系统自由频率、零极点及零极点图令分母 ，可求使其为零值（根），称其为系统响应固有自由频率或系统极点；令 ，可求使其为零值（根），称其为系统零点； 零点和极点能够实数，也能够是复数或虚数，但必须是共轭。 一阶极点； 一阶零点； 22第8页第8页/10/109零极点与冲激响应不是普通时间函数，而是系统加 后响应。 极点在 s 左半平面 在负实轴上单极点： 为指数衰减函数： si 衰

4、减因子（时间常数倒数），其大小（远/近于j轴）决定了衰减快慢。 第9页第9页/10/1010 在负实轴上二阶（重）极点： 零极点与冲激响应利用罗彼达法则： ，仍是衰减。 与二阶一样，三阶、四阶、，当 时，其象函数原函数都是趋于零，仅是快慢不同，也就是二阶以上极点与一阶极点所正确时间函数含有相同性质。 第10页第10页/10/1011 左半平面一阶共轭极点衰减振荡， 愈小，极点离纵轴愈近，衰减愈慢； 表示振荡频率， 大振荡快。同样，二阶以上共轭极点时性质也是如此。 第11页第11页/10/1012 极点在 j 轴上 总之，极点在 s 左平面所相应时间函数当 时都趋于零，含有这样 系统都是稳定系统

5、；该种系统冲激响应，能够当作零输入响应，它在 t = 0-0+ 时，受 作用后，建立一个初始状态（条件），在 以后，其状态就开始衰减（因系统普通不可避免地带有电阻 R ），当 时衰减为零。当 si（或）较小（靠近轴），衰减变慢，当 si（或）= 0 时，则就有 原点处极点 一阶： 阶跃函数，临界状态 二阶（及以上）： 不稳定 第12页第12页/10/1013 共轭极点 一阶： 时，仍为等幅振荡，其幅度由零极点 决定，而振荡频率由 决定，现在加信号为有限能量信号，而此处振荡为等幅，阐明它只能出现在 LC 无耗网络中。二阶（及以上）： 时， ，含有这样函数系统为不稳定系统。因此 j 轴上一阶极点，

6、其相应系统为等幅振荡（或不变如 ）系统为临界系统；高于一阶极点系统为不稳定系统。 第13页第13页/10/1014零极点与冲激响应 极点在 s 右半平面 相应时间函数： 系统不稳定。这种网络不也许是无源（不然就不也许增长能量守恒）。故它是有源网络，是不稳定系统。 第14页第14页/10/1015不稳定系统：只要有一个极点为虚轴上二阶（及以上）极点或在整个 s 右半平面上极点。 小 结 对系统 极点位置拟定了它所相应冲激响应改变规律，拟定了系统特性： 稳定系统：极点均在 s 左半平面； 临界稳定系统：只要有一个虚轴上一阶极点； 无源线性网络 极点只能在 s 左半平面或是虚轴上一阶极点，借此可判断

7、 算对不对。 第15页第15页/10/1016小 结 对信号 极点所有在 s 左半平面时，相应时间函数 是按指数规律衰减瞬态分量； 极点只要有在虚轴上或在原点处一阶极点，相应 为稳态分量（正弦振荡或阶跃信号）； 极点只要有在虚轴上二阶极点或在 s 右半平面上极点，相应 是随时间无限增大信号。 第16页第16页/10/1017系统因果性因果系统：响应不会出现在激励之前（有输入才有输出）系统，即当 时有连续（离散）因果系统充足必要条件是：不然就是非因果系统。第17页第17页/10/1018系统稳定性系统稳定性：在有界输入情况下输出是有界。也就是说，对于一个无源网络，给它输入一个能量有限信号（如冲激

8、信号 或 ），那么它响应（冲激响应 或 ）必定是有限，并且实际系统是有损耗，因而伴随时间推移，响应会逐步减小，最后到零。由于冲激响应拉氏变换就是系统函数即网络函数 或 ，因此讨论 或 相关性质，就可判断出系统稳定性。 返 回第18页第18页/10/1019系统稳定性主要讨论可实现网络函数性质及其判别办法 返 回网络函数系统稳定性判别法 霍尔维茨多项式 Hurwith判别法 Routh判别法Routh判别法几种特殊情况 第19页第19页/10/1020网络函数 我们所指网络函数通常按下面方式得到（使用复频域比较多）： 正弦稳态： 复频域： 网络函数含有下列性质： 系数 ai、bi 均为正实数；由

