高中数学公式大全精简版

1、高中数学公式大全精简版高中数学公式大全精简版一、集合模块1、集合与集合的关系 :用,=表示；A 是 B 的子集记为； A 是 B 的真子集记为；任何一个集合是它本身的子集,记为 A A；空集是任何集合的子集,记为A ；空集是任何非空集合的真子集；假如AB,同时BA,那么 A = B ；假如 AB,BC,那么AC；2、交集ABx xA 且xB ；并集ABx xA,或xB ；补集C Ax xU,且xA,集合 U 表示全集；二、函数模块（一）、函数的概念：1、函数的定义：yfx,xA, yB ；2、函数概念的三要素：定义域、值域与对应法就；3、函数相等的条件：定义域和对应法就相同；（二）函数定义域的

2、求法：1、由函数的解析式确定函数的定义域（二次根式、分式、对数式）；2、由实际问题确定的函数的定义域；3、不给出函数的解析式,而由f x的定义域确定函数fgx的定义域；（三）函数值域的求法：函数的值域是由函数的定义域与对应法就确定的,因此,要求函数的值域,一般要从函 数的定义域与对应法就入手分析,常用的方法有：（1）观看法；（2）图象法；（3）配方法；（4）换元法；（四）函数图像的概念及画法：1、函数图象的概念将自变量的一个值x 作为横坐标,相应的函数值fx 0作为纵坐标,就得到坐标平面上1 / 20 高中数学公式大全精简版的一个点 x f x 0当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时,就

3、得到一系列这样的点全部这些点组成的集合（点集）为 x f x x A , 即 x y y f x , x A ,所有这些点组成的图形就是函数 y f x 的图象2、函数图象的画法画函数的图象,常用描点法,其基本步骤是：列表；描点；连线在画图过程中,肯定要留意函数的定义域和值域3、分段函数在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数; 留意：分段函数是一个函数,而不是几个函数; ;其值域是相应的y 的取值范畴的并集分段函数的定义域是x 的不同取值范畴的并集（五）函数的性质1、单调性： 定义：假如函数 y f x 对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、x

4、2,当 x 1 x 时,都有 f x 1 f x 2（f x 1 f x 2）,就称 f x 在这个区间上是增函数（或减函数）；判定单调性的方法：定义法、复合函数法、求导法 . 特殊留意： 复合函数单调性,奇偶函数在对称区间内的单调性关系 . 2、奇偶性：函数的奇偶性的定义假如对于函数fx定义域内的任意x 都有 fx=fx,就称 fx为奇函数；假如对于函数fx定义域内的任意x 都有fxx,就称 fx为偶函数 . 函数的奇偶性的几个性质（1）、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y轴对称；（2）、f x 为奇函数,定义域为 D ,如 0 D 就必有 f 0 0；（六）、指数函数性质及其应

5、用1、常用的指数关系式：（1）负数和零不能作为底数；2 a01.；1 aa ；ax1ax2 / 20 高中数学公式大全精简版2、指数运算与指数函数根式的性质1：n an a；nan a ；当 n 是偶数时,nan|a|aaa0 ；根式的性质2：当 n 是奇数时,a0 3、分数指数幂正数的正分数指数幂的意义：a0,m nN*,n1正数的负分数指数幂的意义：a0,m nN*,n10 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义；x 是自变量,函数的4、实指数幂的运算性质a0,b0,sR rR （1）r a asars；（2）r a sars；（3） abrr ra a ；5、指数函数： 函数y

6、axa0,a1 叫做指数函数,其中指数定义域是 R ；6、指数函数的图象与性质：图象a10a1定义域：值域：性 质过点：,即 0 时, 1 在 R 上是 在 R 上是7、把握指数函数的图象和性质,特殊要弄清 a 1 与 0 a 1 对于函数值变化的影响：当 a 1 时,如 x ,0 就, 如 x 0 , 就；当 0 a 1 时,如 x ,0 就, 如 x 0 , 就；3 / 20 高中数学公式大全精简版（七）、对数函数性质及其应用1、对数的概念对数定义：一般地,假如a （a0 且a1）的 b 次幂等于 N, 就是abN,那么数b叫做以 a 为底 N 的对数,记作blog aN ,其中 a 叫做