9、于函数中系数仅与网络结构、元件参数相关，因此各系数都必须为实数。第20页第20页/10/1021网络函数 复数（虚数）零、极点必须成对（或共轭）出现；由于只有零、极点共轭地出现时：才干确保 ai、bi 为实数。 极点在左半平面。即 s1 若 为一个极点，则其响应中必含有一项 ，且 ，当网络无源时，必有 ； 虚轴上零、极点必须是单阶，不然不稳定；第21页第21页/10/1022网络函数 分子、分母多项式最高幂次或最低幂次相差不能不小于 1 。由于 s 当很大时，前式可简化为：当 时，函数将要出现零点或极点，而 点能够认为是在虚轴上，由前一个性质知，在虚轴上零、极点必须是单阶，因此上式中应有 ，即

10、函数中分子、分母最高幂次相差不能不小于 1（同样也可证最低幂次相差也不能不小于 1，这里略）。 返 回第22页第22页/10/1023霍尔维茨多项式 定义若实系数多项式 所有零点都在左半平面，则称 为严格霍尔维茨多项式；除上述条件外，若它尚有在虚轴 j 上单阶极点，则称 为广义霍尔维茨多项式。线性时不变稳定系统系统函数 性质： 它为 s 实系数有理函数； 零极点对 轴对称； 分母多项式为霍尔维茨多项式。 第23页第23页/10/1024霍尔维茨多项式 Hurwith多项式判别办法必要条件设 其中 sj 是使上式为零根，为找出 sj 与 ai 关系，能够将上式展开，即：将上面两式比较，可得下列主

11、要结论：第24页第24页/10/1025霍尔维茨多项式 若ai为正实数，那么即使有复数或纯虚数根时，也必定是成对出现，由于在上式中，只有成正确条件下 ai（如 a1）才也许都是正实数； 若要求所有根都要为负实数或负复数（实部），那么其必要条件是所有系数都是正实数，由于在前面式子中，奇次数根乘积前为负号，偶次数根乘积前为正号，若要求都是负实数，则非含有正系数不可； 第25页第25页/10/1026霍尔维茨多项式 要求所有根都是负实数必要条件是方程式各项前系数不为零（即不缺项，n 次方程有 n + 1 项）。若有缺项，则至少有一个根为正实数。满足以上条件多项式称为 Hurwith 多项式；而所有是

12、奇数或偶多次多项式有在虚轴上根，称该多项式为广义 Hurwith 多项式。第26页第26页/10/1027霍尔维茨多项式 由上可知，要使系统是稳定， 所有极点必须在s 左半平面，其必要条件是 所有系数必须是正，且不为零，即 ， 。它们是必要条件，也就是说 中如有缺项或某一项系数为负，则系统为不稳定系统。 比如： 所表示系统都是不稳定。 第27页第27页/10/1028霍尔维茨多项式 然而上面条件仅仅是一个必要条件，还不是充足条件，也就是 时，还不能断定该系统为稳定系统，例：返 回该系统是不稳定，因此上面 是判断系统是否第一步，第二步就要用 Hurwith 判别法或 Routh 判别法。 第28

13、页第28页/10/1029Hurwith 判别法 将 分成二部分，其中： 将 作连分式展开，或者说是将 与 辗转相除，可得：第29页第29页/10/1030Hurwith 指出 所有根位于左半平面充要条件是所有系数 qi（ ）为正值，满足此条件多项式为 Hurwith 多项式。 【例71】已知 ，试判断它是否为 Hurwith 多项式。 解： ， 所有商（系数）均为正数，故 为 Hurwith 多项式 第30页第30页/10/1031【例72】已知 ，试判断它是否为Hurwith多项式。 解： ， 商（系数）中出现负数，故 不是 Hurwith 多项式。 第31页第31页/10/1032Hur

14、with 判别法 在前面讨论中会出现一个特殊情况：若 和 有公因子，则辗转相除过程会忽然结束，这时相关多项式 等于 Hurwith 多项式 与另一个偶次多项式（又称倍增因子） 乘积，即 若 是 Hurwith 多项式，则 也是 Hurwith 多项式，不然就不是。第32页第32页/10/1033Hurwith 判别法 【例73】 已知 ，试判断它是否为 Hurwith 多项式。 返 回解： 第二个因子多项式中出现负数，故 不是 Hurwith 多项式，这样 也不是 Hurwith 多项式。第33页第33页/10/1034Routh 判别法 将 系数按下式排列 在第一、二行基础上，按下阵列构成第

15、三、四、n+1 行：其中 第34页第34页/10/1035Routh 判别法 第35页第35页/10/1036Routh 判别法 观测阵列中第一列元素（1、an-1、b1、c1、p1、q1），若它们含有相同符号，则 所有根都是负实数（在 s 左半平面），系统是稳定，不然就是不稳定。 第36页第36页/10/1037Routh 判别法 【例74】已知 ，试判断其相应系统是否稳定。 返 回解：列表下列： 第一列元素符号发生了改变，故系统不稳定。 第37页第37页/10/1038Routh 判别法几种特殊情况 如第一列中某一项为零，而此行又不全为零，那么就不能拟定下一行元素。 处理办法是： 用任意小