7、对数的底数,N 叫做真数；2、常用的对数关系式：（1）负数和零没有对数；（2）a01 log 1_.；（2）a1a logaa_3、对数运算性质指数运算性质 , a b0, , r sR对数运算性质a0,a1,M0,N0arasarslog MNlogaMlogaNararslog aMlogaMlogaNsNarsarslogaMnnlogaMa3、对数函数的性质图1a1110a1100象定义域：（0,+）值域： R性x01, 过点（ 1,0）,即当x1时,y0时y0质时y0 x01, 时时y0y0 x,1x,1在（ 0,+）上是增函数4 / 20 高中数学公式大全精简版 三、复数模块（一）

8、、复数的有关概念 1、复数的概念形如 aa,bR的数叫复数,其中a,b 分别是它的实部和虚部如b 0,就 a为实数,如 b 0,就 a为虚数,如a0 且 b 0,就 a为纯虚数2、复数相等 ：a c. ac 且 bda,b,c,d R3、共轭复数： a与 c共轭 . ac；b da, b,c,dR（二）、复数的四就运算设 z1a, z2ca,b,c,dR,就 1、加法： z1z2acacbdi ；2、减法： z1z2acacbdi ；3、乘法：abic cdiacabciadibdi2acbdadbc i；abidibiabicdiacbdbcadi4、除法：cdicdicdic2d2c2d2

9、（三）、复数的几何意义1、复数 zaa,bR的模,实际上就是指复平面上的点 的几何意义是复平面上的点 Z1、 Z2 两点间的距离Z 到原点 O 的距离； 1 z2|2、复数 z、复平面上的点Z 及向量相互联系,即zaa, bR. Za,b. . 注： 任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情形不能比较大小（四）两条性质1i4n1,i 4n1i ,i4n 2 1,i 4n3 i,1 230各式中 nN21i 22i, i, i. 四、概率统计模块（一）、等可能大事概率公式一般地,假如一次试验中共有n 种等可能显现的结果,随机大事A 包含的结果数为m,就大事 A 可能显现的概率为P A m n；5

10、 / 20 高中数学公式大全精简版（二）、概率的性质 1、互斥大事如大事 A 与大事 B 不行能同时发生,就称 2、概率加法公式（互斥大事的概率）大事 A 与大事 B 互斥；如大事 A 与大事 B 互斥,就大事A 或 B 发生的概率P AB） （P A . + （ ）,这就是概率的加法公式；3、对立大事： 如大事 A 与大事 B 不行能同时发生但二者必有一个发生,就称 大事 A 与大事 B 互为对立大事 ；4、对立大事的概率：如大事 A 与大事 B 互为对立大事,就 P A P B 1；（三）古典概型的概率运算公式 . 一般地,对于古典概型,基本领件共有 n 个,随机大事 A 包含的基本领件是

11、 m.由互斥事件的概率加法公式可得 P A m , 所以在古典概型中nm A 包含的基本领件数P A ,n 总体的基本领件个数（四）几何概型的概率运算公式 . 一般地, 在几何概型中试验的全部结果（即基本领件） 所构成的区域记为 D ,记大事“ 该点落在其区域 D 内部一个区域d内” 为大事A,就大事A发生的概率P A =构成大事 A 的区域长度（面积或体积）积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体（五）样本方差与标准差设样本的元素为x 1,x 2, ,xn,样本的平均数为x ,2 x 1、样本方差：2 s1 nx 1x2x 2x2xn2、样本标准差：s1 nx 1x2x2x2xnx2 （