16、值（如 ）代替这个零项，然后继续运算； 将多项式系数反过来排。 第38页第38页/10/1039Routh 判别法几种特殊情况 【例75】 已知 ，试判断其相应系统是否稳定。 解：列表下列： 或第一列元素符号发生了改变，故 相应系统不稳定。 第39页第39页/10/1040Routh 判别法几种特殊情况 第一列中符号完全相同，但还不能拟定此多项式根都在 s 左半平面，表现为所排阵列中一行所有元素均为零，它发生在前二行数字相同或成百分比时候。这事实上表明在虚轴上有零点（根）。处理办法：将全零行前一行构成一个辅助多项式，用此多项式导数系数代替全零行，然后继续排列 Routh 阵列。这时除看第一列是

17、否改变外，还需检查辅助多项式根，如在虚轴上根为单根，则临界稳定，重根则不稳定。 第40页第40页/10/1041【例76】 已知 ，试判断其相应系统是否稳定。解：列表下列：求虚根：令 求实根：令 第一列元素无符号改变，阐明无正实根，仅有一阶虚根及负实根，故 相应系统是稳定。第41页第41页/10/1042【例77】 图示为一反馈系统，已知 ，K 为常数。为使系统稳定，试拟定 K 值范围。解：由图写出系统函数： 利用 Routh 判别法列表： 可见，要使系统稳定，即第一列元素无符号改变，则要求：第42页第42页/10/1043线性系统模拟、信号流图 方框图与信号流图 信号流图中术语 系统化简 系

18、统模拟 流图代数 流图性质 定义 支路串联 支路并联 混联 回路（反馈环路） 自环 方框图化简 流图化简 直接实现 串联（级联）实现 并联实现（各部分之和） 混联实现（串联、并联） 第43页第43页/10/1044方框图与信号流图定义它们均是表示系统办法 ：方框图：用有向线段与方框表示系统办法。 信号流图：用结点和有向支路表示系统办法。其长处是比方框图更简练，简称流图。 第44页第44页/10/1045信号流图中术语结点：表示系统变量或信号点，分为源结点（或源点、输入结点）、汇结点（或汇点、沟点、阱点、输出结点）及混合结点（或内结点）。 源点：只有输出支路结点，可表示激励。 支路：连接两结点有

19、向线段（表示信号变量间因果关系），它有权（即增益、转移函数）。 混合结点：中间结点，既有入支路又有出支路，包括和点（多入单出）、分点（单入多出）。 汇点：只有输入支路结点，可表示响应。 第45页第45页/10/1046信号流图中术语通路：沿箭头指向从一个结点到其它任一个结点路径。 开通路（简朴通路）：沿途各结点和支路只通过一次通路。 闭通路（回路、环路）：通路终点即为通路起点，且与沿途各个结点仅相遇一次。 不接触回路：回路间既无公共支路，也无公用结点回路。 前向通路：由源点到汇点开通路。 自回路（自环）：只有一个结点和一条支路回路。 通路增益（通路系统函数）：通路上各支路系统函数乘积。 回路增

20、益（回路系统函数）：回路上各支路函数乘积。 第46页第46页/10/1047信号流图性质 支路表示信号函数关系，且信号只能沿箭头方向传播，相称于一个乘法器。结点可把所有入支路信号相加，且传送到出支路。相称于一个加法器。 内结点能够通过增长一条函数为“1”出支路而变成汇点；也能够“撕裂”成一个“和点”及一个“分点” 。 第47页第47页/10/1048支路并联相称于系统并联 支路串联相称于系统级联 流图代数 方框图： 信号流图： （吸取一个内结点） 方框图： 信号流图： （吸取一条支路） 第48页第48页/10/1049混 联第49页第49页/10/1050混 联 “和点”转移 第50页第50页/10/1051混 联 “分点”转移 “结点”消除 第51页第51页/10/1052（反馈）环路 自 环 第52页第52页/10/1053方框图化简输入输出： 设中间变量： 于是： 第53页第53页/10/1054方框图化简第54页第54页/10/1055方框图化简（对上式上下同除 ） 第55页第55页/10/1056将第 i 条前向通路（包括相关结点）去掉后 值 流图化简梅森公式 也能够象方框图同样，逐步化简，但与前相同，很繁琐，梅森（Mason）总结出一个通过观测就能得出简便办法： 梅森公式： 其中： 流图特性行列式 全部不同回路增益之和 所有两个互不接触回路增