12、六）回来方程1、最小二乘法：使得样本数据的点到回来直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法6 / 20 高中数学公式大全精简版2、回来方程： 两个具有线性相关关系的变量的一组数据：x 1,y 1 , ,2y2, , ,nyn,其回来方程为 y b x a ,就nn bi1x ix y i2yix y inx ynx ix 1nx2nx2i1i1 ay b x a 是在 y 轴上的截距其中, b 是回来方程的斜率,五、三角函数的概念与三角变换公式（一）、弧度制 1、角度制与弧度制的互化：弧度180 ,1180弧度, 1弧度 180R25718. 2、弧长公式：lR；扇形面积公式：S1 21 2Rl

13、（二）、三角函数定义角终边上任意一点P 为x,y,设|OP |r,就：ysiny,cosx,tanrrx特殊角的三角函数值角度030456090120135150180弧度0 64322350 346sin0 1233211 222222cos1 30 312112222222tan0 3无30 331 1337 / 20 高中数学公式大全精简版注： 识记一些简洁的勾股数,判定时借助三角形,（三）、三角函数符号规律 一全正,二正弦,三两切,四余弦；注： y 的符号对应正弦的符号,x 的符号对应余弦的符号；（四）、诱导公式记忆规律“ 奇变偶不变,符号看象限”；注： 1、变与不变指的是函数名,使用

14、公式时将已知角看作锐角；2、将正切函数的诱导公式单独记忆；3、留意角度和弧度的互换；诱导公式（一）sin（这里 k 为整数）costan360ktansin360kcos 360k诱导公式（二）sin 180sincos 180costan 180tan诱导公式（三）sinsincoscostantan诱导公式（四）sin 180sinsin2cos 180cos2tan 180tan诱导公式（五）coscossin诱导公式（六）sin2coscos2sin（五）、同角三角函数的基本关系sin2cos2;1sintan；cos（六）、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscos

15、sin;2、coscoscossinsin;8 / 20 高中数学公式大全精简版3、tantantan；1tantan注： 由正余弦的和差化积公式可推出帮助角公式；（七）、二倍角公式：sin22sincos；2cos2112sin2；cos2cos2sin2tan212tan2；tan（八）帮助角公式a sin b cos a 2b 2sin,tan basin cos 2 sin,sin 3 cos 2 sin；4 3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）六、解三角形（一）、正弦定理及其推论1、正弦定理：在ABC 中,边a

16、 b c 与角A B C满意关系式acC2R（其中 R 为ABC 外接圆的半径）bsinAsinBsin利用正弦定理可以解决两类问题：（1）已知两角和任意一边,求其他两边和一角（2）已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角2、公式变形：a2RsinAb2 RsinBc2RsinC9 / 20 高中数学公式大全精简版注： 该变形可以实现边角的互化,通常2R 可以消掉或者可以求出；3、推论：（大边对大角,大角对大边）a在ABC 中,已知a, 分别为A,B所对的边,就bA_BsinA_sinB（二）、面积公式S1absinC1bcsinA1acsinB222注： 面积公式关键点在

17、于两边和它们夹角的正弦；解题时需结合题目条件敏捷挑选相应 公式；（三）、余弦定理及其推论 1、余弦定理：在ABC 中,边a b c 与角A B C满意关系式a2b2c22 bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC应用： 可以解决以下解斜三角形的问题：已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角2、余弦定理变形：cosAb2c2a2,cosBa2c2b2,cos Cb2a2c2；2bc2ac2 ba应用一： 可以解决以下两类解斜三角形的问题：已知三边,求三个角；应用二： 按角对三角形进行判定：依据余弦值的正负对三角形中最大角进行判定,最大角为钝角即为钝角三角形；最大角为直角

18、即为直角三角形；最大角为锐角就为锐角三角形；应用三： 实现角化边,将角的余弦化为三边的关系；10 / 20 高中数学公式大全精简版当C2时, cos C0,a2b22 c ；当 0C2时, cos C0,a22 b2 c ；当2C时, cos C0,2 ab22 c ；（四）、解三角形中常用角度关系及相应三角变换1、 ABC, ABC ,A2B2C；Bcos cosB ；22、 sinABsinC , cosABcos C ；3、 sinA2BcosC, cosA2BsinC；224、 sinCsinABsinAcosBcosAsinB ,cosABcos cosBsinAsinB ,cosC

19、cosAB cosABsinAsin七、数列（一）、等差数列与等比数列性质定义a n等差数列等比数列1a nd （n1,2,3, ）an1q（n1,2,3, ）an通项公式a na 1n1d ,a na mnm da nn a q1,ana qn m求和公式S nna 1n n1dn a 1anna 1q1S na 11n qq122中项公式ab1q2A （ A 为 a , b 等差中项）G2ab （ G 为 a , b 等比中项）对称性如 mnpq ,就a ma napaq如 mnpq ,就a ana aq注：（1）解题方法有基本量法,通常运算要多花些时间；（2）可观看题目特点使用相应性质,

20、达到快速精确解题；11 / 20 高中数学公式大全精简版（3）另外两类数列的通项和求和均有多个公式,需依据条件敏捷选用；（二）、依据前 n 项和求通项公式a nS n1n2n1和n2两种情形争论, 最终检验两种情形能否合用一个式S nS n1注：最终a 的表达式分子表示,如不能,就用分段形式表示；归纳： 数列模块预备学问为函数概念与思想,解题过程中常涉及到解高次方程组和指数 运算,在等比数列中会涉及到一些比例的性质的应用；八、不等式模块 1、不等式的解法： 求解不等式与解方程一样,要留意不等式的同解变形,解集相同 的不等式称为同解不等式；2、一元一次不等式axb0 a0的解法与解集形式；b a

21、,当a0时,xb, 即解集为x |xa当a0时xb,即解集为x |xb a；a3、一元二次不等式的解集yax20cyax20cyax20cbxbxbx二次函数yaax2bxc（0）的图象12 / 20 高中数学公式大全精简版一元二次方程0有两相异实根有两相等实根无实根2 axbxcx 1x2bx 1,x 2x 1x 2a0的根2a2 axbxc0 xxx 1或xx2xxbR a0 的解集02 aax2bxcxx 1xx 2 a0 的解集4、解一元二次不等式的基本步骤：（1）整理系数,使最高次项的系数为正数；（2）运算b24ac；0 取两边,小于0（3）0时,求相对应的一元二次方程的两根,然后依

22、据“ 大于取中间” 的法就写出不等式的解集；（4）0 时结合二次函数的图象特点写出解集；5、分式不等式求解时,一般先移项,通分,化简然后标根法求解fx0fxgx00fxx00fxgx0 0gxgxfx0fx g xffxgxg xg x0gxgx0切忌去分母6、肯定值不等式fxaax0axfxaxg2afxaa0fa或f平方法：fg xf2xx零点分段法： 适用于含有两个肯定值的不等式；7、基本不等式假如a,b是正数, 那么a2bab（ab2ab,a2b2 ab ）,当且仅当ab13 / 20 高中数学公式大全精简版时,取得等号 . 8、指数对数不等式 依据函数单调性求解；9、不等式与线性规划

23、问题 结合图像求解；九、空间几何体的特点与表面积体积（一）、空间几何体的三视图和直观图1、 中心投影与平行投影区分,正投影概念；2、三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等；3、斜二测画法画直观图：x 轴与 y 轴夹角0 45 （或0 135 ,平行于 x 轴长度不变,平行于y 轴长度减半；设原图形的面积为S,其直观图的面积为S ,就S2；S4（二）、空间几何体的表面积和体积要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体,它们的各个面均是平面多边形,它们的表面积就是各 个面的面积之和；运算时要分清面的外形,精确算出每个面的面积再求和；棱柱、棱锥、棱 台底面与侧面的外形如下表：棱柱底面平行

24、四边形侧面平面多边形面积 =底 高棱锥平面多边形三角形面积 =1 2 底 高棱台平面多边形梯形面积 =1 2 （上底 +下底） 高要点诠释：求多面体的表面积时,只需将它们沿着如干条棱剪开后绽开成平面图形,利用平面图形 求多面体的表面积14 / 20 高中数学公式大全精简版要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体,它们的底面是圆面,易求面积,而它们的侧面是曲面,应 把它们的侧面绽开为平面图形,再去求其面积1圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 l 2 r l rl2r rl（2）圆柱的表面：S 圆柱表2r222圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：（2）圆锥的表面积：S 圆锥侧

25、1Clrl2S 圆锥表 = r2+ rl 3圆台的表面积（1）圆台的侧面积：S 圆台侧= rl r lrl（2）圆台的表面积：S 圆台表 2r2要点诠释：求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几何特点入手,将其绽开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面绽开图中的边长之间的关系4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示要点三、柱体、锥体、台体的体积 1柱体的体积公式： 15 / 20 高中数学公式大全精简版2锥体的体积公式：V1Sh SSS33台体的体积公式：V1h S34柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示要点四、球的表面积和体积1球的表面积公式：S球=

26、4 R2a b c ,其外接球的半径为R ,就2球的体积公式：V 球43 R3常用公式： 一个长方体的长宽高分别为2Ra22 b2 c ；十、空间中点线面的位置关系（一）、 本章学问结构图 平面 公理 1、公理 2、公理 3、公理 4 空间直线、平面的位置关系线与线的位置关系线与面的位置关系面与面的位置关系交相行平交异交相 行平交在 面 内交平交相交行面交行行交斜线与平二面角的异面直线所成的角面所成的角平面角16 / 20 高中数学公式大全精简版（二）、 空间平行和垂直关系的转化1、平行关系：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：线线平行判定定理线面平行性 质 判 定定 定理理性质定

27、理定理 性质 定定 理判面面平行平行关系中常用的平面几何学问：（1）、三角形的中位线平行于底边；（2）、构造平行四边形进行转换；（3）、由角度关系得到平行；2、垂直关系：线线垂直、线面垂直、面面垂直相互之间的转化图为：线线垂直判定定理线面垂直判定定理面面垂直定义性质定理垂直关系中常用的平面几何学问：（1）、勾股定理逆定理结合长度关系证垂直；（2）、由角度关系得到垂直；（3）、等腰三角形三线合一；注： 线面垂直性质定理实现了平行与垂直的转换；常用定理a/bba/；a/a/b；/ /aa/ /b；a/bc/b；线面平行baa/a/ /b；aa/；线线平行 :aba/cb17 / 20 高中数学公式

28、大全精简版a,b；/ /；,all；a；面面平行 :abOa/ /,b/ /；a线线垂直 :aabba,b线面垂直 :ab Olla lb面面垂直：二面角a 90 ； a十一、直线和圆模块（一）、直线与方程1、直线的倾斜角定义 ：x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地,当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度；因此,倾斜角的取值范畴是 0 180性质 ：直线的倾斜角 =90时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合 . 当 =0时,斜率 0；当 0 90 时,斜率 k 0,随着 的增大,斜率 k 也增大；当 90 180 时,斜率 k 0,随着

29、的增大,斜率 k 也增大 . 2、直线的斜率定义：倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用 k 表示；即 k tan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；过两点的直线的斜率公式：k y 2 y 1 x 1 x 2 x 2 x 13、直线方程点斜式：yy 1kxx1直线斜率 k,且过点x 1, y 1xa（a 为常数）；斜截式：ykxb,直线斜率为k,直线在y 轴上的截距为b一般式：AxByC0（ A,B 不全为 0）留意： 各式的适用范畴特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：yb（ b 为常数）；平行于 y 轴的直线：18 / 20 高中数学公式大全精简版4、两直线平行与垂直当l1:yk 1xb 1,l2:ylk 2xl2b 2时,21l1/l2k1k2,b 1b 2；1k 1k留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否；5、两条直线的交点dl1:A 1xB 1yC 10l2:A 2xB 2yC20相交交点坐标即方程组A 1xB 1yC10的一组解；A 2xB 2yC20方程组无